Theorem qusrhm 14160

Description: If 𝑆 is a two-sided ideal in 𝑅, then the "natural map" from elements to their cosets is a ring homomorphism from 𝑅 to 𝑅 / 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusring.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
qusring.i	⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
qusrhm.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
qusrhm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
qusrhm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem qusrhm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusrhm.x	. 2 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2196	. 2 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2196	. 2 ⊢ (1r‘𝑈) = (1r‘𝑈)
4		eqid 2196	. 2 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		eqid 2196	. 2 ⊢ (.r‘𝑈) = (.r‘𝑈)
6		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7		qusring.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆))
8		qusring.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (2Ideal‘𝑅)
9	7, 8	qusring 14159	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 ∈ Ring)
10		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
11		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
12		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
13	10, 11, 12, 8	2idlelb 14137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 ↔ (𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
14	13	simplbi 274	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐼 → 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅))
15	10	lidlsubg 14118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
16	14, 15	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
17		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ~QG 𝑆) = (𝑅 ~QG 𝑆)
18	1, 17	eqger 13430	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
19	16, 18	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
20		basfn 12761	. . . . . 6 ⊢ Base Fn V
21	6	elexd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
22		funfvex 5578	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
23	22	funfni 5361	. . . . . 6 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
24	20, 21, 23	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑅) ∈ V)
25	1, 24	eqeltrid 2283	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑋 ∈ V)
26		qusrhm.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ [𝑥](𝑅 ~QG 𝑆))
27	19, 25, 26	divsfval 13030	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆))
28	7, 8, 2	qus1 14158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝑈 ∈ Ring ∧ [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈)))
29	28	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → [(1r‘𝑅)](𝑅 ~QG 𝑆) = (1r‘𝑈))
30	27, 29	eqtrd 2229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑈))
31	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑈 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑆)))
32	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑋 = (Base‘𝑅))
33	1, 17, 8, 4	2idlcpbl 14156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → ((𝑎(𝑅 ~QG 𝑆)𝑐 ∧ 𝑏(𝑅 ~QG 𝑆)𝑑) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(𝑅 ~QG 𝑆)(𝑐(.r‘𝑅)𝑑)))
34	1, 4	ringcl 13645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
35	34	3expb 1206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
36	35	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑋)
37	36	caovclg 6080	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑐 ∈ 𝑋 ∧ 𝑑 ∈ 𝑋)) → (𝑐(.r‘𝑅)𝑑) ∈ 𝑋)
38	31, 32, 19, 6, 33, 37, 4, 5	qusmulval 13039	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
39	38	3expb 1206	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
40	19	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑅 ~QG 𝑆) Er 𝑋)
41	25	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → 𝑋 ∈ V)
42	40, 41, 26	divsfval 13030	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑦) = [𝑦](𝑅 ~QG 𝑆))
43	40, 41, 26	divsfval 13030	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘𝑧) = [𝑧](𝑅 ~QG 𝑆))
44	42, 43	oveq12d 5943	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑈)(𝐹‘𝑧)) = ([𝑦](𝑅 ~QG 𝑆)(.r‘𝑈)[𝑧](𝑅 ~QG 𝑆)))
45	40, 41, 26	divsfval 13030	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = [(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)](𝑅 ~QG 𝑆))
46	39, 44, 45	3eqtr4rd 2240	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)) = ((𝐹‘𝑦)(.r‘𝑈)(𝐹‘𝑧)))
47		ringabl 13664	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
48	47	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
49		ablnsg 13540	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
50	48, 49	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → (NrmSGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑅))
51	16, 50	eleqtrrd 2276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅))
52	1, 7, 26	qusghm 13488	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝑅) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
53	51, 52	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑈))
54	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 30, 46, 53	isrhm2d 13797	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ↦ cmpt 4095   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   Er wer 6598  [cec 6599  Basecbs 12703  ._rcmulr 12781   /_s cqus 13002  SubGrpcsubg 13373  NrmSGrpcnsg 13374   ~_QG cqg 13375   GrpHom cghm 13446  Abelcabl 13491  1_rcur 13591  Ringcrg 13628  opp_rcoppr 13699   RingHom crh 13782  LIdealclidl 14099  2Idealc2idl 14131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-0g 12960  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-oppr 13700  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-2idl 14132

This theorem is referenced by:  znzrh2  14278