Theorem qus1 14403

Description: The multiplicative identity of the quotient ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qus1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qus1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Proof of Theorem qus1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
3		eqid 2207	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
5		eqid 2207	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
6		eqid 2207	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		qus1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ 𝐼)
9		eqid 2207	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
10		eqid 2207	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
11		eqid 2207	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
12		qusring.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
13	9, 10, 11, 12	2idlvalg 14380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐼 = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
15	8, 14	eleqtrd 2286	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
16	15	elin1d 3370	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17	9	lidlsubg 14363	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	16, 17	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
19		eqid 2207	. . . 4 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
20	3, 19	eqger 13675	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
21	18, 20	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er (Base‘𝑅))
22		ringabl 13909	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
23	22	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
24		ablnsg 13785	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
25	23, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
26	18, 25	eleqtrrd 2287	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
27	3, 19, 5	eqgcpbl 13679	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
28	26, 27	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(+g‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(+g‘𝑅)𝑑)))
29	3, 19, 12, 6	2idlcpbl 14401	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
30		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
31	2, 4, 5, 6, 7, 21, 28, 29, 30	qusring2 13943	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [ 1 ](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ∩ cin 3173   class class class wbr 4059  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967   Er wer 6640  [cec 6641  Basecbs 12947  +_gcplusg 13024  ._rcmulr 13025   /_s cqus 13247  SubGrpcsubg 13618  NrmSGrpcnsg 13619   ~_QG cqg 13620  Abelcabl 13736  1_rcur 13836  Ringcrg 13873  opp_rcoppr 13944  LIdealclidl 14344  2Idealc2idl 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-tpos 6354  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-0g 13205  df-iimas 13249  df-qus 13250  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-sbg 13452  df-subg 13621  df-nsg 13622  df-eqg 13623  df-cmn 13737  df-abl 13738  df-mgp 13798  df-rng 13810  df-ur 13837  df-srg 13841  df-ring 13875  df-oppr 13945  df-subrg 14096  df-lmod 14166  df-lssm 14230  df-sra 14312  df-rgmod 14313  df-lidl 14346  df-2idl 14377

This theorem is referenced by:  qusring  14404  qusrhm  14405