Theorem bdtri 11280

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1023	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp2l 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 8017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		simp3 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 9726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 5	readdcld 8017	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
7	1	recnd 8016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 8016	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 8007	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	5	recnd 8016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 8298	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 11222	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 12	resubcld 8368	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
14	1, 5	readdcld 8017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
15	7, 10	subcld 8298	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 11222	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 8368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	2, 5	readdcld 8017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
19	8, 10	subcld 8298	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	abscld 11222	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 8368	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
22	17, 21	readdcld 8017	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
23		2rp 9688	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
25	12	renegcld 8367	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
26	16, 20	readdcld 8017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
27	5, 26	resubcld 8368	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
28	16	recnd 8016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
29	20	recnd 8016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	28, 29	addcld 8007	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
31	12	recnd 8016	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	30, 31, 30	sub32d 8330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
33	30	subidd 8286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = 0)
34	33	oveq1d 5911	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
35	32, 34	eqtrd 2222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
36		df-neg 8161	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
37	35, 36	eqtr4di 2240	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
38	26, 12	resubcld 8368	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
39		bdtrilem 11279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
40	26, 12, 5	lesubaddd 8529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
41	39, 40	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶)
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8548	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
43	37, 42	eqbrtrrd 4042	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8547	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
45	9, 10	addcld 8007	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 31	negsubd 8304	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
47	9, 10, 10	addassd 8010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
48	7, 8, 10, 10	add4d 8156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
49	47, 48	eqtrd 2222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
50	49	oveq1d 5911	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
51	45, 10, 30	addsubassd 8318	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
52	7, 10	addcld 8007	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
53	8, 10	addcld 8007	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8345	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
56	44, 46, 55	3brtr3d 4049	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9785	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2) ≤ ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
58		minabs 11276	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
59	3, 5, 58	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
60		minabs 11276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
61	1, 5, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
62		minabs 11276	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
63	2, 5, 62	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
64	61, 63	oveq12d 5914	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
65	52, 28	subcld 8298	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℂ)
66	53, 29	subcld 8298	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
67		2cnd 9022	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
68		2ap0 9042	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 # 0)
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8816	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
71	64, 70	eqtr4d 2225	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
72	57, 59, 71	3brtr4d 4050	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {cpr 3608   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  infcinf 7012  ℝcr 7840  0cc0 7841   + caddc 7844   < clt 8022   ≤ cle 8023   − cmin 8158  -cneg 8159   # cap 8568   / cdiv 8659  2c2 9000  ℝ⁺crp 9683  abscabs 11038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11316