Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdifflemr GIF version

Theorem apdifflemr 15461
Description: Lemma for apdiff 15462. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemr.s (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
apdifflemr.1 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
apdifflemr.as ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
Assertion
Ref Expression
apdifflemr (𝜑𝐴 # 𝑆)

Proof of Theorem apdifflemr
StepHypRef Expression
1 2cnd 9041 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2 apdifflemr.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32recnd 8034 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
432timesd 9211 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5 apdifflemr.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
6 1cnd 8021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
73, 6subnegd 8323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
83, 6, 7comraddd 8162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 − -1) = (1 + 𝐴))
98fveq2d 5546 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) = (abs‘(1 + 𝐴)))
103, 6abssubd 11311 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 1)) = (abs‘(1 − 𝐴)))
115, 9, 103brtr3d 4056 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)))
126, 3addcld 8025 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
136, 3subcld 8316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
14 absext 11181 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
1611, 15mpd 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴))
176, 3negsubd 8322 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
1816, 17breqtrrd 4053 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴))
193negcld 8303 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
20 apadd2 8614 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
213, 19, 6, 20syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
2218, 21mpbird 167 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 # -𝐴)
23 apadd2 8614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
243, 19, 3, 23syl3anc 1249 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
2522, 24mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴))
263negidd 8306 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
2725, 26breqtrd 4051 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # 0)
284, 27eqbrtrd 4047 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) # 0)
291, 3, 28mulap0bbd 8665 . . . 4 (𝜑𝐴 # 0)
3029adantr 276 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐴 # 0)
31 simpr 110 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝑆 = 0)
3230, 31breqtrrd 4053 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐴 # 𝑆)
334adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
34 apdifflemr.as . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
353subid1d 8305 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3635fveq2d 5546 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
37 2z 9331 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
38 zq 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℚ
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℚ)
41 apdifflemr.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
42 qmulcl 9688 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
4340, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
44 qcn 9685 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑆) ∈ ℚ → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
463, 45abssubd 11311 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) = (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
4736, 46breq12d 4038 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
4934, 48mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
503adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5145, 3subcld 8316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
5251adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
53 absext 11181 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
5450, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
5549, 54mpd 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴))
56 apadd2 8614 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
5750, 52, 50, 56syl3anc 1249 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
5855, 57mpbid 147 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
5945adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
6050, 59pncan3d 8319 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)) = (2 · 𝑆))
6158, 60breqtrd 4051 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (2 · 𝑆))
6233, 61eqbrtrd 4047 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆))
63 qcn 9685 . . . . . 6 (𝑆 ∈ ℚ → 𝑆 ∈ ℂ)
6441, 63syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
6564adantr 276 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
66 2cnd 9041 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
67 2ap0 9061 . . . . 5 2 # 0
6867a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 2 # 0)
69 apmul2 8794 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
7050, 65, 66, 68, 69syl112anc 1253 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
7162, 70mpbird 167 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # 𝑆)
72 0z 9314 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
73 zq 9677 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 0 ∈ ℚ
75 qdceq 10300 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑆 = 0)
7641, 74, 75sylancl 413 . . . 4 (𝜑DECID 𝑆 = 0)
77 exmiddc 837 . . . 4 (DECID 𝑆 = 0 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
7876, 77syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
79 df-ne 2361 . . . 4 (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
8079orbi2i 763 . . 3 ((𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0) ↔ (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
8178, 80sylibr 134 . 2 (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0))
8232, 71, 81mpjaodan 799 1 (𝜑𝐴 # 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4025  cfv 5242  (class class class)co 5906  cc 7856  cr 7857  0cc0 7858  1c1 7859   + caddc 7861   · cmul 7863  cmin 8176  -cneg 8177   # cap 8586  2c2 9019  cz 9303  cq 9670  abscabs 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-frec 6431  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117
This theorem is referenced by:  apdiff  15462
  Copyright terms: Public domain W3C validator