Theorem climrecl 11335

Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climrecl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
2		climcl 11293	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		climrecl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climrel 11291	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
6	5	brrelex1i 4671	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		climrecl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		climrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 7989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rere 10877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
12	11	eqcomd 2183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
14	4, 1, 7, 8, 10, 13	climre 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (ℜ‘𝐴))
15		climuni 11304	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
16	1, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
17	16	eqcomd 2183	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
18	3, 17	rerebd 10957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  ℂcc 7812  ℝcr 7813  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  ℜcre 10852   ⇝ cli 11289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290

This theorem is referenced by:  climge0  11336  climle  11345  climsqz  11346  climsqz2  11347  isumrecl  11440