ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sinhalfpilem GIF version

Theorem sinhalfpilem 14215
Description: Lemma for sinhalfpi 14220 and coshalfpi 14221. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sinhalfpilem ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem
StepHypRef Expression
1 sq1 10614 . . . 4 (1↑2) = 1
2 pire 14210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
32recni 7969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π ∈ ℂ
4 2cn 8990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
5 2ap0 9012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 # 0
63, 4, 5divcanap2i 8712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (π / 2)) = π
76fveq2i 5519 . . . . . . . . . . . . . 14 (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
82rehalfcli 9167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / 2) ∈ ℝ
98recni 7969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π / 2) ∈ ℂ
10 sin2t 11757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
127, 11eqtr3i 2200 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13 sinpi 14209 . . . . . . . . . . . . 13 (sin‘π) = 0
1412, 13eqtr3i 2200 . . . . . . . . . . . 12 (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15 0cn 7949 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
16 sincl 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
179, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18 coscl 11715 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
199, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
2017, 19mulcli 7962 . . . . . . . . . . . . 13 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
2115, 4, 20, 5divmulapi 8723 . . . . . . . . . . . 12 ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
2214, 21mpbir 146 . . . . . . . . . . 11 (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
234, 5div0api 8703 . . . . . . . . . . 11 (0 / 2) = 0
2422, 23eqtr3i 2200 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25 resincl 11728 . . . . . . . . . . . . 13 ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
268, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27 2re 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
28 pipos 14212 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < π
29 2pos 9010 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
302, 27, 28, 29divgt0ii 8876 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (π / 2)
31 4re 8996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℝ
32 pigt2lt4 14208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 < π ∧ π < 4)
3332simpri 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 π < 4
342, 31, 33ltleii 8060 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ≤ 4
3527, 29pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36 ledivmul 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
372, 27, 35, 36mp3an 1337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38 2t2e4 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 2) = 4
3938breq2i 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
4037, 39bitr2i 185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
4134, 40mpbi 145 . . . . . . . . . . . . . 14 (π / 2) ≤ 2
42 0xr 8004 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
43 elioc2 9936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
4442, 27, 43mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
458, 30, 41, 44mpbir3an 1179 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ (0(,]2)
46 sin02gt0 11771 . . . . . . . . . . . . 13 ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 0 < (sin‘(π / 2))
4826, 47gt0ap0ii 8585 . . . . . . . . . . 11 (sin‘(π / 2)) # 0
4915, 17, 19, 48divmulapi 8723 . . . . . . . . . 10 ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
5024, 49mpbir 146 . . . . . . . . 9 (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
5117, 48div0api 8703 . . . . . . . . 9 (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
5250, 51eqtr3i 2200 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 2)) = 0
5352oveq1i 5885 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54 sq0 10611 . . . . . . 7 (0↑2) = 0
5553, 54eqtri 2198 . . . . . 6 ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
5655oveq2i 5886 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57 sincossq 11756 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
589, 57ax-mp 5 . . . . 5 (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
5956, 58eqtr3i 2200 . . . 4 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
6017sqcli 10601 . . . . 5 ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
6160addid1i 8099 . . . 4 (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
621, 59, 613eqtr2ri 2205 . . 3 ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63 0re 7957 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6463, 26, 47ltleii 8060 . . . 4 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65 1re 7956 . . . 4 1 ∈ ℝ
66 0le1 8438 . . . 4 0 ≤ 1
67 sq11 10593 . . . 4 ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
6826, 64, 65, 66, 67mp4an 427 . . 3 (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
6962, 68mpbi 145 . 2 (sin‘(π / 2)) = 1
7069, 52pm3.2i 272 1 ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809  cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   · cmul 7816  *cxr 7991   < clt 7992  cle 7993   / cdiv 8629  2c2 8970  4c4 8972  (,]cioc 9889  cexp 10519  sincsin 11652  cosccos 11653  πcpi 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  sinhalfpi  14220  coshalfpi  14221
  Copyright terms: Public domain W3C validator