Theorem div2subap 9010

Description: Swap the order of subtraction in a division. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
div2subap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Proof of Theorem div2subap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		subcl 8371	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
3	2	3adant3 1041	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ)
4		apneg 8784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 # 𝐷 ↔ -𝐶 # -𝐷))
5	4	biimp3a 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 # -𝐷)
6		simp1 1021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	6	negcld 8470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐶 ∈ ℂ)
8		simp2 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	negcld 8470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -𝐷 ∈ ℂ)
10		apadd2 8782	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℂ ∧ -𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
11	7, 9, 6, 10	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (-𝐶 # -𝐷 ↔ (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷)))
12	5, 11	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) # (𝐶 + -𝐷))
13	6	negidd 8473	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐶) = 0)
14	6, 8	negsubd 8489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 + -𝐷) = (𝐶 − 𝐷))
15	12, 13, 14	3brtr3d 4117	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 # (𝐶 − 𝐷))
16		0cnd 8165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → 0 ∈ ℂ)
17		apsym 8779	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
18	16, 3, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (0 # (𝐶 − 𝐷) ↔ (𝐶 − 𝐷) # 0))
19	15, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → (𝐶 − 𝐷) # 0)
20	3, 19	jca 306	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0))
21		div2negap 8908	. . . 4 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
22	21	3expb 1228	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 − 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 − 𝐷) # 0)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
23	1, 20, 22	syl2an 289	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)))
24		negsubdi2 8431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
25		negsubdi2 8431	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
26	25	3adant3 1041	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷) → -(𝐶 − 𝐷) = (𝐷 − 𝐶))
27	24, 26	oveqan12d 6032	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → (-(𝐴 − 𝐵) / -(𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))
28	23, 27	eqtr3d 2264	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 𝐷)) → ((𝐴 − 𝐵) / (𝐶 − 𝐷)) = ((𝐵 − 𝐴) / (𝐷 − 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023  0cc0 8025   + caddc 8028   − cmin 8343  -cneg 8344   # cap 8754   / cdiv 8845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846

This theorem is referenced by:  div2subapd  9011