Theorem recp1lt1 8794

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8739	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
4	1	recnd 7927	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		1cnd 7915	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 8049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 4008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (1 + 𝐴))
8	5, 4	addcld 7918	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
9		1red 7914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	9, 1	readdcld 7928	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
11		1re 7898	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0lt1 8025	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
13		addgtge0 8348	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
14	12, 13	mpanr1 434	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
15	11, 14	mpanl1 431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
16	10, 15	gt0ap0d 8527	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) # 0)
17	4, 8, 16	divcanap1d 8687	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) = 𝐴)
18	8	mulid2d 7917	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
19	7, 17, 18	3brtr4d 4014	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴)))
20	1, 10, 16	redivclapd 8731	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
21		ltmul1 8490	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
22	20, 9, 10, 15, 21	syl112anc 1232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
23	19, 22	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   / cdiv 8568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569

This theorem is referenced by: (None)