Theorem abs2dif 11612

Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2dif	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem abs2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subid1 8362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
2	1	fveq2d 5630	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
3		subid1 8362	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
4	3	fveq2d 5630	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
5	2, 4	oveqan12d 6019	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) = ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)))
6		0cn 8134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
7		abs3dif 11611	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
8	6, 7	mp3an2 1359	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
9		subcl 8341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
10	6, 9	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
11		abscl 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
13		subcl 8341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
14	6, 13	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
15		abscl 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
17	12, 16	anim12i 338	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ))
18		subcl 8341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
19		abscl 11557	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
21		df-3an 1004	. . . . 5 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) ↔ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ))
22	17, 20, 21	sylanbrc 417	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ))
23		lesubadd 8577	. . . 4 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
25	8, 24	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
26	5, 25	eqbrtrrd 4106	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998   ≤ cle 8178   − cmin 8313  abscabs 11503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505

This theorem is referenced by:  abs2difabs  11614  caubnd2  11623  abs2difd  11703