Theorem geoisum1c 11461

Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1c	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 987	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 988	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3		1cnd 7915	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℂ)
4	3, 2	subcld 8209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5		1red 7914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℝ)
6		simp3 989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
7	2, 5, 6	absltap 11450	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 # 1)
8		apsym 8504	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
10	7, 9	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 # 𝑅)
11	3, 2, 10	subap0d 8542	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) # 0)
12	1, 2, 4, 11	divassapd 8722	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
13		geoisum1 11460	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
14	13	3adant1 1005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
15	14	oveq2d 5858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
16		nnuz 9501	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		1zzd 9218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
18		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
19		simpl2 991	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
20	18	nnnn0d 9167	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	19, 20	expcld 10588	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
22		oveq2 5850	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅↑𝑛) = (𝑅↑𝑘))
23		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))
24	22, 23	fvmptg 5562	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
25	18, 21, 24	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
26		nnnn0 9121	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	adantl 275	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	19, 27	expcld 10588	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
29		seqex 10382	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V
30		1nn0 9130	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
32		elnnuz 9502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
33	32, 25	sylan2br 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
34	2, 6, 31, 33	geolim2 11453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
35		climcl 11223	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
36	34, 35	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
37		breldmg 4810	. . . 4 ⊢ ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V ∧ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅))) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
38	29, 36, 34, 37	mp3an2i 1332	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
39	16, 17, 25, 28, 38, 1	isummulc2 11367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)))
40	12, 15, 39	3eqtr2rd 2205	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  dom cdm 4604  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   − cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℕ₀cn0 9114  ℤ_≥cuz 9466  seqcseq 10380  ↑cexp 10454  abscabs 10939   ⇝ cli 11219  Σcsu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  0.999...  11462