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Theorem expnbnd 10902

Description: Exponentiation with a base greater than 1 has no upper bound. (Contributed by NM, 20-Oct-2007.)

**Assertion**
Ref	Expression
expnbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑘 𝐵,𝑘

**Proof of Theorem expnbnd**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		simp2 1022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
6		simp3 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐵)
8		1red 8177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
9	1, 8	resubcld 8543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
10	3, 8	resubcld 8543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
11	8, 3	posdifd 8695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
12	6, 11	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 1))
13	10, 12	gt0ap0d 8792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) # 0)
14	9, 10, 13	redivclapd 8998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
15		arch 9382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
17	16	3expa 1227	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
18	17	adantrl 478	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
19		simplll 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
22		1red 8177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
23	21, 22	resubcld 8543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
24		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
25	24	nnred 9139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
26	23, 25	remulcld 8193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
27	26, 22	readdcld 8192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
28	27	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
29	24	nnnn0d 9438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
30		reexpcl 10795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
31	21, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
32	31	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘)
34		1red 8177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 1 ∈ ℝ)
35	20, 34	resubcld 8543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
36		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ)
37	36	nnred 9139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℝ)
38	21	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐵 ∈ ℝ)
39	38, 34	resubcld 8543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
40		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 < 𝐵)
41	40	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 1 < 𝐵)
42	34, 38	posdifd 8695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
43	41, 42	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 0 < (𝐵 − 1))
44		ltdivmul 9039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘)))
45	35, 37, 39, 43, 44	syl112anc 1275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 ↔ (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘)))
46	33, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘))
47	39, 37	remulcld 8193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐵 − 1) · 𝑘) ∈ ℝ)
48	20, 34, 47	ltsubaddd 8704	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → ((𝐴 − 1) < ((𝐵 − 1) · 𝑘) ↔ 𝐴 < (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1)))
49	46, 48	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 < (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1))
50	36	nnnn0d 9438	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
51		0red 8163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
52		0lt1 8289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
53		0re 8162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
54		1re 8161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
55		lttr 8236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
56	53, 54, 55	mp3an12 1361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
57	52, 56	mpani 430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
58	21, 40, 57	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
59	51, 21, 58	ltled 8281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝐵)
60	59	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 0 ≤ 𝐵)
61		bernneq2 10900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀ ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐵↑𝑘))
62	38, 50, 60, 61	syl3anc 1271	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → (((𝐵 − 1) · 𝑘) + 1) ≤ (𝐵↑𝑘))
63	20, 28, 32, 49, 62	ltletrd 8586	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘) → 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
64	63	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 → 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))
65	64	reximdva 2632	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → (∃𝑘 ∈ ℕ ((𝐴 − 1) / (𝐵 − 1)) < 𝑘 → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘)))
66	18, 65	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 1 < 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
67	2, 4, 5, 7, 66	syl22anc 1272	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 1 < 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
68		1nn 9137	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
69		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
70		simpl2 1025	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
71	70	recnd 8191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
72		exp1 10784	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑1) = 𝐵)
73	71, 72	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵↑1) = 𝐵)
74	69, 73	breqtrrd 4111	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵↑1))
75		oveq2 6018	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐵↑𝑘) = (𝐵↑1))
76	75	breq2d 4095	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝐴 < (𝐵↑𝑘) ↔ 𝐴 < (𝐵↑1)))
77	76	rspcev 2907	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (𝐵↑1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
78	68, 74, 77	sylancr 414	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))
79		axltwlin 8230	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
80	54, 79	mp3an1 1358	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
81	80	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
82	81	3impia 1224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵))
83	67, 78, 82	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝐴 < (𝐵↑𝑘))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 713 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ∃wrex 2509 class class class wbr 4083 (class class class)co 6010 ℂcc 8013 ℝcr 8014 0cc0 8015 1c1 8016 + caddc 8018 · cmul 8020 < clt 8197 ≤ cle 8198 − cmin 8333 / cdiv 8835 ℕcn 9126 ℕ₀cn0 9385 ↑cexp 10777

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4259 ax-pr 4294 ax-un 4525 ax-setind 4630 ax-iinf 4681 ax-cnex 8106 ax-resscn 8107 ax-1cn 8108 ax-1re 8109 ax-icn 8110 ax-addcl 8111 ax-addrcl 8112 ax-mulcl 8113 ax-mulrcl 8114 ax-addcom 8115 ax-mulcom 8116 ax-addass 8117 ax-mulass 8118 ax-distr 8119 ax-i2m1 8120 ax-0lt1 8121 ax-1rid 8122 ax-0id 8123 ax-rnegex 8124 ax-precex 8125 ax-cnre 8126 ax-pre-ltirr 8127 ax-pre-ltwlin 8128 ax-pre-lttrn 8129 ax-pre-apti 8130 ax-pre-ltadd 8131 ax-pre-mulgt0 8132 ax-pre-mulext 8133 ax-arch 8134

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4385 df-po 4388 df-iso 4389 df-iord 4458 df-on 4460 df-ilim 4461 df-suc 4463 df-iom 4684 df-xp 4726 df-rel 4727 df-cnv 4728 df-co 4729 df-dm 4730 df-rn 4731 df-res 4732 df-ima 4733 df-iota 5281 df-fun 5323 df-fn 5324 df-f 5325 df-f1 5326 df-fo 5327 df-f1o 5328 df-fv 5329 df-riota 5963 df-ov 6013 df-oprab 6014 df-mpo 6015 df-1st 6295 df-2nd 6296 df-recs 6462 df-frec 6548 df-pnf 8199 df-mnf 8200 df-xr 8201 df-ltxr 8202 df-le 8203 df-sub 8335 df-neg 8336 df-reap 8738 df-ap 8745 df-div 8836 df-inn 9127 df-n0 9386 df-z 9463 df-uz 9739 df-seqfrec 10687 df-exp 10778

This theorem is referenced by: expnlbnd 10903 bitsfzolem 12486 bitsfi 12489 pclemub 12831

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