Theorem apdifflemr 17263

Description: Lemma for apdiff 17264. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
apdifflemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
apdifflemr.1	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
apdifflemr.as	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))

Assertion

Ref	Expression
apdifflemr	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Proof of Theorem apdifflemr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 9380	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		apdifflemr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8355	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	2timesd 9553	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5		apdifflemr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
6		1cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	3, 6	subnegd 8646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
8	3, 6, 7	comraddd 8485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (1 + 𝐴))
9	8	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) = (abs‘(1 + 𝐴)))
10	3, 6	abssubd 11976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 1)) = (abs‘(1 − 𝐴)))
11	5, 9, 10	3brtr3d 4161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)))
12	6, 3	addcld 8346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	6, 3	subcld 8639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
14		absext 11845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
16	11, 15	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴))
17	6, 3	negsubd 8645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
18	16, 17	breqtrrd 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴))
19	3	negcld 8626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
20		apadd2 8940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
21	3, 19, 6, 20	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
22	18, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # -𝐴)
23		apadd2 8940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
24	3, 19, 3, 23	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
25	22, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴))
26	3	negidd 8629	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # 0)
28	4, 27	eqbrtrd 4152	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) # 0)
29	1, 3, 28	mulap0bbd 8991	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 0)
31		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑆 = 0)
32	30, 31	breqtrrd 4158	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 𝑆)
33	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
34		apdifflemr.as	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
35	3	subid1d 8628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
36	35	fveq2d 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
37		2z 9677	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		zq 10036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℚ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℚ)
41		apdifflemr.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
42		qmulcl 10047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
44		qcn 10044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℚ → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
46	3, 45	abssubd 11976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) = (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
47	36, 46	breq12d 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
49	34, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
50	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
51	45, 3	subcld 8639	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
53		absext 11845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
55	49, 54	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴))
56		apadd2 8940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
57	50, 52, 50, 56	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
59	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
60	50, 59	pncan3d 8642	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)) = (2 · 𝑆))
61	58, 60	breqtrd 4156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (2 · 𝑆))
62	33, 61	eqbrtrd 4152	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆))
63		qcn 10044	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℚ → 𝑆 ∈ ℂ)
64	41, 63	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65	64	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
66		2cnd 9380	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
67		2ap0 9400	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
68	67	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 # 0)
69		apmul2 9122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
70	50, 65, 66, 68, 69	syl112anc 1282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
71	62, 70	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # 𝑆)
72		0z 9660	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
73		zq 10036	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
75		qdceq 10690	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑆 = 0)
76	41, 74, 75	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑆 = 0)
77		exmiddc 848	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑆 = 0 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
78	76, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
79		df-ne 2421	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
80	79	orbi2i 774	. . 3 ⊢ ((𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0) ↔ (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
81	78, 80	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0))
82	32, 71, 81	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185   − cmin 8499  -cneg 8500   # cap 8912  2c2 9358  ℤcz 9649  ℚcq 10029  abscabs 11779

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781

This theorem is used by:  apdiff  17264