ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsbnd GIF version

Theorem dvdsbnd 11975
Description: There is an upper bound to the divisors of a nonzero integer. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsbnd ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑚,𝑛

Proof of Theorem dvdsbnd
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
21zcnd 9394 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
32abscld 11208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4 arch 9191 . . 3 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
53, 4syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛)
63ad3antrrr 492 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7 simpllr 534 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
87nnred 8950 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
9 eluzelz 9555 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ ℤ)
109adantl 277 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1110zred 9393 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ)
12 simplr 528 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑛)
13 eluzle 9558 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑚)
1413adantl 277 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛𝑚)
156, 8, 11, 12, 14ltletrd 8398 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) < 𝑚)
16 zabscl 11113 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
1716ad4antr 494 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
18 zltnle 9317 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
1917, 10, 18syl2anc 411 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘𝐴) < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
2015, 19mpbid 147 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴))
211ad3antrrr 492 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 simplr 528 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
2322ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐴 ≠ 0)
24 dvdsleabs 11869 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑚𝐴𝑚 ≤ (abs‘𝐴)))
2524con3d 632 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚𝐴))
2610, 21, 23, 25syl3anc 1249 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (¬ 𝑚 ≤ (abs‘𝐴) → ¬ 𝑚𝐴))
2720, 26mpd 13 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ¬ 𝑚𝐴)
2827ralrimiva 2563 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴)
2928ex 115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐴) < 𝑛 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴))
3029reximdva 2592 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (∃𝑛 ∈ ℕ (abs‘𝐴) < 𝑛 → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴))
315, 30mpd 13 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ¬ 𝑚𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980  wcel 2160  wne 2360  wral 2468  wrex 2469   class class class wbr 4018  cfv 5231  cr 7828  0cc0 7829   < clt 8010  cle 8011  cn 8937  cz 9271  cuz 9546  abscabs 11024  cdvds 11812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-dvds 11813
This theorem is referenced by:  gcdsupex  11976  gcdsupcl  11977
  Copyright terms: Public domain W3C validator