ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  alzdvds GIF version

Theorem alzdvds 11563
Description: Only 0 is divisible by all integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
alzdvds (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem alzdvds
StepHypRef Expression
1 nnssz 9083 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℤ
2 zcn 9071 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
32abscld 10965 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
4 arch 8986 . . . . . . . . 9 ((abs‘𝑁) ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
53, 4syl 14 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥)
6 ssrexv 3162 . . . . . . . 8 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥))
71, 5, 6mpsyl 65 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥)
8 zabscl 10870 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℤ)
9 zltnle 9112 . . . . . . . . . 10 (((abs‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
108, 9sylan 281 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1110rexbidva 2434 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
12 rexnalim 2427 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ ℤ ¬ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1311, 12syl6bi 162 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ (abs‘𝑁) < 𝑥 → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
147, 13mpd 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
1514adantl 275 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁))
16 ralim 2491 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)) → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
17 dvdsleabs 11554 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
18173expb 1182 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
1918expcom 115 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁))))
2019ralrimiv 2504 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝑁𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2116, 20syl11 31 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁 → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2221expdimp 257 . . . . 5 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ≤ (abs‘𝑁)))
2315, 22mtod 652 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → ¬ 𝑁 ≠ 0)
24 0z 9077 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
25 zdceq 9138 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
2624, 25mpan2 421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
27 nnedc 2313 . . . . . 6 (DECID 𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
2826, 27syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
2928adantl 275 . . . 4 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 ≠ 0 ↔ 𝑁 = 0))
3023, 29mpbid 146 . . 3 ((∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 = 0)
3130expcom 115 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
32 dvds0 11519 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 0)
33 breq2 3933 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑥𝑁𝑥 ∥ 0))
3432, 33syl5ibr 155 . . 3 (𝑁 = 0 → (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑁))
3534ralrimiv 2504 . 2 (𝑁 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁)
3631, 35impbid1 141 1 (𝑁 ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ 𝑥𝑁𝑁 = 0))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2308  wral 2416  wrex 2417  wss 3071   class class class wbr 3929  cfv 5123  cr 7631  0cc0 7632   < clt 7812  cle 7813  cn 8732  cz 9066  abscabs 10781  cdvds 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-dvds 11505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator