Theorem bdtri 11167

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1010	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp2l 1012	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 7919	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		simp3 988	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 9623	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 5	readdcld 7919	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
7	1	recnd 7918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 7918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 7909	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	5	recnd 7918	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 8200	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 11109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 12	resubcld 8270	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
14	1, 5	readdcld 7919	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
15	7, 10	subcld 8200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 11109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 8270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	2, 5	readdcld 7919	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
19	8, 10	subcld 8200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	abscld 11109	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 8270	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
22	17, 21	readdcld 7919	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
23		2rp 9585	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
25	12	renegcld 8269	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
26	16, 20	readdcld 7919	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
27	5, 26	resubcld 8270	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
28	16	recnd 7918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
29	20	recnd 7918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	28, 29	addcld 7909	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
31	12	recnd 7918	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	30, 31, 30	sub32d 8232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
33	30	subidd 8188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = 0)
34	33	oveq1d 5851	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
35	32, 34	eqtrd 2197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
36		df-neg 8063	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
37	35, 36	eqtr4di 2215	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
38	26, 12	resubcld 8270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
39		bdtrilem 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
40	26, 12, 5	lesubaddd 8431	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
41	39, 40	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶)
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
43	37, 42	eqbrtrrd 4000	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8449	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
45	9, 10	addcld 7909	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 31	negsubd 8206	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
47	9, 10, 10	addassd 7912	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
48	7, 8, 10, 10	add4d 8058	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
49	47, 48	eqtrd 2197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
50	49	oveq1d 5851	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
51	45, 10, 30	addsubassd 8220	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
52	7, 10	addcld 7909	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
53	8, 10	addcld 7909	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8247	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2205	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
56	44, 46, 55	3brtr3d 4007	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9682	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2) ≤ ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
58		minabs 11163	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
59	3, 5, 58	syl2anc 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
60		minabs 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
61	1, 5, 60	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
62		minabs 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
63	2, 5, 62	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
64	61, 63	oveq12d 5854	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
65	52, 28	subcld 8200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℂ)
66	53, 29	subcld 8200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
67		2cnd 8921	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
68		2ap0 8941	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 # 0)
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8716	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
71	64, 70	eqtr4d 2200	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
72	57, 59, 71	3brtr4d 4008	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 967   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  {cpr 3571   class class class wbr 3976  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  infcinf 6939  ℝcr 7743  0cc0 7744   + caddc 7747   < clt 7924   ≤ cle 7925   − cmin 8060  -cneg 8061   # cap 8470   / cdiv 8559  2c2 8899  ℝ⁺crp 9580  abscabs 10925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-rp 9581  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11203