ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  div2subap GIF version

Theorem div2subap 8819
Description: Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
div2subap (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)) = ((𝐵𝐴) / (𝐷𝐶)))

Proof of Theorem div2subap
StepHypRef Expression
1 subcl 8181 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2 subcl 8181 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
323adant3 1019 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶𝐷) ∈ ℂ)
4 apneg 8593 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 # 𝐷 ↔ -𝐶 # -𝐷))
54biimp3a 1356 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 # -𝐷)
6 simp1 999 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
76negcld 8280 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
8 simp2 1000 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
98negcld 8280 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐷 ∈ ℂ)
10 apadd2 8591 . . . . . . . 8 ((-𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
117, 9, 6, 10syl3anc 1249 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
125, 11mpbid 147 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷))
136negidd 8283 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) = 0)
146, 8negsubd 8299 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶𝐷))
1512, 13, 143brtr3d 4049 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 # (𝐶𝐷))
16 0cnd 7975 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
17 apsym 8588 . . . . . 6 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ) → (0 # (𝐶𝐷) ↔ (𝐶𝐷) # 0))
1816, 3, 17syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (0 # (𝐶𝐷) ↔ (𝐶𝐷) # 0))
1915, 18mpbid 147 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶𝐷) # 0)
203, 19jca 306 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → ((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) # 0))
21 div2negap 8717 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) # 0) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)))
22213expb 1206 . . 3 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐷) # 0)) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)))
231, 20, 22syl2an 289 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)))
24 negsubdi2 8241 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (𝐵𝐴))
25 negsubdi2 8241 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
26253adant3 1019 . . 3 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -(𝐶𝐷) = (𝐷𝐶))
2724, 26oveqan12d 5911 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴𝐵) / -(𝐶𝐷)) = ((𝐵𝐴) / (𝐷𝐶)))
2823, 27eqtr3d 2224 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴𝐵) / (𝐶𝐷)) = ((𝐵𝐴) / (𝐷𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5892  cc 7834  0cc0 7836   + caddc 7839  cmin 8153  -cneg 8154   # cap 8563   / cdiv 8654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1cn 7929  ax-1re 7930  ax-icn 7931  ax-addcl 7932  ax-addrcl 7933  ax-mulcl 7934  ax-mulrcl 7935  ax-addcom 7936  ax-mulcom 7937  ax-addass 7938  ax-mulass 7939  ax-distr 7940  ax-i2m1 7941  ax-0lt1 7942  ax-1rid 7943  ax-0id 7944  ax-rnegex 7945  ax-precex 7946  ax-cnre 7947  ax-pre-ltirr 7948  ax-pre-ltwlin 7949  ax-pre-lttrn 7950  ax-pre-apti 7951  ax-pre-ltadd 7952  ax-pre-mulgt0 7953  ax-pre-mulext 7954
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-pnf 8019  df-mnf 8020  df-xr 8021  df-ltxr 8022  df-le 8023  df-sub 8155  df-neg 8156  df-reap 8557  df-ap 8564  df-div 8655
This theorem is referenced by:  div2subapd  8820
  Copyright terms: Public domain W3C validator