Theorem ltaddnq 7632

Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2nq 7631	. . . . . . 7 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2		1nq 7591	. . . . . . . 8 ⊢ 1Q ∈ Q
3		addclnq 7600	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → (1Q +Q 1Q) ∈ Q)
4	2, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q +Q 1Q) ∈ Q
5		ltmnqg 7626	. . . . . . . 8 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ (1Q +Q 1Q) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
6	2, 4, 5	mp3an12 1363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
7	1, 6	mpbii 148	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)))
8		mulidnq 7614	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
9		distrnqg 7612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
10	2, 2, 9	mp3an23 1365	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
11	8, 8	oveq12d 6041	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
12	10, 11	eqtrd 2263	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
13	7, 8, 12	3brtr3d 4120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
14	13	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
15		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐵 ∈ Q)
16		addclnq 7600	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
17	16	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
18	17	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
19		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐴 ∈ Q)
20		ltanqg 7625	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
22	14, 21	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)))
23		addcomnqg 7606	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
24		addcomnqg 7606	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
25	24	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26		addassnqg 7607	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q ∧ 𝑡 ∈ Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
27	26	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q ∧ 𝑡 ∈ Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
28	19, 15, 15, 25, 27	caov12d 6209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)) = (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
29	22, 23, 28	3brtr3d 4120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
30		addclnq 7600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
31		ltanqg 7625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
32	19, 30, 15, 31	syl3anc 1273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
33	29, 32	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  Qcnq 7505  1_Qc1q 7506   +_Q cplq 7507   ·_Q cmq 7508   <_Q cltq 7510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-eprel 4388  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-1o 6587  df-oadd 6591  df-omul 6592  df-er 6707  df-ec 6709  df-qs 6713  df-ni 7529  df-pli 7530  df-mi 7531  df-lti 7532  df-plpq 7569  df-mpq 7570  df-enq 7572  df-nqqs 7573  df-plqqs 7574  df-mqqs 7575  df-1nqqs 7576  df-ltnqqs 7578

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7633  nsmallnqq  7637  subhalfnqq  7639  ltbtwnnqq  7640  prarloclemarch2  7644  ltexprlemm  7825  ltexprlemopl  7826  addcanprleml  7839  addcanprlemu  7840  recexprlemm  7849  cauappcvgprlemm  7870  cauappcvgprlemopl  7871  cauappcvgprlem2  7885  caucvgprlemnkj  7891  caucvgprlemnbj  7892  caucvgprlemm  7893  caucvgprlemopl  7894  caucvgprprlemnjltk  7916  caucvgprprlemopl  7922  suplocexprlemmu  7943