Theorem dvdsbnd 12645

Description: There is an upper bound to the divisors of a nonzero integer. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)

Distinct variable group:   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem dvdsbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9697	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	abscld 11859	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4		arch 9489	. . 3 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
6	3	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7		simpllr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8	7	nnred 9246	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
9		eluzelz 9859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
10	9	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
11	10	zred 9696	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
12		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑛)
13		eluzle 9862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) → 𝑛 ≤ 𝑚)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑚)
15	6, 8, 11, 12, 14	ltletrd 8693	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑚)
16		zabscl 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
17	16	ad4antr 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
18		zltnle 9619	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
19	17, 10, 18	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
20	15, 19	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴))
21	1	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐴 ≠ 0)
24		dvdsleabs 12524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑚 ∥ 𝐴 → 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
25	24	con3d 636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
26	10, 21, 23, 25	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
27	20, 26	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)
28	27	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)
29	28	ex 115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) < 𝑛 → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
30	29	reximdva 2644	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴))
31	5, 30	mpd 13	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ¬ 𝑚 ∥ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  ℝcr 8122  0cc0 8123   < clt 8304   ≤ cle 8305  ℕcn 9233  ℤcz 9573  ℤ_≥cuz 9849  abscabs 11675   ∥ cdvds 12466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-dvds 12467

This theorem is referenced by:  gcdsupex  12646  gcdsupcl  12647