Theorem 3brtr4d 4157

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4138	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126

This theorem is referenced by:  f1oiso2  6023  prarloclemarch2  7776  caucvgprprlemmu  8052  caucvgsrlembound  8151  mulap0  8972  lediv12a  9214  recp1lt1  9219  xleadd1a  10254  fldiv4p1lem1div2  10718  fldiv4lem1div2  10720  intfracq  10735  modqmulnn  10757  addmodlteq  10813  frecfzennn  10841  monoord2  10901  expgt1  10992  leexp2r  11008  leexp1a  11009  bernneq  11076  faclbnd  11157  faclbnd6  11160  facubnd  11161  hashunlem  11222  zfz1isolemiso  11269  sqrtgt0  11778  absrele  11827  absimle  11828  abstri  11848  abs2difabs  11852  bdtrilem  11983  bdtri  11984  xrmaxifle  11990  xrmaxadd  12005  xrbdtri  12020  climsqz  12079  climsqz2  12080  fsum3cvg2  12139  isumle  12240  expcnvap0  12247  expcnvre  12248  explecnv  12250  cvgratz  12277  efcllemp  12403  ege2le3  12416  eflegeo  12446  cos12dec  12513  fsumdvds  12587  phibnd  12973  pcdvdstr  13084  pcprmpw2  13090  pockthg  13114  2expltfac  13196  znrrg  14967  psmetres2  15357  xmetres2  15403  comet  15523  bdxmet  15525  cnmet  15554  ivthdec  15668  limcimolemlt  15688  tangtx  15862  logbgcd1irraplemap  15994  2lgslem1c  16123  cvgcmp2nlemabs  16986  trilpolemlt1  16995