Theorem alzdvds 12331

Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
alzdvds	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnssz 9431	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
2		zcn 9419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4		arch 9334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6		ssrexv 3269	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
7	1, 5, 6	mpsyl 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8		zabscl 11563	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
9		zltnle 9460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
10	8, 9	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
11	10	rexbidva 2507	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12		rexnalim 2499	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
13	11, 12	biimtrdi 163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
14	7, 13	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
15	14	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16		ralim 2569	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17		dvdsleabs 12322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18	17	3expb 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
20	19	ralrimiv 2582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
21	16, 20	syl11 31	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
22	21	expdimp 259	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
23	15, 22	mtod 667	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24		0z 9425	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
25		zdceq 9490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
27		nnedc 2385	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
28	26, 27	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
29	28	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
30	23, 29	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
31	30	expcom 116	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 → 𝑁 = 0))
32		dvds0 12283	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
33		breq2 4066	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑥 ∥ 0))
34	32, 33	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑁))
35	34	ralrimiv 2582	. 2 ⊢ (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁)
36	31, 35	impbid1 142	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 838   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   ≠ wne 2380  ∀wral 2488  ∃wrex 2489   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  ℝcr 7966  0cc0 7967   < clt 8149   ≤ cle 8150  ℕcn 9078  ℤcz 9414  abscabs 11474   ∥ cdvds 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-dvds 12265

This theorem is referenced by: (None)