Theorem unitmulcl 14403

Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		unitmulcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		ringsrg 14335	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 14398	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
9		simp2 1029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
11		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
12		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
13		eqidd 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
14	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
16	15	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
17		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
19		unitmulcl.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	17, 18, 19	dvdsrmul1 14392	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 8, 16, 20	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
22		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	17, 19, 22	ringlidm 14311	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
24	1, 8, 23	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
25	21, 24	breqtrd 4154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌)
26	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14396	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
27	7, 26	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
28	27	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29	17, 18	dvdsrtr 14391	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌 ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
30	1, 25, 28, 29	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
31		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
32	31	opprring 14367	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
33	1, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
34	2, 4, 6, 9	unitcld 14398	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35	31, 17	opprbasg 14363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
37	34, 36	eleqtrd 2317	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
38	27	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
39		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
40		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
41		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
42	39, 40, 41	dvdsrmul1 14392	. . . . 5 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
43	33, 37, 38, 42	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
44	17, 19, 31, 41	opprmulg 14359	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
45	44	3com23 1240	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
46	17, 22	srgidcl 14263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
48	17, 19, 31, 41	opprmulg 14359	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
49	1, 47, 9, 48	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
50	17, 19, 22	ringridm 14312	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
51	1, 34, 50	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
52	49, 51	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 𝑋)
53	43, 45, 52	3brtr3d 4159	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
54	15	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
55	39, 40	dvdsrtr 14391	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
56	33, 53, 54, 55	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
57	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 14396	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
58	30, 56, 57	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  ._rcmulr 13415  1_rcur 14245  SRingcsrg 14250  Ringcrg 14283  opp_rcoppr 14355  ∥_rcdsr 14375  Unitcui 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-tpos 6510  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-unit 14379

This theorem is referenced by:  unitmulclb  14404  unitgrp  14406  unitdvcl  14426  rdivmuldivd  14434  lringuplu  14486  subrgugrp  14531