Theorem divcnv 12264

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 11947	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rerpdivcld 10129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
5		arch 9560	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
7	1	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		eluzelz 9931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	9	zred 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		0red 8327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
13		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14	13	nnred 9317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
15	13	nngt0d 9348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑗)
16		eluzle 9934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
18	12, 14, 11, 15, 17	ltletrd 8751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑘)
19	11, 18	gt0ap0d 8957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 # 0)
20	7, 10, 19	absdivapd 11961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)))
21	12, 11, 18	ltled 8445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑘)
22	11, 21	absidd 11933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑘) = 𝑘)
23	22	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
24	20, 23	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
25	2	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
26	3	ad3antrrr 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27	11, 18	elrpd 10094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
28	4	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
29		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
30	28, 14, 11, 29, 17	ltletrd 8751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑘)
31	25, 26, 27, 30	ltdiv23d 10158	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑘) < 𝑥)
32	24, 31	eqbrtrd 4152	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
33	32	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
34	33	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
35	34	reximdva 2652	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
36	6, 35	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
37	36	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
38		nnuz 9958	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39		1zzd 9671	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
40		nnex 9310	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 5943	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V
42	41	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V)
43		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
44		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43	nncnd 9318	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
46	43	nnap0d 9350	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
47	44, 45, 46	divclapd 9120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
48		oveq2 6093	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑘))
49		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))
50	48, 49	fvmptg 5781	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
51	43, 47, 50	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
52	38, 39, 42, 51, 47	clim0c 12052	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
53	37, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   < clt 8360   ≤ cle 8361   / cdiv 9002  ℕcn 9304  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ℝ⁺crp 10054  abscabs 11763   ⇝ cli 12044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045

This theorem is used by:  trireciplem  12267  expcnvap0  12269