ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subid GIF version

Theorem subid 7993
Description: Subtraction of a number from itself. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
subid (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)

Proof of Theorem subid
StepHypRef Expression
1 addid1 7912 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
21oveq1d 5789 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 𝐴) = (𝐴𝐴))
3 0cn 7770 . . 3 0 ∈ ℂ
4 pncan2 7981 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 0) − 𝐴) = 0)
53, 4mpan2 421 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 0) − 𝐴) = 0)
62, 5eqtr3d 2174 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7630  0cc0 7632   + caddc 7635  cmin 7945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7947
This theorem is referenced by:  subeq0  8000  npncan2  8001  neg0  8020  subidi  8045  subidd  8073  addid0  8147  fisum0diag2  11228  mulc1cncf  12759  dvconst  12844  dvef  12871
  Copyright terms: Public domain W3C validator