Theorem prcdnql 7667

Description: A lower cut is closed downwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcdnql	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Proof of Theorem prcdnql

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 7548	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 4770	. . . . 5 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → (𝐶 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ Q)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ Q)
5		breq1 4085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 <Q 𝐵 ↔ 𝐶 <Q 𝐵))
6		eleq1 2292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ 𝐶 ∈ 𝐿))
7	5, 6	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿) ↔ (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
8	7	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))))
9	1	brel 4770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝑐 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
10	9	ancomd 267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q))
11		an42 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) ↔ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)))
12		breq2 4086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑐 <Q 𝑏 ↔ 𝑐 <Q 𝐵))
13		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 ∈ 𝐿 ↔ 𝐵 ∈ 𝐿))
14	12, 13	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿) ↔ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)))
15	14	rspcev 2907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿))
16		elinp 7657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))))
17		simpr1l 1078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑐 ∈ Q 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ Q 𝑏 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑏 ∈ Q (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ¬ (𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑐 ∈ Q ∀𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 → (𝑐 ∈ 𝐿 ∨ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
18	16, 17	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑐 ∈ Q (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
19	18	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → (𝑐 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑏 ∈ Q (𝑐 <Q 𝑏 ∧ 𝑏 ∈ 𝐿)))
20	15, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿)) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
21	20	3impb 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
22	21	3com12 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 <Q 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿))
23	22	3expib 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q) → 𝑐 ∈ 𝐿)))
24	23	impd 254	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑐 ∈ Q)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
25	11, 24	biimtrid 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → (((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑐 ∈ Q) ∧ (𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)) → 𝑐 ∈ 𝐿))
26	10, 25	mpand 429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 <Q 𝐵 → ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → 𝑐 ∈ 𝐿))
27	26	com12 30	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐿 ∧ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
28	27	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝑐 <Q 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐿))
29	8, 28	vtoclg 2861	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿)))
30	29	impd 254	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Q → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿))
31	4, 30	mpcom 36	. 2 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) ∧ 𝐶 <Q 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐿)
32	31	ex 115	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐵 ∈ 𝐿) → (𝐶 <Q 𝐵 → 𝐶 ∈ 𝐿))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  Qcnq 7463   <_Q cltq 7468  Pcnp 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-qs 6684  df-ni 7487  df-nqqs 7531  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649

This theorem is referenced by:  prubl  7669  addnqprllem  7710  nqprl  7734  mulnqprl  7751  distrlem4prl  7767  ltprordil  7772  1idprl  7773  ltpopr  7778  ltaddpr  7780  ltexprlemlol  7785  ltexprlemfl  7792  ltexprlemrl  7793  aptiprleml  7822  aptiprlemu  7823  archrecpr  7847  caucvgprprlemml  7877  suplocexprlemrl  7900  suplocexprlemloc  7904