Theorem bdtri 11004

Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bdtri	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Proof of Theorem bdtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1005	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simp2l 1007	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 7788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		simp3 983	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 9476	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	3, 5	readdcld 7788	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℝ)
7	1	recnd 7787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 7787	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	addcld 7778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
10	5	recnd 7787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	9, 10	subcld 8066	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℂ)
12	11	abscld 10946	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
13	6, 12	resubcld 8136	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
14	1, 5	readdcld 7788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
15	7, 10	subcld 8066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 − 𝐶) ∈ ℂ)
16	15	abscld 10946	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℝ)
17	14, 16	resubcld 8136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℝ)
18	2, 5	readdcld 7788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
19	8, 10	subcld 8066	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐶) ∈ ℂ)
20	19	abscld 10946	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℝ)
21	18, 20	resubcld 8136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
22	17, 21	readdcld 7788	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
23		2rp 9439	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ+
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℝ+)
25	12	renegcld 8135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℝ)
26	16, 20	readdcld 7788	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℝ)
27	5, 26	resubcld 8136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ∈ ℝ)
28	16	recnd 7787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐴 − 𝐶)) ∈ ℂ)
29	20	recnd 7787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐵 − 𝐶)) ∈ ℂ)
30	28, 29	addcld 7778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
31	12	recnd 7787	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ∈ ℂ)
32	30, 31, 30	sub32d 8098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
33	30	subidd 8054	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = 0)
34	33	oveq1d 5782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
35	32, 34	eqtrd 2170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
36		df-neg 7929	. . . . . . 7 ⊢ -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (0 − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
37	35, 36	syl6eqr 2188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))
38	26, 12	resubcld 8136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ∈ ℝ)
39		bdtrilem 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
40	26, 12, 5	lesubaddd 8297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶 ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ≤ (𝐶 + (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)))))
41	39, 40	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ 𝐶)
42	38, 5, 26, 41	lesub1dd 8316	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
43	37, 42	eqbrtrrd 3947	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) ≤ (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
44	25, 27, 6, 43	leadd2dd 8315	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
45	9, 10	addcld 7778	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) ∈ ℂ)
46	45, 31	negsubd 8072	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + -(abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))))
47	9, 10, 10	addassd 7781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)))
48	7, 8, 10, 10	add4d 7924	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐵) + (𝐶 + 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
49	47, 48	eqtrd 2170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) = ((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)))
50	49	oveq1d 5782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
51	45, 10, 30	addsubassd 8086	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + 𝐶) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))))
52	7, 10	addcld 7778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℂ)
53	8, 10	addcld 7778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℂ)
54	52, 53, 28, 29	addsub4d 8113	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐶)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
55	50, 51, 54	3eqtr3d 2178	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) + (𝐶 − ((abs‘(𝐴 − 𝐶)) + (abs‘(𝐵 − 𝐶))))) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
56	44, 46, 55	3brtr3d 3954	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) ≤ (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))))
57	13, 22, 24, 56	lediv1dd 9535	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2) ≤ ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
58		minabs 11000	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
59	3, 5, 58	syl2anc 408	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) = ((((𝐴 + 𝐵) + 𝐶) − (abs‘((𝐴 + 𝐵) − 𝐶))) / 2))
60		minabs 11000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
61	1, 5, 60	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2))
62		minabs 11000	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
63	2, 5, 62	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < ) = (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2))
64	61, 63	oveq12d 5785	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
65	52, 28	subcld 8066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) ∈ ℂ)
66	53, 29	subcld 8066	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) ∈ ℂ)
67		2cnd 8786	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
68		2ap0 8806	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
69	68	a1i 9	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 2 # 0)
70	65, 66, 67, 69	divdirapd 8582	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) / 2) + (((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶))) / 2)))
71	64, 70	eqtr4d 2173	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )) = ((((𝐴 + 𝐶) − (abs‘(𝐴 − 𝐶))) + ((𝐵 + 𝐶) − (abs‘(𝐵 − 𝐶)))) / 2))
72	57, 59, 71	3brtr4d 3955	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → inf({(𝐴 + 𝐵), 𝐶}, ℝ, < ) ≤ (inf({𝐴, 𝐶}, ℝ, < ) + inf({𝐵, 𝐶}, ℝ, < )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3523   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  infcinf 6863  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926  -cneg 7927   # cap 8336   / cdiv 8425  2c2 8764  ℝ⁺crp 9434  abscabs 10762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11038