Theorem abs2dif 11492

Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2dif	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem abs2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8312	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2	1	fveq2d 5593	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
3		subid1 8312	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
4	3	fveq2d 5593	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
5	2, 4	oveqan12d 5976	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) = ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)))
6		0cn 8084	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		abs3dif 11491	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
8	6, 7	mp3an2 1338	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
9		subcl 8291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
10	6, 9	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
11		abscl 11437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
13		subcl 8291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
14	6, 13	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
15		abscl 11437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
17	12, 16	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ))
18		subcl 8291	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
19		abscl 11437	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
21		df-3an 983	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) ↔ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ))
22	17, 20, 21	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ))
23		lesubadd 8527	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
25	8, 24	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
26	5, 25	eqbrtrrd 4075	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  ℂcc 7943  ℝcr 7944  0cc0 7945   + caddc 7948   ≤ cle 8128   − cmin 8263  abscabs 11383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-rp 9796  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385

This theorem is referenced by:  abs2difabs  11494  caubnd2  11503  abs2difd  11583