Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apexp1 GIF version

Theorem apexp1 10574
 Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
apexp1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # (𝐵𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apexp1
Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐴𝑤) = (𝐴↑1))
2 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝐵𝑤) = (𝐵↑1))
31, 2breq12d 3978 . . . . . 6 (𝑤 = 1 → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) ↔ (𝐴↑1) # (𝐵↑1)))
43imbi1d 230 . . . . 5 (𝑤 = 1 → (((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵)))
54imbi2d 229 . . . 4 (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))))
6 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑘))
7 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑘 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝑘))
86, 7breq12d 3978 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) ↔ (𝐴𝑘) # (𝐵𝑘)))
98imbi1d 230 . . . . 5 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)))
109imbi2d 229 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵))))
11 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
1311, 12breq12d 3978 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))))
1413imbi1d 230 . . . . 5 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵)))
1514imbi2d 229 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
16 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐴𝑤) = (𝐴𝑁))
17 oveq2 5826 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑁 → (𝐵𝑤) = (𝐵𝑁))
1816, 17breq12d 3978 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) ↔ (𝐴𝑁) # (𝐵𝑁)))
1918imbi1d 230 . . . . 5 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴𝑁) # (𝐵𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
2019imbi2d 229 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑤) # (𝐵𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) # (𝐵𝑁) → 𝐴 # 𝐵))))
21 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2221exp1d 10528 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
23 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
2423exp1d 10528 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
2522, 24breq12d 3978 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) ↔ 𝐴 # 𝐵))
2625biimpd 143 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))
27 simpr 109 . . . . . . . 8 (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴𝑘) # (𝐵𝑘)) → (𝐴𝑘) # (𝐵𝑘))
28 simpllr 524 . . . . . . . 8 (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴𝑘) # (𝐵𝑘)) → ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵))
2927, 28mpd 13 . . . . . . 7 (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴𝑘) # (𝐵𝑘)) → 𝐴 # 𝐵)
30 simpr 109 . . . . . . 7 (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
31 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)))
3221ad3antlr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 nnnn0 9080 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3433ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3532, 34expp1d 10534 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3623ad3antlr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
3736, 34expp1d 10534 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵𝑘) · 𝐵))
3831, 35, 373brtr3d 3995 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) # ((𝐵𝑘) · 𝐵))
3932, 34expcld 10533 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4036, 34expcld 10533 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
41 mulext 8472 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) # ((𝐵𝑘) · 𝐵) → ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
4239, 32, 40, 36, 41syl22anc 1221 . . . . . . . 8 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (((𝐴𝑘) · 𝐴) # ((𝐵𝑘) · 𝐵) → ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
4338, 42mpd 13 . . . . . . 7 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵))
4429, 30, 43mpjaodan 788 . . . . . 6 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 # 𝐵)
4544exp41 368 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
4645a2d 26 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) # (𝐵𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
475, 10, 15, 20, 26, 46nnind 8832 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) # (𝐵𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
4847impcom 124 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # (𝐵𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
49483impa 1177 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑁) # (𝐵𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5818  ℂcc 7713  1c1 7716   + caddc 7718   · cmul 7720   # cap 8439  ℕcn 8816  ℕ0cn0 9073  ↑cexp 10400 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-frec 6332  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-seqfrec 10327  df-exp 10401 This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  13246
 Copyright terms: Public domain W3C validator