Theorem div4p1lem1div2 9131

Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
div4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 8959	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3, 3	leadd2d 8459	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
5	4	biimpa 294	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6		recn 7907	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	times2d 9121	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
8	7	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
9	5, 8	breqtrrd 4017	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10		4cn 8956	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12		2cn 8949	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
14	6, 11, 13	addassd 7942	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15		4p2e6 9021	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
16	15	oveq2i 5864	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
17	14, 16	eqtrdi 2219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
18	17	breq1d 3999	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
19	18	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
20	9, 19	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21		4re 8955	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23		4ap0 8977	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
25	3, 22, 24	redivclapd 8752	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26		peano2re 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28		peano2rem 8186	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29	28	rehalfcld 9124	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30		4pos 8975	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
31	21, 30	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33		lemul1 8512	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1233	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
35	25	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36		1cnd 7936	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
37	6, 11, 24	divcanap1d 8708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
38	10	mulid2i 7923	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 4) = 4
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
40	37, 39	oveq12d 5871	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
41	35, 11, 36, 40	joinlmuladdmuld 7947	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42		2t2e4 9032	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	eqcomi 2174	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
45	44	oveq2d 5869	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
46	29	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47		mulass 7905	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
48	47	eqcomd 2176	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
49	46, 13, 13, 48	syl3anc 1233	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
50	28	recnd 7948	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51		2ap0 8971	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 # 0)
53	50, 13, 52	divcanap1d 8708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
54	53	oveq1d 5868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
55	6, 36, 13	subdird 8334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
56	12	mulid2i 7923	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
57	56	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
58	57	oveq2d 5869	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
59	54, 55, 58	3eqtrd 2207	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
60	45, 49, 59	3eqtrd 2207	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
61	41, 60	breq12d 4002	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
62	3, 22	readdcld 7949	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63		2re 8948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
64	63	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
65	3, 64	remulcld 7950	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66		leaddsub 8357	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
67	66	bicomd 140	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1233	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
69	34, 61, 68	3bitrd 213	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
70	69	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
71	20, 70	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  2c2 8929  4c4 8931  6c6 8933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  10261