Theorem apexp1 10981

Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apexp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apexp1

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑1))
2		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑1) # (𝐵↑1)))
4	3	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵)))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))))
6		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
7		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
8	6, 7	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)))
9	8	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)))
10	9	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))))
11		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
13	11, 12	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))))
14	13	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
16		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
17		oveq2 6026	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑁))
18	16, 17	breq12d 4101	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁)))
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
20	19	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))))
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	exp1d 10931	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
25	22, 24	breq12d 4101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) ↔ 𝐴 # 𝐵))
26	25	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))
27		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘))
28		simpllr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → 𝐴 # 𝐵)
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)))
32	21	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33		nnnn0 9409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	32, 34	expp1d 10937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
36	23	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36, 34	expp1d 10937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
38	31, 35, 37	3brtr3d 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
39	32, 34	expcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
40	36, 34	expcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
41		mulext 8794	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
42	39, 32, 40, 36, 41	syl22anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
43	38, 42	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵))
44	29, 30, 43	mpjaodan 805	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 # 𝐵)
45	44	exp41 370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
46	45	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
47	5, 10, 15, 20, 26, 46	nnind 9159	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
48	47	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
49	48	3impa 1220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   # cap 8761  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  ↑cexp 10801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-seqfrec 10711  df-exp 10802

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  15699