Theorem unitmulcl 14280

Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqidd 2235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		unitmulcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		ringsrg 14212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simp3 1026	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 14275	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
9		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		eqidd 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
11		eqidd 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
12		eqidd 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
13		eqidd 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
14	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
16	15	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
17		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
19		unitmulcl.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	17, 18, 19	dvdsrmul1 14269	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 8, 16, 20	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
22		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	17, 19, 22	ringlidm 14188	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
24	1, 8, 23	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
25	21, 24	breqtrd 4137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌)
26	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14273	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
27	7, 26	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
28	27	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29	17, 18	dvdsrtr 14268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌 ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
30	1, 25, 28, 29	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
31		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
32	31	opprring 14244	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
33	1, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
34	2, 4, 6, 9	unitcld 14275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35	31, 17	opprbasg 14240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
37	34, 36	eleqtrd 2313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
38	27	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
39		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
40		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
41		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
42	39, 40, 41	dvdsrmul1 14269	. . . . 5 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
43	33, 37, 38, 42	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
44	17, 19, 31, 41	opprmulg 14236	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
45	44	3com23 1236	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
46	17, 22	srgidcl 14141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
48	17, 19, 31, 41	opprmulg 14236	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
49	1, 47, 9, 48	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
50	17, 19, 22	ringridm 14189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
51	1, 34, 50	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
52	49, 51	eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 𝑋)
53	43, 45, 52	3brtr3d 4142	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
54	15	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
55	39, 40	dvdsrtr 14268	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
56	33, 53, 54, 55	syl3anc 1274	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
57	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14273	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
58	30, 56, 57	mpbir2and 953	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233  ._rcmulr 13312  1_rcur 14124  SRingcsrg 14128  Ringcrg 14161  opp_rcoppr 14232  ∥_rcdsr 14252  Unitcui 14253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-tpos 6478  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-0g 13492  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-cmn 14024  df-abl 14025  df-mgp 14086  df-ur 14125  df-srg 14129  df-ring 14163  df-oppr 14233  df-dvdsr 14255  df-unit 14256

This theorem is referenced by:  unitmulclb  14281  unitgrp  14283  unitdvcl  14303  rdivmuldivd  14311  lringuplu  14363  subrgugrp  14408