Theorem elprnqu 7484

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7482	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝑈 ⊆ Q)
2	1	sselda 3157	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597  Qcnq 7282  Pcnp 7293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-qs 6544  df-ni 7306  df-nqqs 7350  df-inp 7468

This theorem is referenced by:  prltlu  7489  prnminu  7491  genpdf  7510  genipv  7511  genpelvu  7515  genpmu  7520  genprndu  7524  genpassu  7527  addnqprulem  7530  addnqpru  7532  addlocprlemeqgt  7534  nqpru  7554  prmuloc  7568  mulnqpru  7571  addcomprg  7580  mulcomprg  7582  distrlem1pru  7585  distrlem4pru  7587  1idpru  7593  ltsopr  7598  ltaddpr  7599  ltexprlemm  7602  ltexprlemopl  7603  ltexprlemlol  7604  ltexprlemopu  7605  ltexprlemdisj  7608  ltexprlemloc  7609  ltexprlemfu  7613  ltexprlemru  7614  addcanprlemu  7617  prplnqu  7622  recexprlemloc  7633  recexprlemss1u  7638  aptiprlemu  7642