Theorem divcnv 11808

Description: The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor 𝐴, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
divcnv	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem divcnv

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	abscld 11492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
3		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4	2, 3	rerpdivcld 9850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
5		arch 9292	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
7	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑘 ∈ ℤ)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℂ)
11	9	zred 9495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12		0red 8073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ∈ ℝ)
13		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
14	13	nnred 9049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
15	13	nngt0d 9080	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑗)
16		eluzle 9660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
17	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
18	12, 14, 11, 15, 17	ltletrd 8496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 < 𝑘)
19	11, 18	gt0ap0d 8702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 # 0)
20	7, 10, 19	absdivapd 11506	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)))
21	12, 11, 18	ltled 8191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 0 ≤ 𝑘)
22	11, 21	absidd 11478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝑘) = 𝑘)
23	22	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
24	20, 23	eqtrd 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) = ((abs‘𝐴) / 𝑘))
25	2	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
26	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
27	11, 18	elrpd 9815	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ+)
28	4	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) ∈ ℝ)
29		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗)
30	28, 14, 11, 29, 17	ltletrd 8496	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑘)
31	25, 26, 27, 30	ltdiv23d 9879	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘𝐴) / 𝑘) < 𝑥)
32	24, 31	eqbrtrd 4066	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
33	32	ralrimiva 2579	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
34	33	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
35	34	reximdva 2608	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((abs‘𝐴) / 𝑥) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
36	6, 35	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
37	36	ralrimiva 2579	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥)
38		nnuz 9684	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39		1zzd 9399	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℤ)
40		nnex 9042	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
41	40	mptex 5810	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V
42	41	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ∈ V)
43		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
44		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
45	43	nncnd 9050	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
46	43	nnap0d 9082	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 # 0)
47	44, 45, 46	divclapd 8863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ)
48		oveq2 5952	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 𝑛) = (𝐴 / 𝑘))
49		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))
50	48, 49	fvmptg 5655	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 / 𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
51	43, 47, 50	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛))‘𝑘) = (𝐴 / 𝑘))
52	38, 39, 42, 51, 47	clim0c 11597	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘(𝐴 / 𝑘)) < 𝑥))
53	37, 52	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∀wral 2484  ∃wrex 2485  Vcvv 2772   class class class wbr 4044   ↦ cmpt 4105  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  ℝcr 7924  0cc0 7925  1c1 7926   < clt 8107   ≤ cle 8108   / cdiv 8745  ℕcn 9036  ℤcz 9372  ℤ_≥cuz 9648  ℝ⁺crp 9775  abscabs 11308   ⇝ cli 11589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590

This theorem is referenced by:  trireciplem  11811  expcnvap0  11813