Theorem elprnqu 7423

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7421	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝑈 ⊆ Q)
2	1	sselda 3142	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579  Qcnq 7221  Pcnp 7232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-qs 6507  df-ni 7245  df-nqqs 7289  df-inp 7407

This theorem is referenced by:  prltlu  7428  prnminu  7430  genpdf  7449  genipv  7450  genpelvu  7454  genpmu  7459  genprndu  7463  genpassu  7466  addnqprulem  7469  addnqpru  7471  addlocprlemeqgt  7473  nqpru  7493  prmuloc  7507  mulnqpru  7510  addcomprg  7519  mulcomprg  7521  distrlem1pru  7524  distrlem4pru  7526  1idpru  7532  ltsopr  7537  ltaddpr  7538  ltexprlemm  7541  ltexprlemopl  7542  ltexprlemlol  7543  ltexprlemopu  7544  ltexprlemdisj  7547  ltexprlemloc  7548  ltexprlemfu  7552  ltexprlemru  7553  addcanprlemu  7556  prplnqu  7561  recexprlemloc  7572  recexprlemss1u  7577  aptiprlemu  7581