Theorem cnfld0 13334

Description: Zero is the zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnfld0	⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Proof of Theorem cnfld0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8094	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
2		cnring 13333	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
3		ringgrp 13115	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Grp)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
5		0cn 7946	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
6		cnfldbas 13328	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7		cnfldadd 13329	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
8		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (0g‘ℂfld) = (0g‘ℂfld)
9	6, 7, 8	grpid 12844	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Grp ∧ 0 ∈ ℂ) → ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0))
10	4, 5, 9	mp2an 426	. . 3 ⊢ ((0 + 0) = 0 ↔ (0g‘ℂfld) = 0)
11	1, 10	mpbi 145	. 2 ⊢ (0g‘ℂfld) = 0
12	11	eqcomi 2181	1 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  ℂcc 7806  0cc0 7808   + caddc 7811  0_gc0g 12693  Grpcgrp 12809  Ringcrg 13110  ℂ_fldccnfld 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-addf 7930  ax-mulf 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-5 8977  df-6 8978  df-7 8979  df-8 8980  df-9 8981  df-n0 9173  df-z 9250  df-dec 9381  df-uz 9525  df-fz 10005  df-cj 10844  df-struct 12456  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-sets 12461  df-plusg 12541  df-mulr 12542  df-starv 12543  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-grp 12812  df-cmn 13021  df-mgp 13062  df-ring 13112  df-cring 13113  df-icnfld 13325

This theorem is referenced by:  cnfldneg  13336  cnfldmulg  13339  cnsubmlem  13341  zring0  13359