Theorem 3brtr4d 4014

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 3995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   class class class wbr 3982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5795  prarloclemarch2  7360  caucvgprprlemmu  7636  caucvgsrlembound  7735  mulap0  8551  lediv12a  8789  recp1lt1  8794  xleadd1a  9809  fldiv4p1lem1div2  10240  intfracq  10255  modqmulnn  10277  addmodlteq  10333  frecfzennn  10361  monoord2  10412  expgt1  10493  leexp2r  10509  leexp1a  10510  bernneq  10575  faclbnd  10654  faclbnd6  10657  facubnd  10658  hashunlem  10717  zfz1isolemiso  10752  sqrtgt0  10976  absrele  11025  absimle  11026  abstri  11046  abs2difabs  11050  bdtrilem  11180  bdtri  11181  xrmaxifle  11187  xrmaxadd  11202  xrbdtri  11217  climsqz  11276  climsqz2  11277  fsum3cvg2  11335  isumle  11436  expcnvap0  11443  expcnvre  11444  explecnv  11446  cvgratz  11473  efcllemp  11599  ege2le3  11612  eflegeo  11642  cos12dec  11708  phibnd  12149  pcdvdstr  12258  pcprmpw2  12264  pockthg  12287  psmetres2  12973  xmetres2  13019  comet  13139  bdxmet  13141  cnmet  13170  ivthdec  13262  limcimolemlt  13273  tangtx  13399  logbgcd1irraplemap  13527  cvgcmp2nlemabs  13911  trilpolemlt1  13920