Theorem 3brtr4d 4163

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4144	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  f1oiso2  6036  prarloclemarch2  7792  caucvgprprlemmu  8068  caucvgsrlembound  8167  mulap0  8990  lediv12a  9232  recp1lt1  9237  xleadd1a  10291  fldiv4p1lem1div2  10760  fldiv4lem1div2  10762  intfracq  10777  modqmulnn  10799  addmodlteq  10855  frecfzennn  10883  monoord2  10943  expgt1  11034  leexp2r  11050  leexp1a  11051  bernneq  11118  faclbnd  11200  faclbnd6  11203  facubnd  11204  hashunlem  11265  zfz1isolemiso  11312  sqrtgt0  11821  absrele  11871  absimle  11872  abstri  11892  abs2difabs  11896  bdtrilem  12029  bdtri  12030  xrmaxifle  12036  xrmaxadd  12051  xrbdtri  12066  climsqz  12125  climsqz2  12126  fsum3cvg2  12185  isumle  12286  expcnvap0  12293  expcnvre  12294  explecnv  12296  cvgratz  12323  efcllemp  12449  ege2le3  12462  eflegeo  12492  cos12dec  12559  fsumdvds  12633  phibnd  13023  pcdvdstr  13134  pcprmpw2  13140  pockthg  13164  2expltfac  13247  znrrg  15103  psmetres2  15576  xmetres2  15622  comet  15742  bdxmet  15744  cnmet  15773  ivthdec  15887  limcimolemlt  15907  efap1p  16022  tangtx  16082  logbgcd1irraplemap  16222  birthdaylem3  16244  chtqwordi  16280  ppiqwordi  16285  ppiqub  16310  chtqleppi  16311  chtublem  16312  chtqub  16313  bcmono  16321  bclbnd  16324  bposlem1  16328  bposlem6  16333  bposlem9  16336  2lgslem1c  16431  cvgcmp2nlemabs  17304  trilpolemlt1  17314