Theorem efcllem 12281

Description: Lemma for efcl 12286. The series that defines the exponential function converges. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Dec-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
efcllem.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9256	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
3		abscl 11672	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4	2, 3	remulcld 8253	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
5		arch 9442	. . 3 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑗 ∈ ℕ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
7		efcllem.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		simprl 531	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
10		simprr 533	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)
11	7, 8, 9, 10	efcllemp 12280	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ (2 · (abs‘𝐴)) < 𝑗)) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	6, 11	rexlimddv 2656	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2512   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075   + caddc 8078   · cmul 8080   < clt 8257   / cdiv 8895  ℕcn 9186  2c2 9237  ℕ₀cn0 9445  seqcseq 10753  ↑cexp 10844  !cfa 11031  abscabs 11618   ⇝ cli 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-ico 10172  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975

This theorem is referenced by:  efval  12283  eff  12285  efcvg  12288  reefcl  12290  efaddlem  12296  eftlcvg  12309  effsumlt  12314  eflegeo  12323  eirraplem  12399