Theorem sinhalfpilem 14373

Description: Lemma for sinhalfpi 14378 and coshalfpi 14379. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10617	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
2		pire 14368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	recni 7972	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℂ
4		2cn 8993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ap0 9015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
7	6	fveq2i 5520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
8	2	rehalfcli 9170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
9	8	recni 7972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
10		sin2t 11760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
12	7, 11	eqtr3i 2200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13		sinpi 14367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15		0cn 7952	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		sincl 11717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18		coscl 11718	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
20	17, 19	mulcli 7965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
23	4, 5	div0api 8706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25		resincl 11731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27		2re 8992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
28		pipos 14370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
29		2pos 9013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 8879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (π / 2)
31		4re 8999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		pigt2lt4 14366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ≤ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36		ledivmul 8837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38		2t2e4 9076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
39	38	breq2i 4013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π / 2) ≤ 2
42		0xr 8007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		elioc2 9939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
46		sin02gt0 11774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
48	26, 47	gt0ap0ii 8588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (sin‘(π / 2)) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
51	17, 48	div0api 8706	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2200	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
53	52	oveq1i 5888	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54		sq0 10614	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
55	53, 54	eqtri 2198	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
56	55	oveq2i 5889	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57		sincossq 11759	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2200	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
60	17	sqcli 10604	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
61	60	addid1i 8102	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2205	. . 3 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63		0re 7960	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64	63, 26, 47	ltleii 8063	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65		1re 7959	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		0le1 8441	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
67		sq11 10596	. . . 4 ⊢ ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
69	62, 68	mpbi 145	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℂcc 7812  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819  ℝ^*cxr 7994   < clt 7995   ≤ cle 7996   / cdiv 8632  2c2 8973  4c4 8975  (,]cioc 9892  ↑cexp 10522  sincsin 11655  cosccos 11656  πcpi 11658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662  df-pi 11664  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13594  df-xmet 13595  df-met 13596  df-bl 13597  df-mopn 13598  df-top 13659  df-topon 13672  df-bases 13704  df-ntr 13757  df-cn 13849  df-cnp 13850  df-tx 13914  df-cncf 14219  df-limced 14286  df-dvap 14287

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  14378  coshalfpi  14379