Theorem apdifflemr 15537

Description: Lemma for apdiff 15538. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
apdifflemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
apdifflemr.1	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
apdifflemr.as	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))

Assertion

Ref	Expression
apdifflemr	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Proof of Theorem apdifflemr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 9055	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		apdifflemr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	2timesd 9225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5		apdifflemr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
6		1cnd 8035	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	3, 6	subnegd 8337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
8	3, 6, 7	comraddd 8176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (1 + 𝐴))
9	8	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) = (abs‘(1 + 𝐴)))
10	3, 6	abssubd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 1)) = (abs‘(1 − 𝐴)))
11	5, 9, 10	3brtr3d 4060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)))
12	6, 3	addcld 8039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	6, 3	subcld 8330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
14		absext 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
16	11, 15	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴))
17	6, 3	negsubd 8336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
18	16, 17	breqtrrd 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴))
19	3	negcld 8317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
20		apadd2 8628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
21	3, 19, 6, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
22	18, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # -𝐴)
23		apadd2 8628	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
24	3, 19, 3, 23	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
25	22, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴))
26	3	negidd 8320	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # 0)
28	4, 27	eqbrtrd 4051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) # 0)
29	1, 3, 28	mulap0bbd 8679	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 0)
31		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑆 = 0)
32	30, 31	breqtrrd 4057	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 𝑆)
33	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
34		apdifflemr.as	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
35	3	subid1d 8319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
36	35	fveq2d 5558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
37		2z 9345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		zq 9691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℚ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℚ)
41		apdifflemr.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
42		qmulcl 9702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
44		qcn 9699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℚ → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
46	3, 45	abssubd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) = (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
47	36, 46	breq12d 4042	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
49	34, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
50	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
51	45, 3	subcld 8330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
53		absext 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
55	49, 54	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴))
56		apadd2 8628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
57	50, 52, 50, 56	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
59	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
60	50, 59	pncan3d 8333	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)) = (2 · 𝑆))
61	58, 60	breqtrd 4055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (2 · 𝑆))
62	33, 61	eqbrtrd 4051	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆))
63		qcn 9699	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℚ → 𝑆 ∈ ℂ)
64	41, 63	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65	64	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
66		2cnd 9055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
67		2ap0 9075	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
68	67	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 # 0)
69		apmul2 8808	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
70	50, 65, 66, 68, 69	syl112anc 1253	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
71	62, 70	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # 𝑆)
72		0z 9328	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
73		zq 9691	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
75		qdceq 10314	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑆 = 0)
76	41, 74, 75	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑆 = 0)
77		exmiddc 837	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑆 = 0 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
78	76, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
79		df-ne 2365	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
80	79	orbi2i 763	. . 3 ⊢ ((𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0) ↔ (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
81	78, 80	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0))
82	32, 71, 81	mpjaodan 799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   − cmin 8190  -cneg 8191   # cap 8600  2c2 9033  ℤcz 9317  ℚcq 9684  abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  apdiff  15538