ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq GIF version

Theorem ltaddnq 7405
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 7404 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 7364 . . . . . . . 8 1QQ
3 addclnq 7373 . . . . . . . . 9 ((1QQ ∧ 1QQ) → (1Q +Q 1Q) ∈ Q)
42, 2, 3mp2an 426 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) ∈ Q
5 ltmnqg 7399 . . . . . . . 8 ((1QQ ∧ (1Q +Q 1Q) ∈ Q𝐵Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1327 . . . . . . 7 (𝐵Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 148 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 7387 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
9 distrnqg 7385 . . . . . . . 8 ((𝐵Q ∧ 1QQ ∧ 1QQ) → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1329 . . . . . . 7 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5892 . . . . . . 7 (𝐵Q → ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
1210, 11eqtrd 2210 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
137, 8, 123brtr3d 4034 . . . . 5 (𝐵Q𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
1413adantl 277 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
15 simpr 110 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
16 addclnq 7373 . . . . . . 7 ((𝐵Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1716anidms 397 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1817adantl 277 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
19 simpl 109 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
20 ltanqg 7398 . . . . 5 ((𝐵Q ∧ (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q𝐴Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2214, 21mpbid 147 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)))
23 addcomnqg 7379 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
24 addcomnqg 7379 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 277 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 7380 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q𝑡Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 277 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q𝑡Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 6055 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)) = (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
2922, 23, 283brtr3d 4034 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
30 addclnq 7373 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
31 ltanqg 7398 . . 3 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1238 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3329, 32mpbird 167 1 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  Qcnq 7278  1Qc1q 7279   +Q cplq 7280   ·Q cmq 7281   <Q cltq 7283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-ltnqqs 7351
This theorem is referenced by:  ltexnqq  7406  nsmallnqq  7410  subhalfnqq  7412  ltbtwnnqq  7413  prarloclemarch2  7417  ltexprlemm  7598  ltexprlemopl  7599  addcanprleml  7612  addcanprlemu  7613  recexprlemm  7622  cauappcvgprlemm  7643  cauappcvgprlemopl  7644  cauappcvgprlem2  7658  caucvgprlemnkj  7664  caucvgprlemnbj  7665  caucvgprlemm  7666  caucvgprlemopl  7667  caucvgprprlemnjltk  7689  caucvgprprlemopl  7695  suplocexprlemmu  7716
  Copyright terms: Public domain W3C validator