Theorem prcdnql 7709

Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcdnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem prcdnql

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7590	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4780	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ Q)
5		breq1 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))))
9	1	brel 4780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
10	9	ancomd 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q))
11		an42 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)))
12		breq2 4093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝑐 <Q 𝐵))
13		eleq1 2293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)))
15	14	rspcev 2909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿))
16		elinp 7699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
17		simpr1l 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
18	16, 17	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
19	18	r19.21bi 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
21	20	3impb 1225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
22	21	3com12 1233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
23	22	3expib 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿)))
24	23	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
25	11, 24	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
26	10, 25	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐 ∈ 𝐿))
27	26	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
28	27	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
29	8, 28	vtoclg 2863	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
30	29	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿))
31	4, 30	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿)
32	31	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  ∃wrex 2510   ⊆ wss 3199  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089  Qcnq 7505   <_Q cltq 7510  Pcnp 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-qs 6713  df-ni 7529  df-nqqs 7573  df-ltnqqs 7578  df-inp 7691

This theorem is referenced by:  prubl  7711  addnqprllem  7752  nqprl  7776  mulnqprl  7793  distrlem4prl  7809  ltprordil  7814  1idprl  7815  ltpopr  7820  ltaddpr  7822  ltexprlemlol  7827  ltexprlemfl  7834  ltexprlemrl  7835  aptiprleml  7864  aptiprlemu  7865  archrecpr  7889  caucvgprprlemml  7919  suplocexprlemrl  7942  suplocexprlemloc  7946