ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divcnv GIF version

Theorem divcnv 11298
Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
divcnv (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
21abscld 10985 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3 simpr 109 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
42, 3rerpdivcld 9545 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
5 arch 8998 . . . . 5 (((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
64, 5syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
71ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 eluzelz 9359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
98adantl 275 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
109zcnd 9198 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℂ)
119zred 9197 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 0red 7791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
13 simpllr 524 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
1413nnred 8757 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
1513nngt0d 8788 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < 𝑗)
16 eluzle 9362 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
1716adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
1812, 14, 11, 15, 17ltletrd 8209 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 < 𝑘)
1911, 18gt0ap0d 8415 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 # 0)
207, 10, 19absdivapd 10999 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)))
2112, 11, 18ltled 7905 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 0 ≤ 𝑘)
2211, 21absidd 10971 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘𝑘) = 𝑘)
2322oveq2d 5798 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
2420, 23eqtrd 2173 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
252ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
263ad3antrrr 484 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2711, 18elrpd 9510 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
284ad3antrrr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
29 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
3028, 14, 11, 29, 17ltletrd 8209 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑘)
3125, 26, 27, 30ltdiv23d 9574 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑘) < 𝑥)
3224, 31eqbrtrd 3958 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
3332ralrimiva 2508 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
3433ex 114 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
3534reximdva 2537 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
366, 35mpd 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
3736ralrimiva 2508 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
38 nnuz 9385 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
39 1zzd 9105 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
40 nnex 8750 . . . . 5 ℕ ∈ V
4140mptex 5654 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V
4241a1i 9 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V)
43 simpr 109 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
44 simpl 108 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4543nncnd 8758 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
4643nnap0d 8790 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
4744, 45, 46divclapd 8574 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
48 oveq2 5790 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑘))
49 eqid 2140 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))
5048, 49fvmptg 5505 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
5143, 47, 50syl2anc 409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
5238, 39, 42, 51, 47clim0c 11087 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
5337, 52mpbird 166 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  Vcvv 2689   class class class wbr 3937  cmpt 3997  cfv 5131  (class class class)co 5782  cc 7642  cr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   < clt 7824  cle 7825   / cdiv 8456  cn 8744  cz 9078  cuz 9350  +crp 9470  abscabs 10801  cli 11079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080
This theorem is referenced by:  trireciplem  11301  expcnvap0  11303
  Copyright terms: Public domain W3C validator