Theorem climsub 11317

Description: Limit of the difference of two converging sequences. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168. (Contributed by NM, 4-Aug-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climadd.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climadd.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climadd.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
climadd.7	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
climadd.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
climadd.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
climsub.h	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climsub	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 − 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem climsub

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climadd.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climadd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
4		climcl 11271	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climadd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐵)
7		climcl 11271	. . 3 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐵 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		subcl 8143	. . 3 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℂ)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑣) ∈ ℂ)
11		climadd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑋)
12		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	5	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	8	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
15		subcn2 11300	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐴 − 𝐵))) < 𝑥))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1238	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐴)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐵)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐴 − 𝐵))) < 𝑥))
17		climadd.8	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18		climadd.9	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
19		climsub.h	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
20	1, 2, 5, 8, 10, 3, 6, 11, 16, 17, 18, 19	climcn2 11298	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   class class class wbr 4000  ‘cfv 5212  (class class class)co 5869  ℂcc 7797   < clt 7979   − cmin 8115  ℤcz 9239  ℤ_≥cuz 9514  ℝ⁺crp 9637  abscabs 10987   ⇝ cli 11267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-rp 9638  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-clim 11268

This theorem is referenced by:  climsubc1  11321  climsubc2  11322  climle  11323