Theorem apexp1 10700

Description: Exponentiation and apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
apexp1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apexp1

Dummy variables 𝑘 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑1))
2		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑1))
3	1, 2	breq12d 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 1 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑1) # (𝐵↑1)))
4	3	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵)))
5	4	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))))
6		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
7		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑘))
8	6, 7	breq12d 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)))
9	8	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)))
10	9	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))))
11		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
12		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑(𝑘 + 1)))
13	11, 12	breq12d 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))))
14	13	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵)))
15	14	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
16		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
17		oveq2 5885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐵↑𝑤) = (𝐵↑𝑁))
18	16, 17	breq12d 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁)))
19	18	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵) ↔ ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
20	19	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑤) # (𝐵↑𝑤) → 𝐴 # 𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))))
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	exp1d 10651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑1) = 𝐴)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	exp1d 10651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑1) = 𝐵)
25	22, 24	breq12d 4018	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) ↔ 𝐴 # 𝐵))
26	25	biimpd 144	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑1) # (𝐵↑1) → 𝐴 # 𝐵))
27		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘))
28		simpllr 534	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵))
29	27, 28	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ (𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘)) → 𝐴 # 𝐵)
30		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
31		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)))
32	21	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
33		nnnn0 9185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
35	32, 34	expp1d 10657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
36	23	ad3antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐵 ∈ ℂ)
37	36, 34	expp1d 10657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑(𝑘 + 1)) = ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
38	31, 35, 37	3brtr3d 4036	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵))
39	32, 34	expcld 10656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
40	36, 34	expcld 10656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℂ)
41		mulext 8573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
42	39, 32, 40, 36, 41	syl22anc 1239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → (((𝐴↑𝑘) · 𝐴) # ((𝐵↑𝑘) · 𝐵) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵)))
43	38, 42	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) ∨ 𝐴 # 𝐵))
44	29, 30, 43	mpjaodan 798	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) ∧ (𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1))) → 𝐴 # 𝐵)
45	44	exp41 370	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
46	45	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑘) # (𝐵↑𝑘) → 𝐴 # 𝐵)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑(𝑘 + 1)) # (𝐵↑(𝑘 + 1)) → 𝐴 # 𝐵))))
47	5, 10, 15, 20, 26, 46	nnind 8937	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵)))
48	47	impcom 125	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))
49	48	3impa 1194	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴↑𝑁) # (𝐵↑𝑁) → 𝐴 # 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   # cap 8540  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ↑cexp 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-exp 10522

This theorem is referenced by:  logbgcd1irraplemap  14472