ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddnq GIF version

Theorem ltaddnq 6913
Description: The sum of two fractions is greater than one of them. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltaddnq ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))

Proof of Theorem ltaddnq
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1lt2nq 6912 . . . . . . 7 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
2 1nq 6872 . . . . . . . 8 1QQ
3 addclnq 6881 . . . . . . . . 9 ((1QQ ∧ 1QQ) → (1Q +Q 1Q) ∈ Q)
42, 2, 3mp2an 417 . . . . . . . 8 (1Q +Q 1Q) ∈ Q
5 ltmnqg 6907 . . . . . . . 8 ((1QQ ∧ (1Q +Q 1Q) ∈ Q𝐵Q) → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
62, 4, 5mp3an12 1261 . . . . . . 7 (𝐵Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q))))
71, 6mpbii 146 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) <Q (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)))
8 mulidnq 6895 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q 1Q) = 𝐵)
9 distrnqg 6893 . . . . . . . 8 ((𝐵Q ∧ 1QQ ∧ 1QQ) → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
102, 2, 9mp3an23 1263 . . . . . . 7 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)))
118, 8oveq12d 5633 . . . . . . 7 (𝐵Q → ((𝐵 ·Q 1Q) +Q (𝐵 ·Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
1210, 11eqtrd 2117 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 ·Q (1Q +Q 1Q)) = (𝐵 +Q 𝐵))
137, 8, 123brtr3d 3851 . . . . 5 (𝐵Q𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
1413adantl 271 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵))
15 simpr 108 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐵Q)
16 addclnq 6881 . . . . . . 7 ((𝐵Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1716anidms 389 . . . . . 6 (𝐵Q → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
1817adantl 271 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q)
19 simpl 107 . . . . 5 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴Q)
20 ltanqg 6906 . . . . 5 ((𝐵Q ∧ (𝐵 +Q 𝐵) ∈ Q𝐴Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2115, 18, 19, 20syl3anc 1172 . . . 4 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 <Q (𝐵 +Q 𝐵) ↔ (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵))))
2214, 21mpbid 145 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) <Q (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)))
23 addcomnqg 6887 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) = (𝐵 +Q 𝐴))
24 addcomnqg 6887 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
2524adantl 271 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q)) → (𝑟 +Q 𝑠) = (𝑠 +Q 𝑟))
26 addassnqg 6888 . . . . 5 ((𝑟Q𝑠Q𝑡Q) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2726adantl 271 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q) ∧ (𝑟Q𝑠Q𝑡Q)) → ((𝑟 +Q 𝑠) +Q 𝑡) = (𝑟 +Q (𝑠 +Q 𝑡)))
2819, 15, 15, 25, 27caov12d 5785 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q (𝐵 +Q 𝐵)) = (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
2922, 23, 283brtr3d 3851 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵)))
30 addclnq 6881 . . 3 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q)
31 ltanqg 6906 . . 3 ((𝐴Q ∧ (𝐴 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3219, 30, 15, 31syl3anc 1172 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵) ↔ (𝐵 +Q 𝐴) <Q (𝐵 +Q (𝐴 +Q 𝐵))))
3329, 32mpbird 165 1 ((𝐴Q𝐵Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3822  (class class class)co 5615  Qcnq 6786  1Qc1q 6787   +Q cplq 6788   ·Q cmq 6789   <Q cltq 6791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-eprel 4092  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-irdg 6091  df-1o 6137  df-oadd 6141  df-omul 6142  df-er 6246  df-ec 6248  df-qs 6252  df-ni 6810  df-pli 6811  df-mi 6812  df-lti 6813  df-plpq 6850  df-mpq 6851  df-enq 6853  df-nqqs 6854  df-plqqs 6855  df-mqqs 6856  df-1nqqs 6857  df-ltnqqs 6859
This theorem is referenced by:  ltexnqq  6914  nsmallnqq  6918  subhalfnqq  6920  ltbtwnnqq  6921  prarloclemarch2  6925  ltexprlemm  7106  ltexprlemopl  7107  addcanprleml  7120  addcanprlemu  7121  recexprlemm  7130  cauappcvgprlemm  7151  cauappcvgprlemopl  7152  cauappcvgprlem2  7166  caucvgprlemnkj  7172  caucvgprlemnbj  7173  caucvgprlemm  7174  caucvgprlemopl  7175  caucvgprprlemnjltk  7197  caucvgprprlemopl  7203
  Copyright terms: Public domain W3C validator