Theorem unitmulcl 13235

Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitmulcl.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
unitmulcl.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
unitmulcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem unitmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqidd 2178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
3		unitmulcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4	3	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
5		ringsrg 13177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ SRing)
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ SRing)
7		simp3 999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
8	2, 4, 6, 7	unitcld 13230	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑅))
9		simp2 998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
10		eqidd 2178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅))
11		eqidd 2178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅))
12		eqidd 2178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅))
13		eqidd 2178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
14	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 13228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
15	9, 14	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
16	15	simpld 112	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
17		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
19		unitmulcl.2	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
20	17, 18, 19	dvdsrmul1 13224	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
21	1, 8, 16, 20	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑌))
22		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	17, 19, 22	ringlidm 13159	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
24	1, 8, 23	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
25	21, 24	breqtrd 4029	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌)
26	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 13228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌 ∈ 𝑈 ↔ (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
27	7, 26	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
28	27	simpld 112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
29	17, 18	dvdsrtr 13223	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)𝑌 ∧ 𝑌(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
30	1, 25, 28, 29	syl3anc 1238	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
31		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
32	31	opprring 13202	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
33	1, 32	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (oppr‘𝑅) ∈ Ring)
34	2, 4, 6, 9	unitcld 13230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
35	31, 17	opprbasg 13200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅)))
37	34, 36	eleqtrd 2256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)))
38	27	simprd 114	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
39		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
40		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
41		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑅)) = (.r‘(oppr‘𝑅))
42	39, 40, 41	dvdsrmul1 13224	. . . . 5 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(oppr‘𝑅)) ∧ 𝑌(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
43	33, 37, 38, 42	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋)(∥r‘(oppr‘𝑅))((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋))
44	17, 19, 31, 41	opprmulg 13196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
45	44	3com23 1209	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑌(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · 𝑌))
46	17, 22	srgidcl 13112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
47	6, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
48	17, 19, 31, 41	opprmulg 13196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
49	1, 47, 9, 48	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = (𝑋 · (1r‘𝑅)))
50	17, 19, 22	ringridm 13160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
51	1, 34, 50	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · (1r‘𝑅)) = 𝑋)
52	49, 51	eqtrd 2210	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅)(.r‘(oppr‘𝑅))𝑋) = 𝑋)
53	43, 45, 52	3brtr3d 4034	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋)
54	15	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
55	39, 40	dvdsrtr 13223	. . 3 ⊢ (((oppr‘𝑅) ∈ Ring ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))𝑋 ∧ 𝑋(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
56	33, 53, 54, 55	syl3anc 1238	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
57	4, 10, 11, 12, 13, 6	isunitd 13228	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑌)(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))))
58	30, 56, 57	mpbir2and 944	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  ._rcmulr 12531  1_rcur 13095  SRingcsrg 13099  Ringcrg 13132  opp_rcoppr 13192  ∥_rcdsr 13208  Unitcui 13209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-tpos 6245  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-cmn 13043  df-abl 13044  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-srg 13100  df-ring 13134  df-oppr 13193  df-dvdsr 13211  df-unit 13212

This theorem is referenced by:  unitmulclb  13236  unitgrp  13238  unitdvcl  13258  rdivmuldivd  13266  lringuplu  13290  subrgugrp  13321