Theorem ablressid 13475

Description: A commutative group restricted to its base set is a commutative group. It will usually be the original group exactly, of course, but to show that needs additional conditions such as those in strressid 12759. (Contributed by Jim Kingdon, 5-May-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
ablressid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablressid	⊢ (𝐺 ∈ Abel → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Abel)

Proof of Theorem ablressid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (𝐺 ↾s 𝐵) = (𝐺 ↾s 𝐵))
2		ablressid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐵 = (Base‘𝐺))
4		id 19	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Abel)
5		ssidd 3205	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐵 ⊆ 𝐵)
6	1, 3, 4, 5	ressbas2d 12756	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐵 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝐵)))
7		eqidd 2197	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺))
8		basfn 12746	. . . . 5 ⊢ Base Fn V
9		elex 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ V)
10		funfvex 5576	. . . . . 6 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝐺 ∈ dom Base) → (Base‘𝐺) ∈ V)
11	10	funfni 5359	. . . . 5 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝐺 ∈ V) → (Base‘𝐺) ∈ V)
12	8, 9, 11	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (Base‘𝐺) ∈ V)
13	2, 12	eqeltrid 2283	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐵 ∈ V)
14	1, 7, 13, 9	ressplusgd 12816	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (+g‘𝐺) = (+g‘(𝐺 ↾s 𝐵)))
15		ablgrp 13429	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
16	2	grpressid 13203	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp)
17	15, 16	syl 14	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Grp)
18		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
19	2, 18	ablcom 13443	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑦(+g‘𝐺)𝑥))
20	6, 14, 17, 19	isabld 13439	1 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → (𝐺 ↾s 𝐵) ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Basecbs 12688   ↾_s cress 12689  +_gcplusg 12765  Grpcgrp 13142  Abelcabl 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-cmn 13426  df-abl 13427

This theorem is referenced by:  rngressid  13520