Theorem apdifflemr 16957

Description: Lemma for apdiff 16958. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
apdifflemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
apdifflemr.1	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
apdifflemr.as	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))

Assertion

Ref	Expression
apdifflemr	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Proof of Theorem apdifflemr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 9327	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		apdifflemr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	2timesd 9498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5		apdifflemr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
6		1cnd 8306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	3, 6	subnegd 8607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
8	3, 6, 7	comraddd 8446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (1 + 𝐴))
9	8	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) = (abs‘(1 + 𝐴)))
10	3, 6	abssubd 11903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 1)) = (abs‘(1 − 𝐴)))
11	5, 9, 10	3brtr3d 4145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)))
12	6, 3	addcld 8309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	6, 3	subcld 8600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
14		absext 11773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
16	11, 15	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴))
17	6, 3	negsubd 8606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
18	16, 17	breqtrrd 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴))
19	3	negcld 8587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
20		apadd2 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
21	3, 19, 6, 20	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
22	18, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # -𝐴)
23		apadd2 8900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
24	3, 19, 3, 23	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
25	22, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴))
26	3	negidd 8590	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4140	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # 0)
28	4, 27	eqbrtrd 4136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) # 0)
29	1, 3, 28	mulap0bbd 8951	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 0)
31		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑆 = 0)
32	30, 31	breqtrrd 4142	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 𝑆)
33	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
34		apdifflemr.as	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
35	3	subid1d 8589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
36	35	fveq2d 5679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
37		2z 9622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℚ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℚ)
41		apdifflemr.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
42		qmulcl 9987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
44		qcn 9984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℚ → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
46	3, 45	abssubd 11903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) = (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
47	36, 46	breq12d 4127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
49	34, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
50	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
51	45, 3	subcld 8600	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
53		absext 11773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
55	49, 54	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴))
56		apadd2 8900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
57	50, 52, 50, 56	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
59	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
60	50, 59	pncan3d 8603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)) = (2 · 𝑆))
61	58, 60	breqtrd 4140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (2 · 𝑆))
62	33, 61	eqbrtrd 4136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆))
63		qcn 9984	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℚ → 𝑆 ∈ ℂ)
64	41, 63	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65	64	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
66		2cnd 9327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
67		2ap0 9347	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
68	67	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 # 0)
69		apmul2 9080	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
70	50, 65, 66, 68, 69	syl112anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
71	62, 70	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # 𝑆)
72		0z 9605	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
73		zq 9976	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
75		qdceq 10628	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑆 = 0)
76	41, 74, 75	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑆 = 0)
77		exmiddc 844	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑆 = 0 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
78	76, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
79		df-ne 2415	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
80	79	orbi2i 770	. . 3 ⊢ ((𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0) ↔ (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
81	78, 80	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0))
82	32, 71, 81	mpjaodan 806	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460  -cneg 8461   # cap 8872  2c2 9305  ℤcz 9594  ℚcq 9969  abscabs 11707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  apdiff  16958