Theorem climrecl 10867

Description: The limit of a convergent real sequence is real. Corollary 12-2.5 of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 10-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrecl.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrecl.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
climrecl.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
climrecl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrecl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 𝐴)
2		climcl 10825	. . 3 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		climrecl.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climrel 10823	. . . . . . 7 ⊢ Rel ⇝
6	5	brrelex1i 4510	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⇝ 𝐴 → 𝐹 ∈ V)
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
8		climrecl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		climrecl.4	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
10	9	recnd 7613	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11		rere 10414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐹‘𝑘))
12	11	eqcomd 2100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
13	9, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
14	4, 1, 7, 8, 10, 13	climre 10865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (ℜ‘𝐴))
15		climuni 10836	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ⇝ 𝐴 ∧ 𝐹 ⇝ (ℜ‘𝐴)) → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
16	1, 14, 15	syl2anc 404	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℜ‘𝐴))
17	16	eqcomd 2100	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
18	3, 17	rerebd 10494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  ℂcc 7445  ℝcr 7446  ℤcz 8848  ℤ_≥cuz 9118  ℜcre 10389   ⇝ cli 10821

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-rp 9234  df-seqfrec 10001  df-exp 10070  df-cj 10391  df-re 10392  df-im 10393  df-rsqrt 10546  df-abs 10547  df-clim 10822

This theorem is referenced by:  climge0  10868  climle  10877  climsqz  10878  climsqz2  10879  isumrecl  10972