ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcdnql GIF version

Theorem prcdnql 6964
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 6845 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4451 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶Q𝐵Q))
32simpld 110 . . . 4 (𝐶 <Q 𝐵𝐶Q)
43adantl 271 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶Q)
5 breq1 3817 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐵))
6 eleq1 2147 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐿𝐶𝐿))
75, 6imbi12d 232 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿)))
87imbi2d 228 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))))
91brel 4451 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐Q𝐵Q))
109ancomd 263 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵Q𝑐Q))
11 an42 552 . . . . . . . . 9 (((𝐵Q𝑐Q) ∧ (𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵Q𝐵𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q)))
12 breq2 3818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏𝑐 <Q 𝐵))
13 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐿𝐵𝐿))
1412, 13anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)))
1514rspcev 2714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)) → ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿))
16 elinp 6954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))))
17 simpr1l 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))) → ∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
1816, 17sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
1918r19.21bi 2457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
2015, 19syl5ibrcom 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
21203impb 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵Q𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
22213com12 1145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 <Q 𝐵𝐵Q𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
23223expib 1144 . . . . . . . . . 10 (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵Q𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿)))
2423impd 251 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵Q𝐵𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q)) → 𝑐𝐿))
2511, 24syl5bi 150 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵Q𝑐Q) ∧ (𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐𝐿))
2610, 25mpand 420 . . . . . . 7 (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐𝐿))
2726com12 30 . . . . . 6 ((𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿))
2827ancoms 264 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿))
298, 28vtoclg 2671 . . . 4 (𝐶Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿)))
3029impd 251 . . 3 (𝐶Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿))
314, 30mpcom 36 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿)
3231ex 113 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  wss 2986  cop 3428   class class class wbr 3814  Qcnq 6760   <Q cltq 6765  Pcnp 6771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-qs 6231  df-ni 6784  df-nqqs 6828  df-ltnqqs 6833  df-inp 6946
This theorem is referenced by:  prubl  6966  addnqprllem  7007  nqprl  7031  mulnqprl  7048  distrlem4prl  7064  ltprordil  7069  1idprl  7070  ltpopr  7075  ltaddpr  7077  ltexprlemlol  7082  ltexprlemfl  7089  ltexprlemrl  7090  aptiprleml  7119  aptiprlemu  7120  archrecpr  7144  caucvgprprlemml  7174
  Copyright terms: Public domain W3C validator