Theorem div2subap 9176

Description: Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
div2subap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem div2subap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8533	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		subcl 8533	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
3	2	3adant3 1048	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		apneg 8948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 # 𝐷 ↔ -𝐶 # -𝐷))
5	4	biimp3a 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 # -𝐷)
6		simp1 1028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	negcld 8632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
8		simp2 1029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	negcld 8632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐷 ∈ ℂ)
10		apadd2 8946	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ( -𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → ( -𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
12	5, 11	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷))
13	6	negidd 8635	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) = 0)
14	6, 8	negsubd 8651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
15	12, 13, 14	3brtr3d 4162	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 # (𝐶 − 𝐷))
16		0cnd 8326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
17		apsym 8943	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
18	16, 3, 17	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
19	15, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) # 0)
20	3, 19	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0))
21		div2negap 9074	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0) → ( -(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
22	21	3expb 1235	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0)) → ( -(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
23	1, 20, 22	syl2an 289	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ( -(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
24		negsubdi2 8593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
25		negsubdi2 8593	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
26	25	3adant3 1048	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
27	24, 26	oveqan12d 6107	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ( -(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))
28	23, 27	eqtr3d 2273	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  0cc0 8186   + caddc 8189   − cmin 8505   -cneg 8506   # cap 8918   / cdiv 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012

This theorem is used by:  div2subapd  9177