ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geosergap GIF version

Theorem geosergap 11514
Description: The value of the finite geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1) +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
geosergap.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
geoserg.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
geoserg.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
Assertion
Ref Expression
geosergap (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem geosergap
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geoserg.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
21nn0zd 9373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 geoserg.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
4 eluzelz 9537 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6 fzofig 10432 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin)
72, 5, 6syl2anc 411 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin)
8 ax-1cn 7904 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
9 geoserg.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 subcl 8156 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
118, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
129adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
13 elfzouz 10151 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
14 eluznn0 9599 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
151, 13, 14syl2an 289 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1612, 15expcld 10654 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
177, 11, 16fsummulc1 11457 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)))
18 1cnd 7973 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1916, 18, 12subdid 8371 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)))
2016mulridd 7974 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
2112, 15expp1d 10655 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด))
2221eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
2320, 22oveq12d 5893 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) โˆ’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท ๐ด)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2419, 23eqtrd 2210 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
2524sumeq2dv 11376 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))))
26 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
27 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = (๐‘˜ + 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)))
28 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘€ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘€))
29 oveq2 5883 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) = (๐ดโ†‘๐‘))
309adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
31 elfzuz 10021 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
32 eluznn0 9599 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
331, 31, 32syl2an 289 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•0)
3430, 33expcld 10654 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘—) โˆˆ โ„‚)
3526, 27, 28, 29, 3, 34telfsumo 11474 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) โˆ’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)))
3617, 25, 353eqtrrd 2215 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด)))
379, 1expcld 10654 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
38 eluznn0 9599 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
391, 3, 38syl2anc 411 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
409, 39expcld 10654 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4137, 40subcld 8268 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
427, 16fsumcl 11408 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
43 geosergap.2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด # 1)
44 1cnd 7973 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
45 apneg 8568 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด # 1 โ†” -๐ด # -1))
469, 44, 45syl2anc 411 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด # 1 โ†” -๐ด # -1))
4743, 46mpbid 147 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -๐ด # -1)
489negcld 8255 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
4944negcld 8255 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
50 apadd2 8566 . . . . . . 7 ((-๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง -1 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด # -1 โ†” (1 + -๐ด) # (1 + -1)))
5148, 49, 44, 50syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-๐ด # -1 โ†” (1 + -๐ด) # (1 + -1)))
5247, 51mpbid 147 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 + -๐ด) # (1 + -1))
5344, 9negsubd 8274 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 + -๐ด) = (1 โˆ’ ๐ด))
54 1pneg1e0 9030 . . . . . 6 (1 + -1) = 0
5554a1i 9 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 + -1) = 0)
5652, 53, 553brtr3d 4035 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ด) # 0)
5741, 42, 11, 56divmulap3d 8782 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1 โˆ’ ๐ด))))
5836, 57mpbird 167 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜))
5958eqcomd 2183 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Fincfn 6740  โ„‚cc 7809  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   โˆ’ cmin 8128  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  ...cfz 10008  ..^cfzo 10142  โ†‘cexp 10519  ฮฃcsu 11361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362
This theorem is referenced by:  geoserap  11515  cvgratnnlemsumlt  11536  cvgcmp2nlemabs  14783
  Copyright terms: Public domain W3C validator