ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq GIF version

Theorem ltaddnq 7408
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ด <Q (๐ด +Q ๐ต))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 7407 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 7367 . . . . . . . 8 1Q โˆˆ Q
3 addclnq 7376 . . . . . . . . 9 ((1Q โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q)
42, 2, 3mp2an 426 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q
5 ltmnqg 7402 . . . . . . . 8 ((1Q โˆˆ Q โˆง (1Q +Q 1Q) โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (1Q <Q (1Q +Q 1Q) โ†” (๐ต ยทQ 1Q) <Q (๐ต ยทQ (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1327 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (1Q <Q (1Q +Q 1Q) โ†” (๐ต ยทQ 1Q) <Q (๐ต ยทQ (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 148 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต ยทQ 1Q) <Q (๐ต ยทQ (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 7390 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต ยทQ 1Q) = ๐ต)
9 distrnqg 7388 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q โˆง 1Q โˆˆ Q) โ†’ (๐ต ยทQ (1Q +Q 1Q)) = ((๐ต ยทQ 1Q) +Q (๐ต ยทQ 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1329 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต ยทQ (1Q +Q 1Q)) = ((๐ต ยทQ 1Q) +Q (๐ต ยทQ 1Q)))
118, 8oveq12d 5895 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ((๐ต ยทQ 1Q) +Q (๐ต ยทQ 1Q)) = (๐ต +Q ๐ต))
1210, 11eqtrd 2210 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต ยทQ (1Q +Q 1Q)) = (๐ต +Q ๐ต))
137, 8, 123brtr3d 4036 . . . . 5 (๐ต โˆˆ Q โ†’ ๐ต <Q (๐ต +Q ๐ต))
1413adantl 277 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ต <Q (๐ต +Q ๐ต))
15 simpr 110 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ต โˆˆ Q)
16 addclnq 7376 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ต) โˆˆ Q)
1716anidms 397 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ Q โ†’ (๐ต +Q ๐ต) โˆˆ Q)
1817adantl 277 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ต) โˆˆ Q)
19 simpl 109 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ด โˆˆ Q)
20 ltanqg 7401 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ Q โˆง (๐ต +Q ๐ต) โˆˆ Q โˆง ๐ด โˆˆ Q) โ†’ (๐ต <Q (๐ต +Q ๐ต) โ†” (๐ด +Q ๐ต) <Q (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ต))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ต <Q (๐ต +Q ๐ต) โ†” (๐ด +Q ๐ต) <Q (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ต))))
2214, 21mpbid 147 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) <Q (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ต)))
23 addcomnqg 7382 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) = (๐ต +Q ๐ด))
24 addcomnqg 7382 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆง ๐‘  โˆˆ Q) โ†’ (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ) = (๐‘  +Q ๐‘Ÿ))
2524adantl 277 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆง ๐‘  โˆˆ Q)) โ†’ (๐‘Ÿ +Q ๐‘ ) = (๐‘  +Q ๐‘Ÿ))
26 addassnqg 7383 . . . . 5 ((๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆง ๐‘  โˆˆ Q โˆง ๐‘ก โˆˆ Q) โ†’ ((๐‘Ÿ +Q ๐‘ ) +Q ๐‘ก) = (๐‘Ÿ +Q (๐‘  +Q ๐‘ก)))
2726adantl 277 . . . 4 (((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โˆง (๐‘Ÿ โˆˆ Q โˆง ๐‘  โˆˆ Q โˆง ๐‘ก โˆˆ Q)) โ†’ ((๐‘Ÿ +Q ๐‘ ) +Q ๐‘ก) = (๐‘Ÿ +Q (๐‘  +Q ๐‘ก)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 6058 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q (๐ต +Q ๐ต)) = (๐ต +Q (๐ด +Q ๐ต)))
2922, 23, 283brtr3d 4036 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ต +Q ๐ด) <Q (๐ต +Q (๐ด +Q ๐ต)))
30 addclnq 7376 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q)
31 ltanqg 7401 . . 3 ((๐ด โˆˆ Q โˆง (๐ด +Q ๐ต) โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q (๐ด +Q ๐ต) โ†” (๐ต +Q ๐ด) <Q (๐ต +Q (๐ด +Q ๐ต))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1238 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q (๐ด +Q ๐ต) โ†” (๐ต +Q ๐ด) <Q (๐ต +Q (๐ด +Q ๐ต))))
3329, 32mpbird 167 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ ๐ด <Q (๐ด +Q ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  Qcnq 7281  1Qc1q 7282   +Q cplq 7283   ยทQ cmq 7284   <Q cltq 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-ltnqqs 7354
This theorem is referenced by:  ltexnqq  7409  nsmallnqq  7413  subhalfnqq  7415  ltbtwnnqq  7416  prarloclemarch2  7420  ltexprlemm  7601  ltexprlemopl  7602  addcanprleml  7615  addcanprlemu  7616  recexprlemm  7625  cauappcvgprlemm  7646  cauappcvgprlemopl  7647  cauappcvgprlem2  7661  caucvgprlemnkj  7667  caucvgprlemnbj  7668  caucvgprlemm  7669  caucvgprlemopl  7670  caucvgprprlemnjltk  7692  caucvgprprlemopl  7698  suplocexprlemmu  7719
  Copyright terms: Public domain W3C validator