Theorem divcnv 11505

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 11190	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rerpdivcld 9728	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
5		arch 9173	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
7	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		eluzelz 9537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	9	zred 9375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		0red 7958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
13		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14	13	nnred 8932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
15	13	nngt0d 8963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑗)
16		eluzle 9540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
18	12, 14, 11, 15, 17	ltletrd 8380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑘)
19	11, 18	gt0ap0d 8586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 # 0)
20	7, 10, 19	absdivapd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)))
21	12, 11, 18	ltled 8076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑘)
22	11, 21	absidd 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑘) = 𝑘)
23	22	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
24	20, 23	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
25	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
26	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27	11, 18	elrpd 9693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
28	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
29		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
30	28, 14, 11, 29, 17	ltletrd 8380	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑘)
31	25, 26, 27, 30	ltdiv23d 9757	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑘) < 𝑥)
32	24, 31	eqbrtrd 4026	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
33	32	ralrimiva 2550	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
34	33	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
35	34	reximdva 2579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
36	6, 35	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
37	36	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
38		nnuz 9563	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39		1zzd 9280	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
40		nnex 8925	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 5743	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V
42	41	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V)
43		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
44		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43	nncnd 8933	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
46	43	nnap0d 8965	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
47	44, 45, 46	divclapd 8747	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
48		oveq2 5883	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑘))
49		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))
50	48, 49	fvmptg 5593	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
51	43, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
52	38, 39, 42, 51, 47	clim0c 11294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
53	37, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2738   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   < clt 7992   ≤ cle 7993   / cdiv 8629  ℕcn 8919  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ℝ⁺crp 9653  abscabs 11006   ⇝ cli 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287

This theorem is referenced by:  trireciplem  11508  expcnvap0  11510