ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abs2dif GIF version

Theorem abs2dif 10504
Description: Difference of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
abs2dif ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem abs2dif
StepHypRef Expression
1 subid1 7681 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
21fveq2d 5293 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
3 subid1 7681 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) = 𝐵)
43fveq2d 5293 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) = (abs‘𝐵))
52, 4oveqan12d 5653 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) = ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)))
6 0cn 7459 . . . 4 0 ∈ ℂ
7 abs3dif 10503 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
86, 7mp3an2 1261 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0))))
9 subcl 7660 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
106, 9mpan2 416 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) ∈ ℂ)
11 abscl 10449 . . . . . . 7 ((𝐴 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ)
13 subcl 7660 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
146, 13mpan2 416 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 − 0) ∈ ℂ)
15 abscl 10449 . . . . . . 7 ((𝐵 − 0) ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
1614, 15syl 14 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ)
1712, 16anim12i 331 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ))
18 subcl 7660 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
19 abscl 10449 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
2018, 19syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
21 df-3an 926 . . . . 5 (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) ↔ (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
2217, 20, 21sylanbrc 408 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ))
23 lesubadd 7891 . . . 4 (((abs‘(𝐴 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐵 − 0)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
2422, 23syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (abs‘(𝐴 − 0)) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) + (abs‘(𝐵 − 0)))))
258, 24mpbird 165 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝐴 − 0)) − (abs‘(𝐵 − 0))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
265, 25eqbrtrrd 3859 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) − (abs‘𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3837  cfv 5002  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329   + caddc 7332  cle 7502  cmin 7632  abscabs 10395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397
This theorem is referenced by:  abs2difabs  10506  caubnd2  10515  abs2difd  10595
  Copyright terms: Public domain W3C validator