Theorem efcllem 11365

Description: Lemma for efcl 11370. The series that defines the exponential function converges. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8790	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
3		abscl 10823	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 7796	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
5		arch 8974	. . 3 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑗 ∈ ℕ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
7		efcllem.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simprl 520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
10		simprr 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
11	7, 8, 9, 10	efcllemp 11364	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	6, 11	rexlimddv 2554	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2417   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  ℕ₀cn0 8977  seqcseq 10218  ↑cexp 10292  !cfa 10471  abscabs 10769   ⇝ cli 11047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  efval  11367  eff  11369  efcvg  11372  reefcl  11374  efaddlem  11380  eftlcvg  11393  effsumlt  11398  eflegeo  11408  eirraplem  11483