Theorem ltaddnq 7116

Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq

Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2nq 7115	. . . . . . 7 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2		1nq 7075	. . . . . . . 8 ⊢ 1Q ∈ Q
3		addclnq 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → (1Q +Q 1Q) ∈ Q)
4	2, 2, 3	mp2an 420	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q +Q 1Q) ∈ Q
5		ltmnqg 7110	. . . . . . . 8 ⊢ ((1Q ∈ Q ∧ (1Q +Q 1Q) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
6	2, 4, 5	mp3an12 1273	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
7	1, 6	mpbii 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)))
8		mulidnq 7098	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
9		distrnqg 7096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q ∧ 1Q ∈ Q) → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
10	2, 2, 9	mp3an23 1275	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
11	8, 8	oveq12d 5724	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
12	10, 11	eqtrd 2132	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
13	7, 8, 12	3brtr3d 3904	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
14	13	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
15		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐵 ∈ Q)
16		addclnq 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
17	16	anidms 392	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
18	17	adantl 273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
19		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐴 ∈ Q)
20		ltanqg 7109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
22	14, 21	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)))
23		addcomnqg 7090	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
24		addcomnqg 7090	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
25	24	adantl 273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26		addassnqg 7091	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q ∧ 𝑡 ∈ Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
27	26	adantl 273	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) ∧ (𝑟 ∈ Q ∧ 𝑠 ∈ Q ∧ 𝑡 ∈ Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
28	19, 15, 15, 25, 27	caov12d 5884	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)) = (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
29	22, 23, 28	3brtr3d 3904	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
30		addclnq 7084	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
31		ltanqg 7109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
32	19, 30, 15, 31	syl3anc 1184	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
33	29, 32	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  Qcnq 6989  1_Qc1q 6990   +_Q cplq 6991   ·_Q cmq 6992   <_Q cltq 6994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-ltnqqs 7062

This theorem is referenced by:  ltexnqq  7117  nsmallnqq  7121  subhalfnqq  7123  ltbtwnnqq  7124  prarloclemarch2  7128  ltexprlemm  7309  ltexprlemopl  7310  addcanprleml  7323  addcanprlemu  7324  recexprlemm  7333  cauappcvgprlemm  7354  cauappcvgprlemopl  7355  cauappcvgprlem2  7369  caucvgprlemnkj  7375  caucvgprlemnbj  7376  caucvgprlemm  7377  caucvgprlemopl  7378  caucvgprprlemnjltk  7400  caucvgprprlemopl  7406