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Theorem expnbnd 10643

Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 997	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simp2 998	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
6		simp3 999	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐵)
8		1red 7971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
9	1, 8	resubcld 8337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
10	3, 8	resubcld 8337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
11	8, 3	posdifd 8488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
12	6, 11	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
13	10, 12	gt0ap0d 8585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) # 0)
14	9, 10, 13	redivclapd 8791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
15		arch 9172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
17	16	3expa 1203	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
18	17	adantrl 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
19		simplll 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
24		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	24	nnred 8931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
26	23, 25	remulcld 7987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
27	26, 22	readdcld 7986	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
29	24	nnnn0d 9228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
30		reexpcl 10536	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
31	21, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
34		1red 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
35	20, 34	resubcld 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
36		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nnred 8931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38, 34	resubcld 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
40		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < 𝐵)
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 1 < 𝐵)
42	34, 38	posdifd 8488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
43	41, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 0 < (𝐵 − 1))
44		ltdivmul 8832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘)))
45	35, 37, 39, 43, 44	syl112anc 1242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘)))
46	33, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘))
47	39, 37	remulcld 7987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐵 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
48	20, 34, 47	ltsubaddd 8497	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1)))
49	46, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1))
50	36	nnnn0d 9228	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
51		0red 7957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
52		0lt1 8083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
53		0re 7956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		1re 7955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
55		lttr 8030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
56	53, 54, 55	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
57	52, 56	mpani 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
58	21, 40, 57	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
59	51, 21, 58	ltled 8075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
60	59	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 0 ≤ 𝐵)
61		bernneq2 10641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐵↑𝑘))
62	38, 50, 60, 61	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐵↑𝑘))
63	20, 28, 32, 49, 62	ltletrd 8379	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
64	63	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 → 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))
65	64	reximdva 2579	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))
66	18, 65	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
67	2, 4, 5, 7, 66	syl22anc 1239	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
68		1nn 8929	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
69		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
70		simpl2 1001	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	70	recnd 7985	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
72		exp1 10525	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
73	71, 72	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
74	69, 73	breqtrrd 4031	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵↑1))
75		oveq2 5882	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
76	75	breq2d 4015	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
77	76	rspcev 2841	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
78	68, 74, 77	sylancr 414	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
79		axltwlin 8024	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
80	54, 79	mp3an1 1324	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
81	80	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
82	81	3impia 1200	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
83	67, 78, 82	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 708 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ∃wrex 2456 class class class wbr 4003 (class class class)co 5874 ℂcc 7808 ℝcr 7809 0cc0 7810 1c1 7811 + caddc 7813 · cmul 7815 < clt 7991 ≤ cle 7992 − cmin 8127 / cdiv 8628 ℕcn 8918 ℕ₀cn0 9175 ↑cexp 10518

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-reap 8531 df-ap 8538 df-div 8629 df-inn 8919 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-seqfrec 10445 df-exp 10519

This theorem is referenced by: expnlbnd 10644 pclemub 12286

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