ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  div4p1lem1div2 GIF version

Theorem div4p1lem1div2 9161
Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
div4p1lem1div2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2
StepHypRef Expression
1 6re 8989 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
21a1i 9 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3 id 19 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
42, 3, 3leadd2d 8487 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
54biimpa 296 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6 recn 7935 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
76times2d 9151 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
87adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
95, 8breqtrrd 4028 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10 4cn 8986 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
1110a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12 2cn 8979 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
1312a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
146, 11, 13addassd 7970 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15 4p2e6 9051 . . . . . . 7 (4 + 2) = 6
1615oveq2i 5880 . . . . . 6 (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
1714, 16eqtrdi 2226 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
1817breq1d 4010 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
1918adantr 276 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
209, 19mpbird 167 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21 4re 8985 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
2221a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23 4ap0 9007 . . . . . . . 8 4 # 0
2423a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
253, 22, 24redivclapd 8781 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26 peano2re 8083 . . . . . 6 ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
2725, 26syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28 peano2rem 8214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
2928rehalfcld 9154 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30 4pos 9005 . . . . . . 7 0 < 4
3121, 30pm3.2i 272 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
3231a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33 lemul1 8540 . . . . 5 ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3427, 29, 32, 33syl3anc 1238 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
3525recnd 7976 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36 1cnd 7964 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
376, 11, 24divcanap1d 8737 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
3810mulid2i 7951 . . . . . . . 8 (1 · 4) = 4
3938a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
4037, 39oveq12d 5887 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
4135, 11, 36, 40joinlmuladdmuld 7975 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42 2t2e4 9062 . . . . . . . . 9 (2 · 2) = 4
4342eqcomi 2181 . . . . . . . 8 4 = (2 · 2)
4443a1i 9 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
4544oveq2d 5885 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4629recnd 7976 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47 mulass 7933 . . . . . . . 8 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
4847eqcomd 2183 . . . . . . 7 ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
4946, 13, 13, 48syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
5028recnd 7976 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51 2ap0 9001 . . . . . . . . . 10 2 # 0
5251a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → 2 # 0)
5350, 13, 52divcanap1d 8737 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
5453oveq1d 5884 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
556, 36, 13subdird 8362 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
5612mulid2i 7951 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
5756a1i 9 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
5857oveq2d 5885 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
5954, 55, 583eqtrd 2214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
6045, 49, 593eqtrd 2214 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
6141, 60breq12d 4013 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
623, 22readdcld 7977 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63 2re 8978 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
6463a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
653, 64remulcld 7978 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66 leaddsub 8385 . . . . . 6 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
6766bicomd 141 . . . . 5 (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6862, 64, 65, 67syl3anc 1238 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
6934, 61, 683bitrd 214 . . 3 (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7069adantr 276 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
7120, 70mpbird 167 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  2c2 8959  4c4 8961  6c6 8963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971
This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10291
  Copyright terms: Public domain W3C validator