Theorem geosergap 11447

Description: The value of the finite geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
geoserg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geosergap.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
geoserg.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
geosergap	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geosergap

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geoserg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9311	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		geoserg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 9475	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzofig 10367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8		ax-1cn 7846	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		geoserg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		subcl 8097	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		elfzouz 10086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		eluznn0 9537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	1, 13, 14	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	12, 15	expcld 10588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	fsummulc1 11390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
18		1cnd 7915	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	subdid 8312	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
20	16	mulid1d 7916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
21	12, 15	expp1d 10589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
22	21	eqcomd 2171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
23	20, 22	oveq12d 5860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
24	19, 23	eqtrd 2198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
25	24	sumeq2dv 11309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
26		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
27		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
28		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑀))
29		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
30	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		elfzuz 9956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		eluznn0 9537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
33	1, 31, 32	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
34	30, 33	expcld 10588	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
35	26, 27, 28, 29, 3, 34	telfsumo 11407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)))
36	17, 25, 35	3eqtrrd 2203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
37	9, 1	expcld 10588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
38		eluznn0 9537	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	1, 3, 38	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	9, 39	expcld 10588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
41	37, 40	subcld 8209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
42	7, 16	fsumcl 11341	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
43		geosergap.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
44		1cnd 7915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45		apneg 8509	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
46	9, 44, 45	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
47	43, 46	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 # -1)
48	9	negcld 8196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
49	44	negcld 8196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50		apadd2 8507	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
51	48, 49, 44, 50	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
52	47, 51	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) # (1 + -1))
53	44, 9	negsubd 8215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
54		1pneg1e0 8968	. . . . . 6 ⊢ (1 + -1) = 0
55	54	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
56	52, 53, 55	3brtr3d 4013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
57	41, 42, 11, 56	divmulap3d 8721	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴))))
58	36, 57	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘))
59	58	eqcomd 2171	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  Fincfn 6706  ℂcc 7751  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   − cmin 8069  -cneg 8070   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  ..^cfzo 10077  ↑cexp 10454  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  geoserap  11448  cvgratnnlemsumlt  11469  cvgcmp2nlemabs  13911