Theorem sinhalfpilem 15263

Description: Lemma for sinhalfpi 15268 and coshalfpi 15269. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinhalfpilem	⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Proof of Theorem sinhalfpilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10778	. . . 4 ⊢ (1↑2) = 1
2		pire 15258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	recni 8084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℂ
4		2cn 9107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2ap0 9129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 # 0
6	3, 4, 5	divcanap2i 8828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (π / 2)) = π
7	6	fveq2i 5579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (sin‘π)
8	2	rehalfcli 9286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
9	8	recni 8084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
10		sin2t 12060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(2 · (π / 2))) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
12	7, 11	eqtr3i 2228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))))
13		sinpi 15257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sin‘π) = 0
14	12, 13	eqtr3i 2228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0
15		0cn 8064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		sincl 12017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ)
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℂ
18		coscl 12018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ)
19	9, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (cos‘(π / 2)) ∈ ℂ
20	17, 19	mulcli 8077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ∈ ℂ
21	15, 4, 20, 5	divmulapi 8839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) ↔ (2 · ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))) = 0)
22	14, 21	mpbir 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2)))
23	4, 5	div0api 8819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 / 2) = 0
24	22, 23	eqtr3i 2228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0
25		resincl 12031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ)
26	8, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sin‘(π / 2)) ∈ ℝ
27		2re 9106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
28		pipos 15260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < π
29		2pos 9127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
30	2, 27, 28, 29	divgt0ii 8992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < (π / 2)
31		4re 9113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		pigt2lt4 15256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 < π ∧ π < 4)
33	32	simpri 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π < 4
34	2, 31, 33	ltleii 8175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ≤ 4
35	27, 29	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
36		ledivmul 8950	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2)))
37	2, 27, 35, 36	mp3an 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((π / 2) ≤ 2 ↔ π ≤ (2 · 2))
38		2t2e4 9191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 · 2) = 4
39	38	breq2i 4052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π ≤ (2 · 2) ↔ π ≤ 4)
40	37, 39	bitr2i 185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (π ≤ 4 ↔ (π / 2) ≤ 2)
41	34, 40	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π / 2) ≤ 2
42		0xr 8119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ*
43		elioc2 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2)))
44	42, 27, 43	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) ↔ ((π / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 2) ∧ (π / 2) ≤ 2))
45	8, 30, 41, 44	mpbir3an 1182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ (0(,]2)
46		sin02gt0 12075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π / 2) ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘(π / 2)))
47	45, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (sin‘(π / 2))
48	26, 47	gt0ap0ii 8701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (sin‘(π / 2)) # 0
49	15, 17, 19, 48	divmulapi 8839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2)) ↔ ((sin‘(π / 2)) · (cos‘(π / 2))) = 0)
50	24, 49	mpbir 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = (cos‘(π / 2))
51	17, 48	div0api 8819	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 / (sin‘(π / 2))) = 0
52	50, 51	eqtr3i 2228	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
53	52	oveq1i 5954	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = (0↑2)
54		sq0 10775	. . . . . . 7 ⊢ (0↑2) = 0
55	53, 54	eqtri 2226	. . . . . 6 ⊢ ((cos‘(π / 2))↑2) = 0
56	55	oveq2i 5955	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = (((sin‘(π / 2))↑2) + 0)
57		sincossq 12059	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1)
58	9, 57	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + ((cos‘(π / 2))↑2)) = 1
59	56, 58	eqtr3i 2228	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = 1
60	17	sqcli 10765	. . . . 5 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) ∈ ℂ
61	60	addridi 8214	. . . 4 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) + 0) = ((sin‘(π / 2))↑2)
62	1, 59, 61	3eqtr2ri 2233	. . 3 ⊢ ((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2)
63		0re 8072	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
64	63, 26, 47	ltleii 8175	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (sin‘(π / 2))
65		1re 8071	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
66		0le1 8554	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 1
67		sq11 10757	. . . 4 ⊢ ((((sin‘(π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (sin‘(π / 2))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1))
68	26, 64, 65, 66, 67	mp4an 427	. . 3 ⊢ (((sin‘(π / 2))↑2) = (1↑2) ↔ (sin‘(π / 2)) = 1)
69	62, 68	mpbi 145	. 2 ⊢ (sin‘(π / 2)) = 1
70	69, 52	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 2)) = 1 ∧ (cos‘(π / 2)) = 0)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  ℝcr 7924  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930  ℝ^*cxr 8106   < clt 8107   ≤ cle 8108   / cdiv 8745  2c2 9087  4c4 9089  (,]cioc 10011  ↑cexp 10683  sincsin 11955  cosccos 11956  πcpi 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045  ax-pre-suploc 8046  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-disj 4022  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-of 6158  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-map 6737  df-pm 6738  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-ioo 10014  df-ioc 10015  df-ico 10016  df-icc 10017  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-fac 10871  df-bc 10893  df-ihash 10921  df-shft 11126  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665  df-ef 11959  df-sin 11961  df-cos 11962  df-pi 11964  df-rest 13073  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-bases 14515  df-ntr 14568  df-cn 14660  df-cnp 14661  df-tx 14725  df-cncf 15043  df-limced 15128  df-dvap 15129

This theorem is referenced by:  sinhalfpi  15268  coshalfpi  15269