Theorem recp1lt1 8657

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltp1 8602	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < (𝐴 + 1))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (𝐴 + 1))
4	1	recnd 7794	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		1cnd 7782	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	addcomd 7913	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 + 1) = (1 + 𝐴))
7	3, 6	breqtrd 3954	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < (1 + 𝐴))
8	5, 4	addcld 7785	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
9		1red 7781	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
10	9, 1	readdcld 7795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) ∈ ℝ)
11		1re 7765	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
12		0lt1 7889	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 1
13		addgtge0 8212	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (0 < 1 ∧ 0 ≤ 𝐴)) → 0 < (1 + 𝐴))
14	12, 13	mpanr1 433	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
15	11, 14	mpanl1 430	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 < (1 + 𝐴))
16	10, 15	gt0ap0d 8391	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 + 𝐴) # 0)
17	4, 8, 16	divcanap1d 8551	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) = 𝐴)
18	8	mulid2d 7784	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (1 · (1 + 𝐴)) = (1 + 𝐴))
19	7, 17, 18	3brtr4d 3960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴)))
20	1, 10, 16	redivclapd 8594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ)
21		ltmul1 8354	. . 3 ⊢ (((𝐴 / (1 + 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((1 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 + 𝐴))) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
22	20, 9, 10, 15, 21	syl112anc 1220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → ((𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 / (1 + 𝐴)) · (1 + 𝐴)) < (1 · (1 + 𝐴))))
23	19, 22	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 / (1 + 𝐴)) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   / cdiv 8432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433

This theorem is referenced by: (None)