Theorem sinhalfpilem 15815

Description: Lemma for sinhalfpi 15820 and coshalfpi 15821. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 11048	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
2		pire 15810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	recni 8328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℂ
4		2cn 9354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ap0 9376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 9075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
7	6	fveq2i 5693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
8	2	rehalfcli 9533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
9	8	recni 8328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
10		sin2t 12494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
12	7, 11	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13		sinpi 15809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15		0cn 8308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		sincl 12451	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18		coscl 12452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
20	17, 19	mulcli 8321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 9086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
23	4, 5	div0api 9066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25		resincl 12465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27		2re 9353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
28		pipos 15812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
29		2pos 9374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 9239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (π / 2)
31		4re 9360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		pigt2lt4 15808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ≤ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36		ledivmul 9197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38		2t2e4 9438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
39	38	breq2i 4133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π / 2) ≤ 2
42		0xr 8362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		elioc2 10317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
44	42, 27, 43	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
46		sin02gt0 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
48	26, 47	gt0ap0ii 8946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (sin‘(π / 2)) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 9086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
51	17, 48	div0api 9066	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
53	52	oveq1i 6085	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54		sq0 11045	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
55	53, 54	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
56	55	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57		sincossq 12493	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2261	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
60	17	sqcli 11035	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
61	60	addridi 8458	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2266	. . 3 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63		0re 8316	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64	63, 26, 47	ltleii 8418	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65		1re 8315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		0le1 8799	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
67		sq11 11027	. . . 4 ⊢ ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 431	. . 3 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
69	62, 68	mpbi 145	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350   ≤ cle 8351   / cdiv 8992  2c2 9334  4c4 9336  (,]cioc 10270  ↑cexp 10953  sincsin 12389  cosccos 12390  πcpi 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-pre-suploc 8290  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ioo 10273  df-ioc 10274  df-ico 10275  df-icc 10276  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-sin 12395  df-cos 12396  df-pi 12398  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15820  coshalfpi  15821