Theorem div4p1lem1div2 9306

Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
div4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 9132	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3, 3	leadd2d 8628	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
5	4	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6		recn 8073	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	times2d 9296	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
9	5, 8	breqtrrd 4078	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10		4cn 9129	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12		2cn 9122	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
14	6, 11, 13	addassd 8110	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15		4p2e6 9195	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
16	15	oveq2i 5967	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
17	14, 16	eqtrdi 2255	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
18	17	breq1d 4060	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
20	9, 19	mpbird 167	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21		4re 9128	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23		4ap0 9150	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
25	3, 22, 24	redivclapd 8923	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26		peano2re 8223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28		peano2rem 8354	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29	28	rehalfcld 9299	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30		4pos 9148	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
31	21, 30	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33		lemul1 8681	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
35	25	recnd 8116	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36		1cnd 8103	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
37	6, 11, 24	divcanap1d 8879	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
38	10	mullidi 8090	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 4) = 4
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
40	37, 39	oveq12d 5974	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
41	35, 11, 36, 40	joinlmuladdmuld 8115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42		2t2e4 9206	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	eqcomi 2210	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
45	44	oveq2d 5972	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
46	29	recnd 8116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47		mulass 8071	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
48	47	eqcomd 2212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
49	46, 13, 13, 48	syl3anc 1250	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
50	28	recnd 8116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51		2ap0 9144	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 # 0)
53	50, 13, 52	divcanap1d 8879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
54	53	oveq1d 5971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
55	6, 36, 13	subdird 8502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
56	12	mullidi 8090	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
57	56	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
58	57	oveq2d 5972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
59	54, 55, 58	3eqtrd 2243	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
60	45, 49, 59	3eqtrd 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
61	41, 60	breq12d 4063	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
62	3, 22	readdcld 8117	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63		2re 9121	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
64	63	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
65	3, 64	remulcld 8118	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66		leaddsub 8526	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
67	66	bicomd 141	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
69	34, 61, 68	3bitrd 214	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
70	69	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
71	20, 70	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956  ℂcc 7938  ℝcr 7939  0cc0 7940  1c1 7941   + caddc 7943   · cmul 7945   < clt 8122   ≤ cle 8123   − cmin 8258   # cap 8669   / cdiv 8760  2c2 9102  4c4 9104  6c6 9106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10465