Theorem dvdsbnd 11970

Description: There is an upper bound to the divisors of a nonzero integer. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem dvdsbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 9186	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
6	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8	7	nnred 8945	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		eluzelz 9550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	zred 9388	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
12		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑛)
13		eluzle 9553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑛 ≤ 𝑚)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑚)
15	6, 8, 11, 12, 14	ltletrd 8393	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑚)
16		zabscl 11108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
18		zltnle 9312	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
19	17, 10, 18	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
20	15, 19	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴))
21	1	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ≠ 0)
24		dvdsleabs 11864	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑚 ∥ 𝐴 → 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
25	24	con3d 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
26	10, 21, 23, 25	syl3anc 1248	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
27	20, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)
28	27	ralrimiva 2560	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)
29	28	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) < 𝑛 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
30	29	reximdva 2589	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
31	5, 30	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   ∈ wcel 2158   ≠ wne 2357  ∀wral 2465  ∃wrex 2466   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  ℝcr 7823  0cc0 7824   < clt 8005   ≤ cle 8006  ℕcn 8932  ℤcz 9266  ℤ_≥cuz 9541  abscabs 11019   ∥ cdvds 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808

This theorem is referenced by:  gcdsupex  11971  gcdsupcl  11972