Theorem geosergap 11516

Description: The value of the finite geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
geoserg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geosergap.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
geoserg.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
geosergap	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geosergap

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geoserg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 9375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		geoserg.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		eluzelz 9539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6		fzofig 10434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
7	2, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8		ax-1cn 7906	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		geoserg.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10		subcl 8158	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
12	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		elfzouz 10153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		eluznn0 9601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15	1, 13, 14	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
16	12, 15	expcld 10656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
17	7, 11, 16	fsummulc1 11459	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
18		1cnd 7975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
19	16, 18, 12	subdid 8373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
20	16	mulridd 7976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
21	12, 15	expp1d 10657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
22	21	eqcomd 2183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
23	20, 22	oveq12d 5895	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴↑𝑘) · 1) − ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
24	19, 23	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
25	24	sumeq2dv 11378	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
26		oveq2 5885	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑘))
27		oveq2 5885	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
28		oveq2 5885	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑀))
29		oveq2 5885	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝐴↑𝑗) = (𝐴↑𝑁))
30	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31		elfzuz 10023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32		eluznn0 9601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
33	1, 31, 32	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
34	30, 33	expcld 10656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴↑𝑗) ∈ ℂ)
35	26, 27, 28, 29, 3, 34	telfsumo 11476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴↑𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)))
36	17, 25, 35	3eqtrrd 2215	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴)))
37	9, 1	expcld 10656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑀) ∈ ℂ)
38		eluznn0 9601	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
39	1, 3, 38	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
40	9, 39	expcld 10656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
41	37, 40	subcld 8270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) ∈ ℂ)
42	7, 16	fsumcl 11410	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
43		geosergap.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 # 1)
44		1cnd 7975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45		apneg 8570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
46	9, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
47	43, 46	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -𝐴 # -1)
48	9	negcld 8257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
49	44	negcld 8257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50		apadd2 8568	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
51	48, 49, 44, 50	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
52	47, 51	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) # (1 + -1))
53	44, 9	negsubd 8276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
54		1pneg1e0 9032	. . . . . 6 ⊢ (1 + -1) = 0
55	54	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 + -1) = 0)
56	52, 53, 55	3brtr3d 4036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
57	41, 42, 11, 56	divmulap3d 8784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) · (1 − 𝐴))))
58	36, 57	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘))
59	58	eqcomd 2183	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑𝑀) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Fincfn 6742  ℂcc 7811  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   − cmin 8130  -cneg 8131   # cap 8540   / cdiv 8631  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ...cfz 10010  ..^cfzo 10144  ↑cexp 10521  Σcsu 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-sumdc 11364

This theorem is referenced by:  geoserap  11517  cvgratnnlemsumlt  11538  cvgcmp2nlemabs  14819