Theorem efcllem 11609

Description: Lemma for efcl 11614. The series that defines the exponential function converges. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8935	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
3		abscl 11002	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 7937	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
5		arch 9119	. . 3 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑗 ∈ ℕ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
7		efcllem.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8		simpl 108	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simprl 526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
10		simprr 527	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
11	7, 8, 9, 10	efcllemp 11608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	6, 11	rexlimddv 2592	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3987   ↦ cmpt 4048  dom cdm 4609  ‘cfv 5196  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  ℝcr 7760  0cc0 7761   + caddc 7764   · cmul 7766   < clt 7941   / cdiv 8576  ℕcn 8865  2c2 8916  ℕ₀cn0 9122  seqcseq 10388  ↑cexp 10462  !cfa 10646  abscabs 10948   ⇝ cli 11228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-frec 6367  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ico 9838  df-fz 9953  df-fzo 10086  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-fac 10647  df-ihash 10697  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950  df-clim 11229  df-sumdc 11304

This theorem is referenced by:  efval  11611  eff  11613  efcvg  11616  reefcl  11618  efaddlem  11624  eftlcvg  11637  effsumlt  11642  eflegeo  11651  eirraplem  11726