Theorem elprnqu 7477

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7475	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝑈 ⊆ Q)
2	1	sselda 3155	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3595  Qcnq 7275  Pcnp 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-qs 6537  df-ni 7299  df-nqqs 7343  df-inp 7461

This theorem is referenced by:  prltlu  7482  prnminu  7484  genpdf  7503  genipv  7504  genpelvu  7508  genpmu  7513  genprndu  7517  genpassu  7520  addnqprulem  7523  addnqpru  7525  addlocprlemeqgt  7527  nqpru  7547  prmuloc  7561  mulnqpru  7564  addcomprg  7573  mulcomprg  7575  distrlem1pru  7578  distrlem4pru  7580  1idpru  7586  ltsopr  7591  ltaddpr  7592  ltexprlemm  7595  ltexprlemopl  7596  ltexprlemlol  7597  ltexprlemopu  7598  ltexprlemdisj  7601  ltexprlemloc  7602  ltexprlemfu  7606  ltexprlemru  7607  addcanprlemu  7610  prplnqu  7615  recexprlemloc  7626  recexprlemss1u  7631  aptiprlemu  7635