Theorem apexp1 10948

Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apexp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apexp1

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑1))
2		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑1) # (𝐵↑1)))
4	3	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵)))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))))
6		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
7		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
8	6, 7	breq12d 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)))
9	8	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)))
10	9	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))))
11		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
13	11, 12	breq12d 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))))
14	13	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
16		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
17		oveq2 6015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑁))
18	16, 17	breq12d 4096	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁)))
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
20	19	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))))
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10898	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	exp1d 10898	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
25	22, 24	breq12d 4096	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) ↔ 𝐴 # 𝐵))
26	25	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))
27		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘))
28		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → 𝐴 # 𝐵)
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)))
32	21	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33		nnnn0 9384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	32, 34	expp1d 10904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
36	23	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36, 34	expp1d 10904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
38	31, 35, 37	3brtr3d 4114	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
39	32, 34	expcld 10903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
40	36, 34	expcld 10903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
41		mulext 8769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
42	39, 32, 40, 36, 41	syl22anc 1272	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
43	38, 42	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵))
44	29, 30, 43	mpjaodan 803	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 # 𝐵)
45	44	exp41 370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
46	45	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
47	5, 10, 15, 20, 26, 46	nnind 9134	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
48	47	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
49	48	3impa 1218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   # cap 8736  ℕcn 9118  ℕ₀cn0 9377  ↑cexp 10768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-seqfrec 10678  df-exp 10769

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  15651