Theorem elprnqu 6944

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 6942	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝑈 ⊆ Q)
2	1	sselda 3010	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ∈ wcel 1434  ⟨cop 3425  Qcnq 6742  Pcnp 6753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-qs 6228  df-ni 6766  df-nqqs 6810  df-inp 6928

This theorem is referenced by:  prltlu  6949  prnminu  6951  genpdf  6970  genipv  6971  genpelvu  6975  genpmu  6980  genprndu  6984  genpassu  6987  addnqprulem  6990  addnqpru  6992  addlocprlemeqgt  6994  nqpru  7014  prmuloc  7028  mulnqpru  7031  addcomprg  7040  mulcomprg  7042  distrlem1pru  7045  distrlem4pru  7047  1idpru  7053  ltsopr  7058  ltaddpr  7059  ltexprlemm  7062  ltexprlemopl  7063  ltexprlemlol  7064  ltexprlemopu  7065  ltexprlemdisj  7068  ltexprlemloc  7069  ltexprlemfu  7073  ltexprlemru  7074  addcanprlemu  7077  prplnqu  7082  recexprlemloc  7093  recexprlemss1u  7098  aptiprlemu  7102