Theorem sinhalfpilem 15459

Description: Lemma for sinhalfpi 15464 and coshalfpi 15465. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10850	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
2		pire 15454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	recni 8154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℂ
4		2cn 9177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ap0 9199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
7	6	fveq2i 5629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
8	2	rehalfcli 9356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
9	8	recni 8154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
10		sin2t 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
12	7, 11	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13		sinpi 15453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15		0cn 8134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		sincl 12212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18		coscl 12213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
20	17, 19	mulcli 8147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
23	4, 5	div0api 8889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25		resincl 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27		2re 9176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
28		pipos 15456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
29		2pos 9197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 9062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (π / 2)
31		4re 9183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		pigt2lt4 15452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ≤ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36		ledivmul 9020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38		2t2e4 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
39	38	breq2i 4090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π / 2) ≤ 2
42		0xr 8189	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		elioc2 10128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
46		sin02gt0 12270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
48	26, 47	gt0ap0ii 8771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (sin‘(π / 2)) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
51	17, 48	div0api 8889	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
53	52	oveq1i 6010	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54		sq0 10847	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
55	53, 54	eqtri 2250	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
56	55	oveq2i 6011	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57		sincossq 12254	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2252	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
60	17	sqcli 10837	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
61	60	addridi 8284	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2257	. . 3 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63		0re 8142	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64	63, 26, 47	ltleii 8245	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65		1re 8141	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		0le1 8624	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
67		sq11 10829	. . . 4 ⊢ ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
69	62, 68	mpbi 145	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177   ≤ cle 8178   / cdiv 8815  2c2 9157  4c4 9159  (,]cioc 10081  ↑cexp 10755  sincsin 12150  cosccos 12151  πcpi 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-pi 12159  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15464  coshalfpi  15465