Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geosergap GIF version

Theorem geosergap 11282
 Description: The value of the finite geometric series 𝐴↑𝑀 + 𝐴↑(𝑀 + 1) +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
geoserg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
geosergap.2 (𝜑𝐴 # 1)
geoserg.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
geoserg.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
geosergap (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geosergap
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 geoserg.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
21nn0zd 9178 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 geoserg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzelz 9342 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
6 fzofig 10212 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
72, 5, 6syl2anc 408 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
8 ax-1cn 7720 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
9 geoserg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
10 subcl 7968 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
118, 9, 10sylancr 410 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
129adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13 elfzouz 9935 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
14 eluznn0 9400 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
151, 13, 14syl2an 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1612, 15expcld 10431 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
177, 11, 16fsummulc1 11225 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
18 1cnd 7789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
1916, 18, 12subdid 8183 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)))
2016mulid1d 7790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
2112, 15expp1d 10432 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
2221eqcomd 2145 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 𝐴) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
2320, 22oveq12d 5792 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (((𝐴𝑘) · 1) − ((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2419, 23eqtrd 2172 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = ((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
2524sumeq2dv 11144 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))))
26 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
27 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
28 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = 𝑀 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑀))
29 oveq2 5782 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
309adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
31 elfzuz 9809 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
32 eluznn0 9400 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
331, 31, 32syl2an 287 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3430, 33expcld 10431 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
3526, 27, 28, 29, 3, 34telfsumo 11242 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐴𝑘) − (𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)))
3617, 25, 353eqtrrd 2177 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴)))
379, 1expcld 10431 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
38 eluznn0 9400 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
391, 3, 38syl2anc 408 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
409, 39expcld 10431 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
4137, 40subcld 8080 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
427, 16fsumcl 11176 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ∈ ℂ)
43 geosergap.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 # 1)
44 1cnd 7789 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
45 apneg 8380 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
469, 44, 45syl2anc 408 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 # 1 ↔ -𝐴 # -1))
4743, 46mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → -𝐴 # -1)
489negcld 8067 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐴 ∈ ℂ)
4944negcld 8067 . . . . . . 7 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
50 apadd2 8378 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
5148, 49, 44, 50syl3anc 1216 . . . . . 6 (𝜑 → (-𝐴 # -1 ↔ (1 + -𝐴) # (1 + -1)))
5247, 51mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (1 + -𝐴) # (1 + -1))
5344, 9negsubd 8086 . . . . 5 (𝜑 → (1 + -𝐴) = (1 − 𝐴))
54 1pneg1e0 8838 . . . . . 6 (1 + -1) = 0
5554a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (1 + -1) = 0)
5652, 53, 553brtr3d 3959 . . . 4 (𝜑 → (1 − 𝐴) # 0)
5741, 42, 11, 56divmulap3d 8592 . . 3 (𝜑 → ((((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) ↔ ((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) · (1 − 𝐴))))
5836, 57mpbird 166 . 2 (𝜑 → (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘))
5958eqcomd 2145 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴𝑘) = (((𝐴𝑀) − (𝐴𝑁)) / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  ℂcc 7625  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632   − cmin 7940  -cneg 7941   # cap 8350   / cdiv 8439  ℕ0cn0 8984  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  ...cfz 9797  ..^cfzo 9926  ↑cexp 10299  Σcsu 11129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130 This theorem is referenced by:  geoserap  11283  cvgratnnlemsumlt  11304  cvgcmp2nlemabs  13257
 Copyright terms: Public domain W3C validator