ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recexaplem2 GIF version

Theorem recexaplem2 8609
Description: Lemma for recexap 8610. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2020.)
Assertion
Ref Expression
recexaplem2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) # 0)

Proof of Theorem recexaplem2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 7906 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
21mul01i 8348 . . . . . . . . . 10 (i ยท 0) = 0
32oveq2i 5886 . . . . . . . . 9 (0 + (i ยท 0)) = (0 + 0)
4 00id 8098 . . . . . . . . 9 (0 + 0) = 0
53, 4eqtr2i 2199 . . . . . . . 8 0 = (0 + (i ยท 0))
65breq2i 4012 . . . . . . 7 ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0 โ†” (๐ด + (i ยท ๐ต)) # (0 + (i ยท 0)))
7 0re 7957 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
8 apreim 8560 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (0 + (i ยท 0)) โ†” (๐ด # 0 โˆจ ๐ต # 0)))
97, 7, 8mpanr12 439 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # (0 + (i ยท 0)) โ†” (๐ด # 0 โˆจ ๐ต # 0)))
106, 9bitrid 192 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0 โ†” (๐ด # 0 โˆจ ๐ต # 0)))
1110pm5.32i 454 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด # 0 โˆจ ๐ต # 0)))
12 remulcl 7939 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
1312anidms 397 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
14 remulcl 7939 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
1514anidms 397 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
1613, 15anim12i 338 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„))
1716adantr 276 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„))
18 apsqgt0 8558 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด # 0) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ด))
19 msqge0 8573 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ต ยท ๐ต))
2018, 19anim12i 338 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด # 0) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ด) โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท ๐ต)))
2120an32s 568 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด # 0) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ด) โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท ๐ต)))
22 addgtge0 8407 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โˆง (0 < (๐ด ยท ๐ด) โˆง 0 โ‰ค (๐ต ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
2317, 21, 22syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ด # 0) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
2416adantr 276 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„))
25 msqge0 8573 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด))
26 apsqgt0 8558 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0) โ†’ 0 < (๐ต ยท ๐ต))
2725, 26anim12i 338 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต # 0)) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด) โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ต)))
2827anassrs 400 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต # 0) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด) โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ต)))
29 addgegt0 8406 . . . . . . 7 ((((๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ด) โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3024, 28, 29syl2anc 411 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐ต # 0) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3123, 30jaodan 797 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด # 0 โˆจ ๐ต # 0)) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3211, 31sylbi 121 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
33323impa 1194 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))
3433olcd 734 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) < 0 โˆจ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต))))
35 simp1 997 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3635, 35remulcld 7988 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
37 simp2 998 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3837, 37remulcld 7988 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ (๐ต ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
3936, 38readdcld 7987 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) โˆˆ โ„)
40 reaplt 8545 . . 3 ((((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) # 0 โ†” (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) < 0 โˆจ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))))
4139, 7, 40sylancl 413 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) # 0 โ†” (((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) < 0 โˆจ 0 < ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)))))
4234, 41mpbird 167 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + (i ยท ๐ต)) # 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) + (๐ต ยท ๐ต)) # 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ wo 708   โˆง w3a 978   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„cr 7810  0cc0 7811  ici 7813   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   # cap 8538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539
This theorem is referenced by:  recexap  8610
  Copyright terms: Public domain W3C validator