Theorem ioo2blex 14669

Description: An open interval of reals in terms of a ball. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
ioo2blex	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (ball‘𝐷))

Proof of Theorem ioo2blex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	ioo2bl 14668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)))
3		readdcl 7984	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	rehalfcld 9215	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
5		resubcl 8269	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
6	5	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	6	rehalfcld 9215	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
8	7	rexrd 8055	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ*)
9	1	rexmet 14666	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
10		blelrn 14545	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ran (ball‘𝐷))
11	9, 10	mp3an1 1335	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ran (ball‘𝐷))
12	4, 8, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2)(ball‘𝐷)((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ran (ball‘𝐷))
13	2, 12	eqeltrd 2266	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ran (ball‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   × cxp 4649  ran crn 4652   ↾ cres 4653   ∘ ccom 4655  ‘cfv 5242  (class class class)co 5906  ℝcr 7857   + caddc 7861  ℝ^*cxr 8039   − cmin 8176   / cdiv 8677  2c2 9019  (,)cioo 9940  abscabs 11115  ∞Metcxmet 13996  ballcbl 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-frec 6431  df-map 6691  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-rp 9706  df-xadd 9825  df-ioo 9944  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-psmet 14003  df-xmet 14004  df-met 14005  df-bl 14006

This theorem is referenced by:  tgioo  14671