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Theorem sinhalfpilem 12920
Description: Lemma for sinhalfpi 12925 and coshalfpi 12926. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 sq1 10417 . . . 4 (1↑2) = 1
2 pire 12915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
32recni 7802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
4 2cn 8815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5 2ap0 8837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 # 0
63, 4, 5divcanap2i 8539 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (π / 2)) = π
76fveq2i 5432 . . . . . . . . . . . . . 14 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
82rehalfcli 8992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / 2) ∈ ℝ
98recni 7802 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π / 2) ∈ ℂ
10 sin2t 11492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
127, 11eqtr3i 2163 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13 sinpi 12914 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘π) = 0
1412, 13eqtr3i 2163 . . . . . . . . . . . 12 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15 0cn 7782 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
16 sincl 11449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18 coscl 11450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
199, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
2017, 19mulcli 7795 . . . . . . . . . . . . 13 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
2115, 4, 20, 5divmulapi 8550 . . . . . . . . . . . 12 ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
2214, 21mpbir 145 . . . . . . . . . . 11 (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
234, 5div0api 8530 . . . . . . . . . . 11 (0 / 2) = 0
2422, 23eqtr3i 2163 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25 resincl 11463 . . . . . . . . . . . . 13 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
268, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27 2re 8814 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
28 pipos 12917 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
29 2pos 8835 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
302, 27, 28, 29divgt0ii 8701 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (π / 2)
31 4re 8821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℝ
32 pigt2lt4 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < π ∧ π < 4)
3332simpri 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < 4
342, 31, 33ltleii 7890 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ≤ 4
3527, 29pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36 ledivmul 8659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
372, 27, 35, 36mp3an 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38 2t2e4 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 2) = 4
3938breq2i 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
4037, 39bitr2i 184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
4134, 40mpbi 144 . . . . . . . . . . . . . 14 (π / 2) ≤ 2
42 0xr 7836 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
43 elioc2 9749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
4442, 27, 43mp2an 423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
458, 30, 41, 44mpbir3an 1164 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ (0(,]2)
46 sin02gt0 11506 . . . . . . . . . . . . 13 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 < (sin‘(π / 2))
4826, 47gt0ap0ii 8414 . . . . . . . . . . 11 (sin‘(π / 2)) # 0
4915, 17, 19, 48divmulapi 8550 . . . . . . . . . 10 ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5024, 49mpbir 145 . . . . . . . . 9 (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
5117, 48div0api 8530 . . . . . . . . 9 (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
5250, 51eqtr3i 2163 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 2)) = 0
5352oveq1i 5792 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54 sq0 10414 . . . . . . 7 (0↑2) = 0
5553, 54eqtri 2161 . . . . . 6 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
5655oveq2i 5793 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57 sincossq 11491 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
589, 57ax-mp 5 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
5956, 58eqtr3i 2163 . . . 4 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
6017sqcli 10404 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
6160addid1i 7928 . . . 4 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
621, 59, 613eqtr2ri 2168 . . 3 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63 0re 7790 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6463, 26, 47ltleii 7890 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65 1re 7789 . . . 4 1 ∈ ℝ
66 0le1 8267 . . . 4 0 ≤ 1
67 sq11 10396 . . . 4 ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
6826, 64, 65, 66, 67mp4an 424 . . 3 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
6962, 68mpbi 144 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7069, 52pm3.2i 270 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3937  cfv 5131  (class class class)co 5782  cc 7642  cr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649  *cxr 7823   < clt 7824  cle 7825   / cdiv 8456  2c2 8795  4c4 8797  (,]cioc 9702  cexp 10323  sincsin 11387  cosccos 11388  πcpi 11390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  12925  coshalfpi  12926
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