Theorem recexaplem2 8612

Description: Lemma for recexap 8613. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexaplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Proof of Theorem recexaplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	mul01i 8351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
3	2	oveq2i 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
4		00id 8101	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
5	3, 4	eqtr2i 2199	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0 + (i · 0))
6	5	breq2i 4013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)))
7		0re 7960	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		apreim 8563	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
10	6, 9	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
11	10	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
12		remulcl 7942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 7942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
18		apsqgt0 8561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
19		msqge0 8576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
20	18, 19	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21	20	an32s 568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
22		addgtge0 8410	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
24	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
25		msqge0 8576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
26		apsqgt0 8561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
27	25, 26	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
28	27	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
29		addgegt0 8409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	23, 30	jaodan 797	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	11, 31	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
33	32	3impa 1194	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
34	33	olcd 734	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))))
35		simp1 997	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 35	remulcld 7991	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
37		simp2 998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	37, 37	remulcld 7991	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
39	36, 38	readdcld 7990	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ)
40		reaplt 8548	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
41	39, 7, 40	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
42	34, 41	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  0cc0 7814  ici 7816   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995   ≤ cle 7996   # cap 8541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542

This theorem is referenced by:  recexap  8613