Theorem div2subap 9161

Description: Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
div2subap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem div2subap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8519	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		subcl 8519	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
3	2	3adant3 1048	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		apneg 8933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 # 𝐷 ↔ -𝐶 # -𝐷))
5	4	biimp3a 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 # -𝐷)
6		simp1 1028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	negcld 8618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
8		simp2 1029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	negcld 8618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐷 ∈ ℂ)
10		apadd2 8931	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
12	5, 11	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷))
13	6	negidd 8621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) = 0)
14	6, 8	negsubd 8637	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
15	12, 13, 14	3brtr3d 4159	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 # (𝐶 − 𝐷))
16		0cnd 8313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
17		apsym 8928	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
18	16, 3, 17	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
19	15, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) # 0)
20	3, 19	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0))
21		div2negap 9059	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
22	21	3expb 1235	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
23	1, 20, 22	syl2an 289	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
24		negsubdi2 8579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
25		negsubdi2 8579	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
26	25	3adant3 1048	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
27	24, 26	oveqan12d 6098	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))
28	23, 27	eqtr3d 2273	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  0cc0 8173   + caddc 8176   − cmin 8491  -cneg 8492   # cap 8903   / cdiv 8996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997

This theorem is referenced by:  div2subapd  9162