Theorem div2subap 8866

Description: Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
div2subap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem div2subap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8227	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		subcl 8227	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
3	2	3adant3 1019	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		apneg 8640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 # 𝐷 ↔ -𝐶 # -𝐷))
5	4	biimp3a 1356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 # -𝐷)
6		simp1 999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	negcld 8326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
8		simp2 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	negcld 8326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐷 ∈ ℂ)
10		apadd2 8638	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
12	5, 11	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷))
13	6	negidd 8329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) = 0)
14	6, 8	negsubd 8345	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
15	12, 13, 14	3brtr3d 4065	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 # (𝐶 − 𝐷))
16		0cnd 8021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
17		apsym 8635	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
18	16, 3, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
19	15, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) # 0)
20	3, 19	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0))
21		div2negap 8764	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
22	21	3expb 1206	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
23	1, 20, 22	syl2an 289	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
24		negsubdi2 8287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
25		negsubdi2 8287	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
26	25	3adant3 1019	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
27	24, 26	oveqan12d 5942	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))
28	23, 27	eqtr3d 2231	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  0cc0 7881   + caddc 7884   − cmin 8199  -cneg 8200   # cap 8610   / cdiv 8701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702

This theorem is referenced by:  div2subapd  8867