Theorem recexaplem2 8983

Description: Lemma for recexap 8984. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexaplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Proof of Theorem recexaplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	mul01i 8720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
3	2	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
4		00id 8469	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
5	3, 4	eqtr2i 2260	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0 + (i · 0))
6	5	breq2i 4138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)))
7		0re 8327	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		apreim 8934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
9	7, 7, 8	mpanr12 443	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
10	6, 9	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
11	10	pm5.32i 458	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
12		remulcl 8308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 8308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
18		apsqgt0 8932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
19		msqge0 8947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
20	18, 19	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21	20	an32s 574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
22		addgtge0 8780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23	17, 21, 22	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
24	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
25		msqge0 8947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
26		apsqgt0 8932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
27	25, 26	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
28	27	anassrs 404	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
29		addgegt0 8779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	24, 28, 29	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	23, 30	jaodan 809	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	11, 31	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
33	32	3impa 1225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
34	33	olcd 746	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))))
35		simp1 1028	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 35	remulcld 8357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
37		simp2 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	37, 37	remulcld 8357	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
39	36, 38	readdcld 8356	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ)
40		reaplt 8919	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
41	39, 7, 40	sylancl 417	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
42	34, 41	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085  ℝcr 8179  0cc0 8180  ici 8182   + caddc 8183   · cmul 8185   < clt 8361   ≤ cle 8362   # cap 8912

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913

This theorem is used by:  recexap  8984