ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs2dif GIF version

Theorem abs2dif 10890
Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2dif ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem abs2dif
StepHypRef Expression
1 subid1 7994 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
21fveq2d 5425 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
3 subid1 7994 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
43fveq2d 5425 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
52, 4oveqan12d 5793 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) = ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)))
6 0cn 7770 . . . 4 0 ∈ ℂ
7 abs3dif 10889 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
86, 7mp3an2 1303 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
9 subcl 7973 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
106, 9mpan2 421 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
11 abscl 10835 . . . . . . 7 ((𝐴 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
13 subcl 7973 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
146, 13mpan2 421 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
15 abscl 10835 . . . . . . 7 ((𝐵 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
1614, 15syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
1712, 16anim12i 336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ))
18 subcl 7973 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
19 abscl 10835 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2018, 19syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
21 df-3an 964 . . . . 5 (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ↔ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
2217, 20, 21sylanbrc 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
23 lesubadd 8208 . . . 4 (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
2422, 23syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
258, 24mpbird 166 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
265, 25eqbrtrrd 3952 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7630  cr 7631  0cc0 7632   + caddc 7635  cle 7813  cmin 7945  abscabs 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783
This theorem is referenced by:  abs2difabs  10892  caubnd2  10901  abs2difd  10981
  Copyright terms: Public domain W3C validator