Theorem apdifflemr 14834

Description: Lemma for apdiff 14835. (Contributed by Jim Kingdon, 19-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
apdifflemr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
apdifflemr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
apdifflemr.1	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
apdifflemr.as	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))

Assertion

Ref	Expression
apdifflemr	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Proof of Theorem apdifflemr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 8994	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2		apdifflemr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 7988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	2timesd 9163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
5		apdifflemr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) # (abs‘(𝐴 − 1)))
6		1cnd 7975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	3, 6	subnegd 8277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (𝐴 + 1))
8	3, 6, 7	comraddd 8116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − -1) = (1 + 𝐴))
9	8	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − -1)) = (abs‘(1 + 𝐴)))
10	3, 6	abssubd 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 1)) = (abs‘(1 − 𝐴)))
11	5, 9, 10	3brtr3d 4036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)))
12	6, 3	addcld 7979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
13	6, 3	subcld 8270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
14		absext 11074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(1 + 𝐴)) # (abs‘(1 − 𝐴)) → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴)))
16	11, 15	mpd 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 − 𝐴))
17	6, 3	negsubd 8276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
18	16, 17	breqtrrd 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴))
19	3	negcld 8257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
20		apadd2 8568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
21	3, 19, 6, 20	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (1 + 𝐴) # (1 + -𝐴)))
22	18, 21	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # -𝐴)
23		apadd2 8568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
24	3, 19, 3, 23	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # -𝐴 ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴)))
25	22, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + -𝐴))
26	3	negidd 8260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
27	25, 26	breqtrd 4031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐴) # 0)
28	4, 27	eqbrtrd 4027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) # 0)
29	1, 3, 28	mulap0bbd 8619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 0)
30	29	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 0)
31		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝑆 = 0)
32	30, 31	breqtrrd 4033	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 = 0) → 𝐴 # 𝑆)
33	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
34		apdifflemr.as	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))))
35	3	subid1d 8259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)
36	35	fveq2d 5521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 0)) = (abs‘𝐴))
37		2z 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
38		zq 9628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℚ
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℚ)
41		apdifflemr.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℚ)
42		qmulcl 9639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑆 ∈ ℚ) → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
43	40, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℚ)
44		qcn 9636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 𝑆) ∈ ℚ → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
46	3, 45	abssubd 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) = (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
47	36, 46	breq12d 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 − 0)) # (abs‘(𝐴 − (2 · 𝑆))) ↔ (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴))))
49	34, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)))
50	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
51	45, 3	subcld 8270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ)
53		absext 11074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((abs‘𝐴) # (abs‘((2 · 𝑆) − 𝐴)) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
55	49, 54	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴))
56		apadd2 8568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑆) − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
57	50, 52, 50, 56	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # ((2 · 𝑆) − 𝐴) ↔ (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)))
59	45	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
60	50, 59	pncan3d 8273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + ((2 · 𝑆) − 𝐴)) = (2 · 𝑆))
61	58, 60	breqtrd 4031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 + 𝐴) # (2 · 𝑆))
62	33, 61	eqbrtrd 4027	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆))
63		qcn 9636	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ ℚ → 𝑆 ∈ ℂ)
64	41, 63	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
65	64	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℂ)
66		2cnd 8994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 ∈ ℂ)
67		2ap0 9014	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
68	67	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 2 # 0)
69		apmul2 8748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
70	50, 65, 66, 68, 69	syl112anc 1242	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝐴 # 𝑆 ↔ (2 · 𝐴) # (2 · 𝑆)))
71	62, 70	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝐴 # 𝑆)
72		0z 9266	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
73		zq 9628	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℚ
75		qdceq 10249	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID 𝑆 = 0)
76	41, 74, 75	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑆 = 0)
77		exmiddc 836	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑆 = 0 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
78	76, 77	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
79		df-ne 2348	. . . 4 ⊢ (𝑆 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0)
80	79	orbi2i 762	. . 3 ⊢ ((𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0) ↔ (𝑆 = 0 ∨ ¬ 𝑆 = 0))
81	78, 80	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 = 0 ∨ 𝑆 ≠ 0))
82	32, 71, 81	mpjaodan 798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   − cmin 8130  -cneg 8131   # cap 8540  2c2 8972  ℤcz 9255  ℚcq 9621  abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by:  apdiff  14835