ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unitmulcl GIF version
Theorem unitmulcl 13282
Description: The product of units is a unit. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
unitmulcl.1 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
unitmulcl.2 Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
unitmulcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem unitmulcl
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqidd 2178 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…))
3 unitmulcl.1 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
43a1i 9 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
5 ringsrg 13224 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ SRing)
61, 5syl 14 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ SRing)
7 simp3 999 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ π‘ˆ)
82, 4, 6, 7unitcld 13277 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9 simp2 998 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
10 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…))
11 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…))
12 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…))
13 eqidd 2178 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
144, 10, 11, 12, 13, 6isunitd 13275 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))))
159, 14mpbid 147 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
1615simpld 112 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
17 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
18 eqid 2177 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜π‘…) = (βˆ₯rβ€˜π‘…)
19 unitmulcl.2 . . . . . 6 Β· = (.rβ€˜π‘…)
2017, 18, 19dvdsrmul1 13271 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
211, 8, 16, 20syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
22 eqid 2177 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
2317, 19, 22ringlidm 13206 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
241, 8, 23syl2anc 411 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
2521, 24breqtrd 4030 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘Œ)
264, 10, 11, 12, 13, 6isunitd 13275 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ ∈ π‘ˆ ↔ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))))
277, 26mpbid 147 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)))
2827simpld 112 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
2917, 18dvdsrtr 13270 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)π‘Œ ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
301, 25, 28, 29syl3anc 1238 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…))
31 eqid 2177 . . . . 5 (opprβ€˜π‘…) = (opprβ€˜π‘…)
3231opprring 13249 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
331, 32syl 14 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (opprβ€˜π‘…) ∈ Ring)
342, 4, 6, 9unitcld 13277 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3531, 17opprbasg 13247 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
361, 35syl 14 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
3734, 36eleqtrd 2256 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
3827simprd 114 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
39 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…))
40 eqid 2177 . . . . . 6 (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
41 eqid 2177 . . . . . 6 (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…)) = (.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))
4239, 40, 41dvdsrmul1 13271 . . . . 5 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(opprβ€˜π‘…)) ∧ π‘Œ(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
4333, 37, 38, 42syl3anc 1238 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋))
4417, 19, 31, 41opprmulg 13243 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ))
45443com23 1209 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Œ(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· π‘Œ))
4617, 22srgidcl 13159 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
476, 46syl 14 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4817, 19, 31, 41opprmulg 13243 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)))
491, 47, 9, 48syl3anc 1238 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)))
5017, 19, 22ringridm 13207 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
511, 34, 50syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· (1rβ€˜π‘…)) = 𝑋)
5249, 51eqtrd 2210 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋) = 𝑋)
5343, 45, 523brtr3d 4035 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋)
5415simprd 114 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
5539, 40dvdsrtr 13270 . . 3 (((opprβ€˜π‘…) ∈ Ring ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))𝑋 ∧ 𝑋(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
5633, 53, 54, 55syl3anc 1238 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))
574, 10, 11, 12, 13, 6isunitd 13275 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ ((𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ ↔ ((𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…) ∧ (𝑋 Β· π‘Œ)(βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))(1rβ€˜π‘…))))
5830, 56, 57mpbir2and 944 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ ∧ π‘Œ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋 Β· π‘Œ) ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  .rcmulr 12537  1rcur 13142  SRingcsrg 13146  Ringcrg 13179  opprcoppr 13239  βˆ₯rcdsr 13255  Unitcui 13256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-tpos 6246  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-cmn 13090  df-abl 13091  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147  df-ring 13181  df-oppr 13240  df-dvdsr 13258  df-unit 13259
This theorem is referenced by:  unitmulclb  13283  unitgrp  13285  unitdvcl  13305  rdivmuldivd  13313  lringuplu  13337  subrgugrp  13361
  Copyright terms: Public domain W3C validator