ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prcdnql GIF version

Theorem prcdnql 7140
Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prcdnql ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))

Proof of Theorem prcdnql
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 7021 . . . . . 6 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 4519 . . . . 5 (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶Q𝐵Q))
32simpld 111 . . . 4 (𝐶 <Q 𝐵𝐶Q)
43adantl 272 . . 3 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶Q)
5 breq1 3870 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵𝐶 <Q 𝐵))
6 eleq1 2157 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐿𝐶𝐿))
75, 6imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿)))
87imbi2d 229 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))))
91brel 4519 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐Q𝐵Q))
109ancomd 264 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵Q𝑐Q))
11 an42 555 . . . . . . . . 9 (((𝐵Q𝑐Q) ∧ (𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵Q𝐵𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q)))
12 breq2 3871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏𝑐 <Q 𝐵))
13 eleq1 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝐿𝐵𝐿))
1412, 13anbi12d 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)))
1514rspcev 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)) → ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿))
16 elinp 7130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))))
17 simpr1l 1003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑐Q 𝑐𝐿 ∧ ∃𝑏Q 𝑏𝑈)) ∧ ((∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)) ∧ ∀𝑏Q (𝑏𝑈 ↔ ∃𝑐Q (𝑐 <Q 𝑏𝑐𝑈))) ∧ ∀𝑐Q ¬ (𝑐𝐿𝑐𝑈) ∧ ∀𝑐Q𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐𝐿𝑏𝑈)))) → ∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
1816, 17sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐Q (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
1918r19.21bi 2473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → (𝑐𝐿 ↔ ∃𝑏Q (𝑐 <Q 𝑏𝑏𝐿)))
2015, 19syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
21203impb 1142 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵Q𝑐 <Q 𝐵𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
22213com12 1150 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 <Q 𝐵𝐵Q𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿))
23223expib 1149 . . . . . . . . . 10 (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵Q𝐵𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q) → 𝑐𝐿)))
2423impd 252 . . . . . . . . 9 (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵Q𝐵𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑐Q)) → 𝑐𝐿))
2511, 24syl5bi 151 . . . . . . . 8 (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵Q𝑐Q) ∧ (𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐𝐿))
2610, 25mpand 421 . . . . . . 7 (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐𝐿))
2726com12 30 . . . . . 6 ((𝐵𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿))
2827ancoms 265 . . . . 5 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵𝑐𝐿))
298, 28vtoclg 2693 . . . 4 (𝐶Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿)))
3029impd 252 . . 3 (𝐶Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿))
314, 30mpcom 36 . 2 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶𝐿)
3231ex 114 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐵𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵𝐶𝐿))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 667  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445  wral 2370  wrex 2371  wss 3013  cop 3469   class class class wbr 3867  Qcnq 6936   <Q cltq 6941  Pcnp 6947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122
This theorem is referenced by:  prubl  7142  addnqprllem  7183  nqprl  7207  mulnqprl  7224  distrlem4prl  7240  ltprordil  7245  1idprl  7246  ltpopr  7251  ltaddpr  7253  ltexprlemlol  7258  ltexprlemfl  7265  ltexprlemrl  7266  aptiprleml  7295  aptiprlemu  7296  archrecpr  7320  caucvgprprlemml  7350
  Copyright terms: Public domain W3C validator