Theorem apexp1 11079

Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apexp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apexp1

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑1))
2		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑1) # (𝐵↑1)))
4	3	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵)))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))))
6		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
7		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
8	6, 7	breq12d 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)))
9	8	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)))
10	9	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))))
11		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
13	11, 12	breq12d 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))))
14	13	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
16		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
17		oveq2 6057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑁))
18	16, 17	breq12d 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁)))
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
20	19	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))))
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	exp1d 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
25	22, 24	breq12d 4121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) ↔ 𝐴 # 𝐵))
26	25	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))
27		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘))
28		simpllr 536	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → 𝐴 # 𝐵)
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)))
32	21	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33		nnnn0 9502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	32, 34	expp1d 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
36	23	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36, 34	expp1d 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
38	31, 35, 37	3brtr3d 4139	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
39	32, 34	expcld 11034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
40	36, 34	expcld 11034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
41		mulext 8887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
42	39, 32, 40, 36, 41	syl22anc 1275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
43	38, 42	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵))
44	29, 30, 43	mpjaodan 806	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 # 𝐵)
45	44	exp41 370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
46	45	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
47	5, 10, 15, 20, 26, 46	nnind 9252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
48	47	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
49	48	3impa 1221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  1c1 8127   + caddc 8129   · cmul 8131   # cap 8854  ℕcn 9236  ℕ₀cn0 9495  ↑cexp 10899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-seqfrec 10809  df-exp 10900

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  15826