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Theorem expnbnd 10534

Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simp2 983	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
6		simp3 984	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
7	6	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐵)
8		1red 7887	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
9	1, 8	resubcld 8250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
10	3, 8	resubcld 8250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
11	8, 3	posdifd 8401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
12	6, 11	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
13	10, 12	gt0ap0d 8498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) # 0)
14	9, 10, 13	redivclapd 8701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
15		arch 9081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
17	16	3expa 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
18	17	adantrl 470	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
19		simplll 523	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		simpllr 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 7887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
24		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	24	nnred 8840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
26	23, 25	remulcld 7902	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
27	26, 22	readdcld 7901	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
28	27	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
29	24	nnnn0d 9137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
30		reexpcl 10429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
31	21, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
32	31	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
34		1red 7887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
35	20, 34	resubcld 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
36		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nnred 8840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38, 34	resubcld 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
40		simplrr 526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < 𝐵)
41	40	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 1 < 𝐵)
42	34, 38	posdifd 8401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
43	41, 42	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 0 < (𝐵 − 1))
44		ltdivmul 8741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘)))
45	35, 37, 39, 43, 44	syl112anc 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘)))
46	33, 45	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘))
47	39, 37	remulcld 7902	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐵 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
48	20, 34, 47	ltsubaddd 8410	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1)))
49	46, 48	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1))
50	36	nnnn0d 9137	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
51		0red 7873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
52		0lt1 7996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
53		0re 7872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		1re 7871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
55		lttr 7945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
56	53, 54, 55	mp3an12 1309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
57	52, 56	mpani 427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
58	21, 40, 57	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
59	51, 21, 58	ltled 7988	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
60	59	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 0 ≤ 𝐵)
61		bernneq2 10532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐵↑𝑘))
62	38, 50, 60, 61	syl3anc 1220	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐵↑𝑘))
63	20, 28, 32, 49, 62	ltletrd 8292	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
64	63	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 → 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))
65	64	reximdva 2559	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))
66	18, 65	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
67	2, 4, 5, 7, 66	syl22anc 1221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
68		1nn 8838	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
69		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
70		simpl2 986	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	70	recnd 7900	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
72		exp1 10418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
73	71, 72	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
74	69, 73	breqtrrd 3992	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵↑1))
75		oveq2 5829	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
76	75	breq2d 3977	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
77	76	rspcev 2816	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
78	68, 74, 77	sylancr 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
79		axltwlin 7939	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
80	54, 79	mp3an1 1306	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
81	80	ancoms 266	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
82	81	3impia 1182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
83	67, 78, 82	mpjaodan 788	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 698 ∧ w3a 963 = wceq 1335 ∈ wcel 2128 ∃wrex 2436 class class class wbr 3965 (class class class)co 5821 ℂcc 7724 ℝcr 7725 0cc0 7726 1c1 7727 + caddc 7729 · cmul 7731 < clt 7906 ≤ cle 7907 − cmin 8040 / cdiv 8539 ℕcn 8827 ℕ₀cn0 9084 ↑cexp 10411

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4495 ax-iinf 4546 ax-cnex 7817 ax-resscn 7818 ax-1cn 7819 ax-1re 7820 ax-icn 7821 ax-addcl 7822 ax-addrcl 7823 ax-mulcl 7824 ax-mulrcl 7825 ax-addcom 7826 ax-mulcom 7827 ax-addass 7828 ax-mulass 7829 ax-distr 7830 ax-i2m1 7831 ax-0lt1 7832 ax-1rid 7833 ax-0id 7834 ax-rnegex 7835 ax-precex 7836 ax-cnre 7837 ax-pre-ltirr 7838 ax-pre-ltwlin 7839 ax-pre-lttrn 7840 ax-pre-apti 7841 ax-pre-ltadd 7842 ax-pre-mulgt0 7843 ax-pre-mulext 7844 ax-arch 7845

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-if 3506 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-ilim 4329 df-suc 4331 df-iom 4549 df-xp 4591 df-rel 4592 df-cnv 4593 df-co 4594 df-dm 4595 df-rn 4596 df-res 4597 df-ima 4598 df-iota 5134 df-fun 5171 df-fn 5172 df-f 5173 df-f1 5174 df-fo 5175 df-f1o 5176 df-fv 5177 df-riota 5777 df-ov 5824 df-oprab 5825 df-mpo 5826 df-1st 6085 df-2nd 6086 df-recs 6249 df-frec 6335 df-pnf 7908 df-mnf 7909 df-xr 7910 df-ltxr 7911 df-le 7912 df-sub 8042 df-neg 8043 df-reap 8444 df-ap 8451 df-div 8540 df-inn 8828 df-n0 9085 df-z 9162 df-uz 9434 df-seqfrec 10338 df-exp 10412

This theorem is referenced by: expnlbnd 10535

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