Theorem bdtri 11737

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1045	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp2l 1047	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 8164	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		simp3 1023	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 9880	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 5	readdcld 8164	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
7	1	recnd 8163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 8163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 8154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	5	recnd 8163	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 8445	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 11678	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 12	resubcld 8515	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
14	1, 5	readdcld 8164	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
15	7, 10	subcld 8445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 11678	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 8515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	2, 5	readdcld 8164	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
19	8, 10	subcld 8445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	abscld 11678	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 8515	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
22	17, 21	readdcld 8164	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
23		2rp 9842	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
25	12	renegcld 8514	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
26	16, 20	readdcld 8164	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
27	5, 26	resubcld 8515	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
28	16	recnd 8163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
29	20	recnd 8163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	28, 29	addcld 8154	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
31	12	recnd 8163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	30, 31, 30	sub32d 8477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
33	30	subidd 8433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = 0)
34	33	oveq1d 6009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
35	32, 34	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
36		df-neg 8308	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
37	35, 36	eqtr4di 2280	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
38	26, 12	resubcld 8515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
39		bdtrilem 11736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
40	26, 12, 5	lesubaddd 8677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
41	39, 40	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶)
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8696	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
43	37, 42	eqbrtrrd 4106	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8695	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
45	9, 10	addcld 8154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 31	negsubd 8451	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
47	9, 10, 10	addassd 8157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
48	7, 8, 10, 10	add4d 8303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
49	47, 48	eqtrd 2262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
50	49	oveq1d 6009	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
51	45, 10, 30	addsubassd 8465	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
52	7, 10	addcld 8154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
53	8, 10	addcld 8154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
56	44, 46, 55	3brtr3d 4113	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9939	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2) ≤ ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
58		minabs 11733	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
59	3, 5, 58	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
60		minabs 11733	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
61	1, 5, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
62		minabs 11733	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
63	2, 5, 62	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
64	61, 63	oveq12d 6012	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
65	52, 28	subcld 8445	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℂ)
66	53, 29	subcld 8445	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
67		2cnd 9171	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
68		2ap0 9191	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 # 0)
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8964	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
71	64, 70	eqtr4d 2265	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
72	57, 59, 71	3brtr4d 4114	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  infcinf 7138  ℝcr 7986  0cc0 7987   + caddc 7990   < clt 8169   ≤ cle 8170   − cmin 8305  -cneg 8306   # cap 8716   / cdiv 8807  2c2 9149  ℝ⁺crp 9837  abscabs 11494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11773