Theorem divcnv 12138

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 11821	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rerpdivcld 10024	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
5		arch 9458	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
7	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		eluzelz 9826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	9	zred 9663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		0red 8240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
13		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14	13	nnred 9215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
15	13	nngt0d 9246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑗)
16		eluzle 9829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
18	12, 14, 11, 15, 17	ltletrd 8662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑘)
19	11, 18	gt0ap0d 8868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 # 0)
20	7, 10, 19	absdivapd 11835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)))
21	12, 11, 18	ltled 8357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑘)
22	11, 21	absidd 11807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑘) = 𝑘)
23	22	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
24	20, 23	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
25	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
26	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27	11, 18	elrpd 9989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
28	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
29		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
30	28, 14, 11, 29, 17	ltletrd 8662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑘)
31	25, 26, 27, 30	ltdiv23d 10053	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑘) < 𝑥)
32	24, 31	eqbrtrd 4115	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
33	32	ralrimiva 2606	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
34	33	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
35	34	reximdva 2635	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
36	6, 35	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
37	36	ralrimiva 2606	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
38		nnuz 9853	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39		1zzd 9567	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
40		nnex 9208	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 5890	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V
42	41	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V)
43		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
44		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43	nncnd 9216	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
46	43	nnap0d 9248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
47	44, 45, 46	divclapd 9029	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
48		oveq2 6036	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑘))
49		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))
50	48, 49	fvmptg 5731	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
51	43, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
52	38, 39, 42, 51, 47	clim0c 11926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
53	37, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  Vcvv 2803   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8090  ℝcr 8091  0cc0 8092  1c1 8093   < clt 8273   ≤ cle 8274   / cdiv 8911  ℕcn 9202  ℤcz 9540  ℤ_≥cuz 9816  ℝ⁺crp 9949  abscabs 11637   ⇝ cli 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919

This theorem is referenced by:  trireciplem  12141  expcnvap0  12143