Theorem recexaplem2 8570

Description: Lemma for recexap 8571. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexaplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Proof of Theorem recexaplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	mul01i 8310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
3	2	oveq2i 5864	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
4		00id 8060	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
5	3, 4	eqtr2i 2192	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0 + (i · 0))
6	5	breq2i 3997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)))
7		0re 7920	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		apreim 8522	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
9	7, 7, 8	mpanr12 437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
10	6, 9	syl5bb 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
11	10	pm5.32i 451	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
12		remulcl 7902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 7902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
18		apsqgt0 8520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
19		msqge0 8535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
20	18, 19	anim12i 336	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21	20	an32s 563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
22		addgtge0 8369	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23	17, 21, 22	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
24	16	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
25		msqge0 8535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
26		apsqgt0 8520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
27	25, 26	anim12i 336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
28	27	anassrs 398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
29		addgegt0 8368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	24, 28, 29	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	23, 30	jaodan 792	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	11, 31	sylbi 120	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
33	32	3impa 1189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
34	33	olcd 729	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))))
35		simp1 992	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 35	remulcld 7950	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
37		simp2 993	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	37, 37	remulcld 7950	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
39	36, 38	readdcld 7949	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ)
40		reaplt 8507	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
41	39, 7, 40	sylancl 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
42	34, 41	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  ici 7776   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   # cap 8500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501

This theorem is referenced by:  recexap  8571