Theorem 3brtr4d 4037

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   class class class wbr 4005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5830  prarloclemarch2  7420  caucvgprprlemmu  7696  caucvgsrlembound  7795  mulap0  8613  lediv12a  8853  recp1lt1  8858  xleadd1a  9875  fldiv4p1lem1div2  10307  intfracq  10322  modqmulnn  10344  addmodlteq  10400  frecfzennn  10428  monoord2  10479  expgt1  10560  leexp2r  10576  leexp1a  10577  bernneq  10643  faclbnd  10723  faclbnd6  10726  facubnd  10727  hashunlem  10786  zfz1isolemiso  10821  sqrtgt0  11045  absrele  11094  absimle  11095  abstri  11115  abs2difabs  11119  bdtrilem  11249  bdtri  11250  xrmaxifle  11256  xrmaxadd  11271  xrbdtri  11286  climsqz  11345  climsqz2  11346  fsum3cvg2  11404  isumle  11505  expcnvap0  11512  expcnvre  11513  explecnv  11515  cvgratz  11542  efcllemp  11668  ege2le3  11681  eflegeo  11711  cos12dec  11777  phibnd  12219  pcdvdstr  12328  pcprmpw2  12334  pockthg  12357  psmetres2  13918  xmetres2  13964  comet  14084  bdxmet  14086  cnmet  14115  ivthdec  14207  limcimolemlt  14218  tangtx  14344  logbgcd1irraplemap  14472  cvgcmp2nlemabs  14865  trilpolemlt1  14874