Theorem apexp1 10631

Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apexp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apexp1

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑1))
2		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑1) # (𝐵↑1)))
4	3	imbi1d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵)))
5	4	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))))
6		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
7		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
8	6, 7	breq12d 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)))
9	8	imbi1d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)))
10	9	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))))
11		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
13	11, 12	breq12d 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))))
14	13	imbi1d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵)))
15	14	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
16		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
17		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑁))
18	16, 17	breq12d 3995	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁)))
19	18	imbi1d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
20	19	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))))
21		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
23		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	exp1d 10583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
25	22, 24	breq12d 3995	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) ↔ 𝐴 # 𝐵))
26	25	biimpd 143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))
27		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘))
28		simpllr 524	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → 𝐴 # 𝐵)
30		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
31		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)))
32	21	ad3antlr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33		nnnn0 9121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	33	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	32, 34	expp1d 10589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
36	23	ad3antlr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36, 34	expp1d 10589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
38	31, 35, 37	3brtr3d 4013	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
39	32, 34	expcld 10588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
40	36, 34	expcld 10588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
41		mulext 8512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
42	39, 32, 40, 36, 41	syl22anc 1229	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
43	38, 42	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵))
44	29, 30, 43	mpjaodan 788	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 # 𝐵)
45	44	exp41 368	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
46	45	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
47	5, 10, 15, 20, 26, 46	nnind 8873	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
48	47	impcom 124	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
49	48	3impa 1184	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   # cap 8479  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ↑cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  13527