ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsbnd GIF version

Theorem dvdsbnd 10823
Description: There is an upper bound to the divisors of a nonzero integer. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsbnd ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem dvdsbnd
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 8802 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
32abscld 10509 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4 arch 8603 . . 3 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
53, 4syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
63ad3antrrr 476 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7 simpllr 501 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
87nnred 8370 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
9 eluzelz 8960 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
109adantl 271 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1110zred 8801 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
12 simplr 497 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑛)
13 eluzle 8963 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑚)
1413adantl 271 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑚)
156, 8, 11, 12, 14ltletrd 7845 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑚)
16 zabscl 10414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
1716ad4antr 478 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
18 zltnle 8729 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
1917, 10, 18syl2anc 403 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
2015, 19mpbid 145 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴))
211ad3antrrr 476 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 simplr 497 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
2322ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ≠ 0)
24 dvdsleabs 10721 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑚𝐴𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
2524con3d 594 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚𝐴))
2610, 21, 23, 25syl3anc 1172 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚𝐴))
2720, 26mpd 13 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ¬ 𝑚𝐴)
2827ralrimiva 2442 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴)
2928ex 113 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) < 𝑛 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴))
3029reximdva 2471 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴))
315, 30mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922  wcel 1436  wne 2251  wral 2355  wrex 2356   class class class wbr 3820  cfv 4981  cr 7293  0cc0 7294   < clt 7466  cle 7467  cn 8357  cz 8683  cuz 8951  abscabs 10325  cdvds 10671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408  ax-caucvg 7409
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-3 8417  df-4 8418  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-iseq 9780  df-iexp 9853  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173  df-rsqrt 10326  df-abs 10327  df-dvds 10672
This theorem is referenced by:  gcdsupex  10824  gcdsupcl  10825
  Copyright terms: Public domain W3C validator