Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdifflemr GIF version

Theorem apdifflemr 14798
Description: Lemma for apdiff 14799. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemr.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
apdifflemr.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„š)
apdifflemr.1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ -1)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
apdifflemr.as ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))))
Assertion
Ref Expression
apdifflemr (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐‘†)

Proof of Theorem apdifflemr
StepHypRef Expression
1 2cnd 8992 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 apdifflemr.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32recnd 7986 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
432timesd 9161 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
5 apdifflemr.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ -1)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
6 1cnd 7973 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
73, 6subnegd 8275 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ -1) = (๐ด + 1))
83, 6, 7comraddd 8114 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ -1) = (1 + ๐ด))
98fveq2d 5520 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ -1)) = (absโ€˜(1 + ๐ด)))
103, 6abssubd 11202 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 1)) = (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
115, 9, 103brtr3d 4035 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 + ๐ด)) # (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
126, 3addcld 7977 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
136, 3subcld 8268 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 absext 11072 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(1 + ๐ด)) # (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ (1 + ๐ด) # (1 โˆ’ ๐ด)))
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 + ๐ด)) # (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ (1 + ๐ด) # (1 โˆ’ ๐ด)))
1611, 15mpd 13 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) # (1 โˆ’ ๐ด))
176, 3negsubd 8274 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
1816, 17breqtrrd 4032 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) # (1 + -๐ด))
193negcld 8255 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
20 apadd2 8566 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (1 + ๐ด) # (1 + -๐ด)))
213, 19, 6, 20syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (1 + ๐ด) # (1 + -๐ด)))
2218, 21mpbird 167 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # -๐ด)
23 apadd2 8566 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + -๐ด)))
243, 19, 3, 23syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + -๐ด)))
2522, 24mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ด) # (๐ด + -๐ด))
263negidd 8258 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + -๐ด) = 0)
2725, 26breqtrd 4030 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ด) # 0)
284, 27eqbrtrd 4026 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) # 0)
291, 3, 28mulap0bbd 8617 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
3029adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† = 0) โ†’ ๐ด # 0)
31 simpr 110 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† = 0) โ†’ ๐‘† = 0)
3230, 31breqtrrd 4032 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† = 0) โ†’ ๐ด # ๐‘†)
334adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
34 apdifflemr.as . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))))
353subid1d 8257 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
3635fveq2d 5520 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) = (absโ€˜๐ด))
37 2z 9281 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„ค
38 zq 9626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„š
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
41 apdifflemr.s . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„š)
42 qmulcl 9637 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„š โˆง ๐‘† โˆˆ โ„š) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„š)
4340, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„š)
44 qcn 9634 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„š โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
463, 45abssubd 11202 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))) = (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
4736, 46breq12d 4017 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))) โ†” (absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))) โ†” (absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
4934, 48mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
503adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5145, 3subcld 8268 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
53 absext 11072 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)) โ†’ ๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
5450, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)) โ†’ ๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
5549, 54mpd 13 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))
56 apadd2 8566 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
5750, 52, 50, 56syl3anc 1238 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
5855, 57mpbid 147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด + ๐ด) # (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
5945adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6050, 59pncan3d 8271 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)) = (2 ยท ๐‘†))
6158, 60breqtrd 4030 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด + ๐ด) # (2 ยท ๐‘†))
6233, 61eqbrtrd 4026 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐ด) # (2 ยท ๐‘†))
63 qcn 9634 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6441, 63syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6564adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
66 2cnd 8992 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
67 2ap0 9012 . . . . 5 2 # 0
6867a1i 9 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ 2 # 0)
69 apmul2 8746 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)) โ†’ (๐ด # ๐‘† โ†” (2 ยท ๐ด) # (2 ยท ๐‘†)))
7050, 65, 66, 68, 69syl112anc 1242 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด # ๐‘† โ†” (2 ยท ๐ด) # (2 ยท ๐‘†)))
7162, 70mpbird 167 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐ด # ๐‘†)
72 0z 9264 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
73 zq 9626 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 0 โˆˆ โ„š
75 qdceq 10247 . . . . 5 ((๐‘† โˆˆ โ„š โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ DECID ๐‘† = 0)
7641, 74, 75sylancl 413 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ DECID ๐‘† = 0)
77 exmiddc 836 . . . 4 (DECID ๐‘† = 0 โ†’ (๐‘† = 0 โˆจ ยฌ ๐‘† = 0))
7876, 77syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† = 0 โˆจ ยฌ ๐‘† = 0))
79 df-ne 2348 . . . 4 (๐‘† โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘† = 0)
8079orbi2i 762 . . 3 ((๐‘† = 0 โˆจ ๐‘† โ‰  0) โ†” (๐‘† = 0 โˆจ ยฌ ๐‘† = 0))
8178, 80sylibr 134 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† = 0 โˆจ ๐‘† โ‰  0))
8232, 71, 81mpjaodan 798 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  -cneg 8129   # cap 8538  2c2 8970  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619  abscabs 11006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008
This theorem is referenced by:  apdiff  14799
  Copyright terms: Public domain W3C validator