Theorem div4p1lem1div2 8767

Description: An integer greater than 5, divided by 4 and increased by 1, is less than or equal to the half of the integer minus 1. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
div4p1lem1div2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Proof of Theorem div4p1lem1div2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6re 8601	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 6 ∈ ℝ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4	2, 3, 3	leadd2d 8114	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁)))
5	4	biimpa 291	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 + 𝑁))
6		recn 7572	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
7	6	times2d 8757	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
8	7	adantr 271	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 · 2) = (𝑁 + 𝑁))
9	5, 8	breqtrrd 3893	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2))
10		4cn 8598	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℂ)
12		2cn 8591	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
13	12	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
14	6, 11, 13	addassd 7607	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + (4 + 2)))
15		4p2e6 8657	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 2) = 6
16	15	oveq2i 5701	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + (4 + 2)) = (𝑁 + 6)
17	14, 16	syl6eq 2143	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) + 2) = (𝑁 + 6))
18	17	breq1d 3877	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
19	18	adantr 271	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 6) ≤ (𝑁 · 2)))
20	9, 19	mpbird 166	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2))
21		4re 8597	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ
22	21	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
23		4ap0 8619	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 # 0)
25	3, 22, 24	redivclapd 8398	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℝ)
26		peano2re 7715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 4) ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
27	25, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ)
28		peano2rem 7846	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
29	28	rehalfcld 8760	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ)
30		4pos 8617	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
31	21, 30	pm3.2i 267	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
32	31	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4))
33		lemul1 8167	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 / 4) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
34	27, 29, 32, 33	syl3anc 1181	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ (((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4)))
35	25	recnd 7613	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 4) ∈ ℂ)
36		1cnd 7601	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
37	6, 11, 24	divcanap1d 8355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 / 4) · 4) = 𝑁)
38	10	mulid2i 7588	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 4) = 4
39	38	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 4) = 4)
40	37, 39	oveq12d 5708	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) · 4) + (1 · 4)) = (𝑁 + 4))
41	35, 11, 36, 40	joinlmuladdmuld 7612	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) · 4) = (𝑁 + 4))
42		2t2e4 8668	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 2) = 4
43	42	eqcomi 2099	. . . . . . . 8 ⊢ 4 = (2 · 2)
44	43	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 4 = (2 · 2))
45	44	oveq2d 5706	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
46	29	recnd 7613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
47		mulass 7570	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)))
48	47	eqcomd 2100	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
49	46, 13, 13, 48	syl3anc 1181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · (2 · 2)) = ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2))
50	28	recnd 7613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
51		2ap0 8613	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 # 0)
53	50, 13, 52	divcanap1d 8355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 2) = (𝑁 − 1))
54	53	oveq1d 5705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 − 1) · 2))
55	6, 36, 13	subdird 7990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 − 1) · 2) = ((𝑁 · 2) − (1 · 2)))
56	12	mulid2i 7588	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 2) = 2
57	56	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 · 2) = 2)
58	57	oveq2d 5706	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 · 2) − (1 · 2)) = ((𝑁 · 2) − 2))
59	54, 55, 58	3eqtrd 2131	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 − 1) / 2) · 2) · 2) = ((𝑁 · 2) − 2))
60	45, 49, 59	3eqtrd 2131	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 − 1) / 2) · 4) = ((𝑁 · 2) − 2))
61	41, 60	breq12d 3880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((((𝑁 / 4) + 1) · 4) ≤ (((𝑁 − 1) / 2) · 4) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
62	3, 22	readdcld 7614	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 4) ∈ ℝ)
63		2re 8590	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
64	63	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 ∈ ℝ)
65	3, 64	remulcld 7615	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 · 2) ∈ ℝ)
66		leaddsub 8013	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → (((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2) ↔ (𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2)))
67	66	bicomd 140	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 4) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1181	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 + 4) ≤ ((𝑁 · 2) − 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
69	34, 61, 68	3bitrd 213	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
70	69	adantr 271	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2) ↔ ((𝑁 + 4) + 2) ≤ (𝑁 · 2)))
71	20, 70	mpbird 166	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 4) + 1) ≤ ((𝑁 − 1) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  ℂcc 7445  ℝcr 7446  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   · cmul 7452   < clt 7619   ≤ cle 7620   − cmin 7750   # cap 8155   / cdiv 8236  2c2 8571  4c4 8573  6c6 8575

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-5 8582  df-6 8583

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  9861