Theorem qusrhm 14802

Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
qusrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrhm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2234	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2234	. 2 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
4		eqid 2234	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2234	. 2 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8		qusring.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
9	7, 8	qusring 14801	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
12		eqid 2234	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
13	10, 11, 12, 8	2idlelb 14779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
14	13	simplbi 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	10	lidlsubg 14760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	14, 15	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17		eqid 2234	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
18	1, 17	eqger 13977	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
19	16, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
20		basfn 13355	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
21	6	elexd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
22		funfvex 5692	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	22	funfni 5463	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
24	20, 21, 23	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) ∈ V)
25	1, 24	eqeltrid 2321	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ V)
26		qusrhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
27	19, 25, 26	divsfval 13592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
28	7, 8, 2	qus1 14800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))
29	28	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈))
30	27, 29	eqtrd 2267	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
31	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
32	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
33	1, 17, 8, 4	2idlcpbl 14798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
34	1, 4	ringcl 14256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
35	34	3expb 1231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
36	35	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
37	36	caovclg 6215	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
38	31, 32, 19, 6, 33, 37, 4, 5	qusmulval 13601	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
39	38	3expb 1231	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
40	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
41	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
42	40, 41, 26	divsfval 13592	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
43	40, 41, 26	divsfval 13592	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
44	42, 43	oveq12d 6076	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑈)(𝐹‘𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
45	40, 41, 26	divsfval 13592	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
46	39, 44, 45	3eqtr4rd 2278	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑈)(𝐹‘𝑧)))
47		ringabl 14275	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
48	47	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
49		ablnsg 14087	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
50	48, 49	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
51	16, 50	eleqtrrd 2314	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
52	1, 7, 26	qusghm 14035	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
53	51, 52	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 30, 46, 53	isrhm2d 14410	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ↦ cmpt 4176   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   Er wer 6777  [cec 6778  Basecbs 13296  ._rcmulr 13375   /_s cqus 13566  SubGrpcsubg 13920  NrmSGrpcnsg 13921   ~_QG cqg 13922   GrpHom cghm 13993  Abelcabl 14038  1_rcur 14202  Ringcrg 14239  opp_rcoppr 14310   RingHom crh 14395  LIdealclidl 14741  2Idealc2idl 14773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-0g 13555  df-iimas 13567  df-qus 13568  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-mhm 13714  df-grp 13758  df-minusg 13759  df-sbg 13760  df-subg 13923  df-nsg 13924  df-eqg 13925  df-ghm 13994  df-cmn 14039  df-abl 14040  df-mgp 14160  df-rng 14172  df-ur 14203  df-srg 14207  df-ring 14241  df-oppr 14311  df-rhm 14397  df-subrg 14465  df-lmod 14563  df-lssm 14627  df-sra 14709  df-rgmod 14710  df-lidl 14743  df-2idl 14774

This theorem is referenced by:  znzrh2  14920