Theorem elprnqu 7544

Description: An element of a positive real's upper cut is a positive fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elprnqu	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Proof of Theorem elprnqu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prssnqu 7542	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → 𝑈 ⊆ Q)
2	1	sselda 3180	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝑈) → 𝐵 ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3622  Qcnq 7342  Pcnp 7353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-qs 6595  df-ni 7366  df-nqqs 7410  df-inp 7528

This theorem is referenced by:  prltlu  7549  prnminu  7551  genpdf  7570  genipv  7571  genpelvu  7575  genpmu  7580  genprndu  7584  genpassu  7587  addnqprulem  7590  addnqpru  7592  addlocprlemeqgt  7594  nqpru  7614  prmuloc  7628  mulnqpru  7631  addcomprg  7640  mulcomprg  7642  distrlem1pru  7645  distrlem4pru  7647  1idpru  7653  ltsopr  7658  ltaddpr  7659  ltexprlemm  7662  ltexprlemopl  7663  ltexprlemlol  7664  ltexprlemopu  7665  ltexprlemdisj  7668  ltexprlemloc  7669  ltexprlemfu  7673  ltexprlemru  7674  addcanprlemu  7677  prplnqu  7682  recexprlemloc  7693  recexprlemss1u  7698  aptiprlemu  7702