Theorem geosergap 12025

Description: The value of the finite geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
geoserg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geosergap.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
geoserg.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
geosergap	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geosergap

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geoserg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		geoserg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 9739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzofig 10662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8		ax-1cn 8100	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		geoserg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		subcl 8353	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		elfzouz 10355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		eluznn0 9802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	1, 13, 14	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	12, 15	expcld 10903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	fsummulc1 11968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
18		1cnd 8170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	subdid 8568	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
20	16	mulridd 8171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
21	12, 15	expp1d 10904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
22	21	eqcomd 2235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
23	20, 22	oveq12d 6025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
24	19, 23	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
25	24	sumeq2dv 11887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
26		oveq2 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
27		oveq2 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
28		oveq2 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑀))
29		oveq2 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
30	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		elfzuz 10225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		eluznn0 9802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
33	1, 31, 32	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
34	30, 33	expcld 10903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
35	26, 27, 28, 29, 3, 34	telfsumo 11985	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)))
36	17, 25, 35	3eqtrrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
37	9, 1	expcld 10903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
38		eluznn0 9802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	1, 3, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	9, 39	expcld 10903	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
41	37, 40	subcld 8465	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
42	7, 16	fsumcl 11919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
43		geosergap.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
44		1cnd 8170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45		apneg 8766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
46	9, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 # -1)
48	9	negcld 8452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
49	44	negcld 8452	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50		apadd2 8764	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
51	48, 49, 44, 50	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
52	47, 51	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) # (1 + -1))
53	44, 9	negsubd 8471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
54		1pneg1e0 9229	. . . . . 6 ⊢ (1 + -1) = 0
55	54	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
56	52, 53, 55	3brtr3d 4114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
57	41, 42, 11, 56	divmulap3d 8980	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴))))
58	36, 57	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘))
59	58	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  ℂcc 8005  0cc0 8007  1c1 8008   + caddc 8010   · cmul 8012   − cmin 8325  -cneg 8326   # cap 8736   / cdiv 8827  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ...cfz 10212  ..^cfzo 10346  ↑cexp 10768  Σcsu 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-ihash 11006  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873

This theorem is referenced by:  geoserap  12026  cvgratnnlemsumlt  12047  cvgcmp2nlemabs  16430