Theorem 3brtr4d 4120

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
3brtr4d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3brtr4d.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		3brtr4d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐴)
3		3brtr4d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = 𝐵)
4	2, 3	breq12d 4101	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐷 ↔ 𝐴𝑅𝐵))
5	1, 4	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶𝑅𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   class class class wbr 4088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5967  prarloclemarch2  7638  caucvgprprlemmu  7914  caucvgsrlembound  8013  mulap0  8833  lediv12a  9073  recp1lt1  9078  xleadd1a  10107  fldiv4p1lem1div2  10564  fldiv4lem1div2  10566  intfracq  10581  modqmulnn  10603  addmodlteq  10659  frecfzennn  10687  monoord2  10747  expgt1  10838  leexp2r  10854  leexp1a  10855  bernneq  10921  faclbnd  11002  faclbnd6  11005  facubnd  11006  hashunlem  11066  zfz1isolemiso  11102  sqrtgt0  11594  absrele  11643  absimle  11644  abstri  11664  abs2difabs  11668  bdtrilem  11799  bdtri  11800  xrmaxifle  11806  xrmaxadd  11821  xrbdtri  11836  climsqz  11895  climsqz2  11896  fsum3cvg2  11954  isumle  12055  expcnvap0  12062  expcnvre  12063  explecnv  12065  cvgratz  12092  efcllemp  12218  ege2le3  12231  eflegeo  12261  cos12dec  12328  fsumdvds  12402  phibnd  12788  pcdvdstr  12899  pcprmpw2  12905  pockthg  12929  2expltfac  13011  znrrg  14673  psmetres2  15056  xmetres2  15102  comet  15222  bdxmet  15224  cnmet  15253  ivthdec  15367  limcimolemlt  15387  tangtx  15561  logbgcd1irraplemap  15692  2lgslem1c  15818  cvgcmp2nlemabs  16636  trilpolemlt1  16645