Theorem prcdnql 7508

Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcdnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem prcdnql

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7389	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4693	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ Q)
5		breq1 4021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))))
9	1	brel 4693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
10	9	ancomd 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q))
11		an42 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)))
12		breq2 4022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝑐 <Q 𝐵))
13		eleq1 2252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)))
15	14	rspcev 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿))
16		elinp 7498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
17		simpr1l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
18	16, 17	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
19	18	r19.21bi 2578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
21	20	3impb 1201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
22	21	3com12 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
23	22	3expib 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿)))
24	23	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
25	11, 24	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
26	10, 25	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐 ∈ 𝐿))
27	26	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
28	27	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
29	8, 28	vtoclg 2812	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
30	29	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿))
31	4, 30	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿)
32	31	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ⊆ wss 3144  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018  Qcnq 7304   <_Q cltq 7309  Pcnp 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-qs 6560  df-ni 7328  df-nqqs 7372  df-ltnqqs 7377  df-inp 7490

This theorem is referenced by:  prubl  7510  addnqprllem  7551  nqprl  7575  mulnqprl  7592  distrlem4prl  7608  ltprordil  7613  1idprl  7614  ltpopr  7619  ltaddpr  7621  ltexprlemlol  7626  ltexprlemfl  7633  ltexprlemrl  7634  aptiprleml  7663  aptiprlemu  7664  archrecpr  7688  caucvgprprlemml  7718  suplocexprlemrl  7741  suplocexprlemloc  7745