Theorem qus1 14022

Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qus1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Proof of Theorem qus1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3		eqid 2193	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		eqid 2193	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2193	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		qus1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
9		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
12		qusring.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
13	9, 10, 11, 12	2idlvalg 13999	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
15	8, 14	eleqtrd 2272	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
16	15	elin1d 3348	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	9	lidlsubg 13982	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
20	3, 19	eqger 13294	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
21	18, 20	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
22		ringabl 13528	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
23	22	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
24		ablnsg 13404	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
25	23, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
26	18, 25	eleqtrrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
27	3, 19, 5	eqgcpbl 13298	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
28	26, 27	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
29	3, 19, 12, 6	2idlcpbl 14020	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
30		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
31	2, 4, 5, 6, 7, 21, 28, 29, 30	qusring2 13562	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3152   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   Er wer 6584  [cec 6585  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696   /_s cqus 12883  SubGrpcsubg 13237  NrmSGrpcnsg 13238   ~_QG cqg 13239  Abelcabl 13355  1_rcur 13455  Ringcrg 13492  opp_rcoppr 13563  LIdealclidl 13963  2Idealc2idl 13995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-tpos 6298  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-0g 12869  df-iimas 12885  df-qus 12886  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-sbg 13077  df-subg 13240  df-nsg 13241  df-eqg 13242  df-cmn 13356  df-abl 13357  df-mgp 13417  df-rng 13429  df-ur 13456  df-srg 13460  df-ring 13494  df-oppr 13564  df-subrg 13715  df-lmod 13785  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-2idl 13996

This theorem is referenced by:  qusring  14023  qusrhm  14024