Theorem 3brtr4d 4146

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115

This theorem is referenced by:  f1oiso2  6006  prarloclemarch2  7750  caucvgprprlemmu  8026  caucvgsrlembound  8125  mulap0  8945  lediv12a  9185  recp1lt1  9190  xleadd1a  10225  fldiv4p1lem1div2  10689  fldiv4lem1div2  10691  intfracq  10706  modqmulnn  10728  addmodlteq  10784  frecfzennn  10812  monoord2  10872  expgt1  10963  leexp2r  10979  leexp1a  10980  bernneq  11047  faclbnd  11128  faclbnd6  11131  facubnd  11132  hashunlem  11193  zfz1isolemiso  11236  sqrtgt0  11744  absrele  11793  absimle  11794  abstri  11814  abs2difabs  11818  bdtrilem  11949  bdtri  11950  xrmaxifle  11956  xrmaxadd  11971  xrbdtri  11986  climsqz  12045  climsqz2  12046  fsum3cvg2  12105  isumle  12206  expcnvap0  12213  expcnvre  12214  explecnv  12216  cvgratz  12243  efcllemp  12369  ege2le3  12382  eflegeo  12412  cos12dec  12479  fsumdvds  12553  phibnd  12939  pcdvdstr  13050  pcprmpw2  13056  pockthg  13080  2expltfac  13162  znrrg  14934  psmetres2  15324  xmetres2  15370  comet  15490  bdxmet  15492  cnmet  15521  ivthdec  15635  limcimolemlt  15655  tangtx  15829  logbgcd1irraplemap  15960  2lgslem1c  16089  cvgcmp2nlemabs  16942  trilpolemlt1  16951