Theorem 3brtr4d 4066

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5877  prarloclemarch2  7505  caucvgprprlemmu  7781  caucvgsrlembound  7880  mulap0  8700  lediv12a  8940  recp1lt1  8945  xleadd1a  9967  fldiv4p1lem1div2  10414  fldiv4lem1div2  10416  intfracq  10431  modqmulnn  10453  addmodlteq  10509  frecfzennn  10537  monoord2  10597  expgt1  10688  leexp2r  10704  leexp1a  10705  bernneq  10771  faclbnd  10852  faclbnd6  10855  facubnd  10856  hashunlem  10915  zfz1isolemiso  10950  sqrtgt0  11218  absrele  11267  absimle  11268  abstri  11288  abs2difabs  11292  bdtrilem  11423  bdtri  11424  xrmaxifle  11430  xrmaxadd  11445  xrbdtri  11460  climsqz  11519  climsqz2  11520  fsum3cvg2  11578  isumle  11679  expcnvap0  11686  expcnvre  11687  explecnv  11689  cvgratz  11716  efcllemp  11842  ege2le3  11855  eflegeo  11885  cos12dec  11952  fsumdvds  12026  phibnd  12412  pcdvdstr  12523  pcprmpw2  12529  pockthg  12553  2expltfac  12635  znrrg  14294  psmetres2  14677  xmetres2  14723  comet  14843  bdxmet  14845  cnmet  14874  ivthdec  14988  limcimolemlt  15008  tangtx  15182  logbgcd1irraplemap  15313  2lgslem1c  15439  cvgcmp2nlemabs  15789  trilpolemlt1  15798