Theorem sinhalfpilem 13259

Description: Lemma for sinhalfpi 13264 and coshalfpi 13265. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10538	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
2		pire 13254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	recni 7902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℂ
4		2cn 8919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ap0 8941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
7	6	fveq2i 5483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
8	2	rehalfcli 9096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
9	8	recni 7902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
10		sin2t 11676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
12	7, 11	eqtr3i 2187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13		sinpi 13253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15		0cn 7882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		sincl 11633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18		coscl 11634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
20	17, 19	mulcli 7895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
22	14, 21	mpbir 145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
23	4, 5	div0api 8633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25		resincl 11647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27		2re 8918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
28		pipos 13256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
29		2pos 8939	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 8805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (π / 2)
31		4re 8925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		pigt2lt4 13252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
33	32	simpri 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < 4
34	2, 31, 33	ltleii 7992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ≤ 4
35	27, 29	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36		ledivmul 8763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38		2t2e4 9002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
39	38	breq2i 3984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
40	37, 39	bitr2i 184	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
41	34, 40	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π / 2) ≤ 2
42		0xr 7936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		elioc2 9863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
44	42, 27, 43	mp2an 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
46		sin02gt0 11690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
48	26, 47	gt0ap0ii 8517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (sin‘(π / 2)) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
50	24, 49	mpbir 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
51	17, 48	div0api 8633	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2187	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
53	52	oveq1i 5846	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54		sq0 10535	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
55	53, 54	eqtri 2185	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
56	55	oveq2i 5847	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57		sincossq 11675	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2187	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
60	17	sqcli 10525	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
61	60	addid1i 8031	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2192	. . 3 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63		0re 7890	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64	63, 26, 47	ltleii 7992	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65		1re 7889	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		0le1 8370	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
67		sq11 10517	. . . 4 ⊢ ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 424	. . 3 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
69	62, 68	mpbi 144	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
70	69, 52	pm3.2i 270	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 967   = wceq 1342   ∈ wcel 2135   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  ℝcr 7743  0cc0 7744  1c1 7745   + caddc 7747   · cmul 7749  ℝ^*cxr 7923   < clt 7924   ≤ cle 7925   / cdiv 8559  2c2 8899  4c4 8901  (,]cioc 9816  ↑cexp 10444  sincsin 11571  cosccos 11572  πcpi 11574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864  ax-pre-suploc 7865  ax-addf 7866  ax-mulf 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-disj 3954  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-of 6044  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-frec 6350  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-er 6492  df-map 6607  df-pm 6608  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-5 8910  df-6 8911  df-7 8912  df-8 8913  df-9 8914  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-xneg 9699  df-xadd 9700  df-ioo 9819  df-ioc 9820  df-ico 9821  df-icc 9822  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-fac 10628  df-bc 10650  df-ihash 10678  df-shft 10743  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-clim 11206  df-sumdc 11281  df-ef 11575  df-sin 11577  df-cos 11578  df-pi 11580  df-rest 12500  df-topgen 12519  df-psmet 12534  df-xmet 12535  df-met 12536  df-bl 12537  df-mopn 12538  df-top 12543  df-topon 12556  df-bases 12588  df-ntr 12643  df-cn 12735  df-cnp 12736  df-tx 12800  df-cncf 13105  df-limced 13172  df-dvap 13173

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  13264  coshalfpi  13265