Theorem recexaplem2 8725

Description: Lemma for recexap 8726. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
recexaplem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Proof of Theorem recexaplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
2	1	mul01i 8463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i · 0) = 0
3	2	oveq2i 5955	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + (i · 0)) = (0 + 0)
4		00id 8213	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + 0) = 0
5	3, 4	eqtr2i 2227	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0 + (i · 0))
6	5	breq2i 4052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)))
7		0re 8072	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		apreim 8676	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
9	7, 7, 8	mpanr12 439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # (0 + (i · 0)) ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
10	6, 9	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (i · 𝐵)) # 0 ↔ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
11	10	pm5.32i 454	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)))
12		remulcl 8053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 8053	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 397	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
18		apsqgt0 8674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
19		msqge0 8689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
20	18, 19	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21	20	an32s 568	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
22		addgtge0 8523	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23	17, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
24	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
25		msqge0 8689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
26		apsqgt0 8674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
27	25, 26	anim12i 338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 # 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
28	27	anassrs 400	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
29		addgegt0 8522	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	24, 28, 29	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	23, 30	jaodan 799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 # 0 ∨ 𝐵 # 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	11, 31	sylbi 121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
33	32	3impa 1197	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
34	33	olcd 736	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵))))
35		simp1 1000	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 35	remulcld 8103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
37		simp2 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
38	37, 37	remulcld 8103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
39	36, 38	readdcld 8102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ)
40		reaplt 8661	. . 3 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
41	39, 7, 40	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0 ↔ (((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) < 0 ∨ 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))))
42	34, 41	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) # 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) # 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  ℝcr 7924  0cc0 7925  ici 7927   + caddc 7928   · cmul 7930   < clt 8107   ≤ cle 8108   # cap 8654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655

This theorem is referenced by:  recexap  8726