Theorem unitmulcl 14042

Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqidd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		unitmulcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		ringsrg 13976	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simp3 1004	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 14037	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
9		simp2 1003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		eqidd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
11		eqidd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
12		eqidd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
13		eqidd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
14	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
16	15	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
17		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
19		unitmulcl.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	17, 18, 19	dvdsrmul1 14031	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 8, 16, 20	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
22		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	17, 19, 22	ringlidm 13952	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
24	1, 8, 23	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
25	21, 24	breqtrd 4088	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌)
26	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14035	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
27	7, 26	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
28	27	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29	17, 18	dvdsrtr 14030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌 ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
30	1, 25, 28, 29	syl3anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
31		eqid 2209	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
32	31	opprring 14008	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
33	1, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
34	2, 4, 6, 9	unitcld 14037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35	31, 17	opprbasg 14004	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
37	34, 36	eleqtrd 2288	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
38	27	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
39		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
40		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
41		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
42	39, 40, 41	dvdsrmul1 14031	. . . . 5 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
43	33, 37, 38, 42	syl3anc 1252	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
44	17, 19, 31, 41	opprmulg 14000	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
45	44	3com23 1214	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
46	17, 22	srgidcl 13905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
48	17, 19, 31, 41	opprmulg 14000	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
49	1, 47, 9, 48	syl3anc 1252	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
50	17, 19, 22	ringridm 13953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
51	1, 34, 50	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
52	49, 51	eqtrd 2242	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 𝑋)
53	43, 45, 52	3brtr3d 4093	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
54	15	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
55	39, 40	dvdsrtr 14030	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
56	33, 53, 54, 55	syl3anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
57	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14035	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
58	30, 56, 57	mpbir2and 949	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  ._rcmulr 13077  1_rcur 13888  SRingcsrg 13892  Ringcrg 13925  opp_rcoppr 13996  ∥_rcdsr 14015  Unitcui 14016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-tpos 6361  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-0g 13257  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-cmn 13789  df-abl 13790  df-mgp 13850  df-ur 13889  df-srg 13893  df-ring 13927  df-oppr 13997  df-dvdsr 14018  df-unit 14019

This theorem is referenced by:  unitmulclb  14043  unitgrp  14045  unitdvcl  14065  rdivmuldivd  14073  lringuplu  14125  subrgugrp  14169