Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  apdifflemr GIF version

Theorem apdifflemr 15067
Description: Lemma for apdiff 15068. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
apdifflemr.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
apdifflemr.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„š)
apdifflemr.1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ -1)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
apdifflemr.as ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))))
Assertion
Ref Expression
apdifflemr (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐‘†)

Proof of Theorem apdifflemr
StepHypRef Expression
1 2cnd 9005 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
2 apdifflemr.a . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
32recnd 7999 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
432timesd 9174 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
5 apdifflemr.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ -1)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ 1)))
6 1cnd 7986 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
73, 6subnegd 8288 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ -1) = (๐ด + 1))
83, 6, 7comraddd 8127 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ -1) = (1 + ๐ด))
98fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ -1)) = (absโ€˜(1 + ๐ด)))
103, 6abssubd 11215 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 1)) = (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
115, 9, 103brtr3d 4046 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(1 + ๐ด)) # (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)))
126, 3addcld 7990 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
136, 3subcld 8281 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
14 absext 11085 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜(1 + ๐ด)) # (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ (1 + ๐ด) # (1 โˆ’ ๐ด)))
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(1 + ๐ด)) # (absโ€˜(1 โˆ’ ๐ด)) โ†’ (1 + ๐ด) # (1 โˆ’ ๐ด)))
1611, 15mpd 13 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) # (1 โˆ’ ๐ด))
176, 3negsubd 8287 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
1816, 17breqtrrd 4043 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 + ๐ด) # (1 + -๐ด))
193negcld 8268 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
20 apadd2 8579 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (1 + ๐ด) # (1 + -๐ด)))
213, 19, 6, 20syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (1 + ๐ด) # (1 + -๐ด)))
2218, 21mpbird 167 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # -๐ด)
23 apadd2 8579 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + -๐ด)))
243, 19, 3, 23syl3anc 1248 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # -๐ด โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + -๐ด)))
2522, 24mpbid 147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ด) # (๐ด + -๐ด))
263negidd 8271 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + -๐ด) = 0)
2725, 26breqtrd 4041 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + ๐ด) # 0)
284, 27eqbrtrd 4037 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) # 0)
291, 3, 28mulap0bbd 8630 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 0)
3029adantr 276 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† = 0) โ†’ ๐ด # 0)
31 simpr 110 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† = 0) โ†’ ๐‘† = 0)
3230, 31breqtrrd 4043 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† = 0) โ†’ ๐ด # ๐‘†)
334adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (๐ด + ๐ด))
34 apdifflemr.as . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))))
353subid1d 8270 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
3635fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) = (absโ€˜๐ด))
37 2z 9294 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„ค
38 zq 9639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„š
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
41 apdifflemr.s . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„š)
42 qmulcl 9650 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„š โˆง ๐‘† โˆˆ โ„š) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„š)
4340, 41, 42syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„š)
44 qcn 9647 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„š โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
463, 45abssubd 11215 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))) = (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
4736, 46breq12d 4028 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))) โ†” (absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
4847adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜(๐ด โˆ’ 0)) # (absโ€˜(๐ด โˆ’ (2 ยท ๐‘†))) โ†” (absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
4934, 48mpbid 147 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
503adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5145, 3subcld 8281 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5251adantr 276 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
53 absext 11085 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)) โ†’ ๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
5450, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด) # (absโ€˜((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)) โ†’ ๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
5549, 54mpd 13 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))
56 apadd2 8579 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
5750, 52, 50, 56syl3anc 1248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด # ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด) โ†” (๐ด + ๐ด) # (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด))))
5855, 57mpbid 147 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด + ๐ด) # (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)))
5945adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
6050, 59pncan3d 8284 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด + ((2 ยท ๐‘†) โˆ’ ๐ด)) = (2 ยท ๐‘†))
6158, 60breqtrd 4041 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด + ๐ด) # (2 ยท ๐‘†))
6233, 61eqbrtrd 4037 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (2 ยท ๐ด) # (2 ยท ๐‘†))
63 qcn 9647 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ โ„š โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6441, 63syl 14 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
6564adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
66 2cnd 9005 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
67 2ap0 9025 . . . . 5 2 # 0
6867a1i 9 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ 2 # 0)
69 apmul2 8759 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)) โ†’ (๐ด # ๐‘† โ†” (2 ยท ๐ด) # (2 ยท ๐‘†)))
7050, 65, 66, 68, 69syl112anc 1252 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ (๐ด # ๐‘† โ†” (2 ยท ๐ด) # (2 ยท ๐‘†)))
7162, 70mpbird 167 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘† โ‰  0) โ†’ ๐ด # ๐‘†)
72 0z 9277 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„ค
73 zq 9639 . . . . . 6 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„š)
7472, 73ax-mp 5 . . . . 5 0 โˆˆ โ„š
75 qdceq 10260 . . . . 5 ((๐‘† โˆˆ โ„š โˆง 0 โˆˆ โ„š) โ†’ DECID ๐‘† = 0)
7641, 74, 75sylancl 413 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ DECID ๐‘† = 0)
77 exmiddc 837 . . . 4 (DECID ๐‘† = 0 โ†’ (๐‘† = 0 โˆจ ยฌ ๐‘† = 0))
7876, 77syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† = 0 โˆจ ยฌ ๐‘† = 0))
79 df-ne 2358 . . . 4 (๐‘† โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘† = 0)
8079orbi2i 763 . . 3 ((๐‘† = 0 โˆจ ๐‘† โ‰  0) โ†” (๐‘† = 0 โˆจ ยฌ ๐‘† = 0))
8178, 80sylibr 134 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† = 0 โˆจ ๐‘† โ‰  0))
8232, 71, 81mpjaodan 799 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # ๐‘†)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   โˆ’ cmin 8141  -cneg 8142   # cap 8551  2c2 8983  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632  abscabs 11019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021
This theorem is referenced by:  apdiff  15068
  Copyright terms: Public domain W3C validator