Theorem 3brtr4d 4115

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4096	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5957  prarloclemarch2  7614  caucvgprprlemmu  7890  caucvgsrlembound  7989  mulap0  8809  lediv12a  9049  recp1lt1  9054  xleadd1a  10077  fldiv4p1lem1div2  10533  fldiv4lem1div2  10535  intfracq  10550  modqmulnn  10572  addmodlteq  10628  frecfzennn  10656  monoord2  10716  expgt1  10807  leexp2r  10823  leexp1a  10824  bernneq  10890  faclbnd  10971  faclbnd6  10974  facubnd  10975  hashunlem  11034  zfz1isolemiso  11069  sqrtgt0  11553  absrele  11602  absimle  11603  abstri  11623  abs2difabs  11627  bdtrilem  11758  bdtri  11759  xrmaxifle  11765  xrmaxadd  11780  xrbdtri  11795  climsqz  11854  climsqz2  11855  fsum3cvg2  11913  isumle  12014  expcnvap0  12021  expcnvre  12022  explecnv  12024  cvgratz  12051  efcllemp  12177  ege2le3  12190  eflegeo  12220  cos12dec  12287  fsumdvds  12361  phibnd  12747  pcdvdstr  12858  pcprmpw2  12864  pockthg  12888  2expltfac  12970  znrrg  14632  psmetres2  15015  xmetres2  15061  comet  15181  bdxmet  15183  cnmet  15212  ivthdec  15326  limcimolemlt  15346  tangtx  15520  logbgcd1irraplemap  15651  2lgslem1c  15777  cvgcmp2nlemabs  16427  trilpolemlt1  16436