Theorem apdifflemr 13926

Description: Lemma for apdiff 13927. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
apdifflemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
apdifflemr.1	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
apdifflemr.as	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))

Assertion

Ref	Expression
apdifflemr	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Proof of Theorem apdifflemr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		apdifflemr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	2timesd 9099	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5		apdifflemr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
6		1cnd 7915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	3, 6	subnegd 8216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
8	3, 6, 7	comraddd 8055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (1 + 𝐴))
9	8	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) = (abs‘(1 + 𝐴)))
10	3, 6	abssubd 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 1)) = (abs‘(1 − 𝐴)))
11	5, 9, 10	3brtr3d 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)))
12	6, 3	addcld 7918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	6, 3	subcld 8209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
14		absext 11005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
16	11, 15	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴))
17	6, 3	negsubd 8215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
18	16, 17	breqtrrd 4010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴))
19	3	negcld 8196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
20		apadd2 8507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
21	3, 19, 6, 20	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
22	18, 21	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # -𝐴)
23		apadd2 8507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
24	3, 19, 3, 23	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
25	22, 24	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴))
26	3	negidd 8199	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4008	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # 0)
28	4, 27	eqbrtrd 4004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) # 0)
29	1, 3, 28	mulap0bbd 8557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	29	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 0)
31		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑆 = 0)
32	30, 31	breqtrrd 4010	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 𝑆)
33	4	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
34		apdifflemr.as	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
35	3	subid1d 8198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
36	35	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
37		2z 9219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		zq 9564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℚ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℚ)
41		apdifflemr.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
42		qmulcl 9575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
44		qcn 9572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℚ → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
46	3, 45	abssubd 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) = (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
47	36, 46	breq12d 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
48	47	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
49	34, 48	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
50	3	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
51	45, 3	subcld 8209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
52	51	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
53		absext 11005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
55	49, 54	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴))
56		apadd2 8507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
57	50, 52, 50, 56	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
58	55, 57	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
59	45	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
60	50, 59	pncan3d 8212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)) = (2 · 𝑆))
61	58, 60	breqtrd 4008	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (2 · 𝑆))
62	33, 61	eqbrtrd 4004	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆))
63		qcn 9572	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℚ → 𝑆 ∈ ℂ)
64	41, 63	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65	64	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
66		2cnd 8930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
67		2ap0 8950	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
68	67	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 # 0)
69		apmul2 8685	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
70	50, 65, 66, 68, 69	syl112anc 1232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
71	62, 70	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # 𝑆)
72		0z 9202	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
73		zq 9564	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
75		qdceq 10182	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑆 = 0)
76	41, 74, 75	sylancl 410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑆 = 0)
77		exmiddc 826	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑆 = 0 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
78	76, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
79		df-ne 2337	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
80	79	orbi2i 752	. . 3 ⊢ ((𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0) ↔ (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
81	78, 80	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0))
82	32, 71, 81	mpjaodan 788	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   − cmin 8069  -cneg 8070   # cap 8479  2c2 8908  ℤcz 9191  ℚcq 9557  abscabs 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by:  apdiff  13927