ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1c GIF version

Theorem geoisum1c 11541
Description: The infinite sum of ๐ด ยท (๐‘…โ†‘1) + ๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)... is (๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1c ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = ((๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘…,๐‘˜

Proof of Theorem geoisum1c
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 998 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simp2 999 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3 1cnd 7986 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
43, 2subcld 8281 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
5 1red 7985 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6 simp3 1000 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ (absโ€˜๐‘…) < 1)
72, 5, 6absltap 11530 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ๐‘… # 1)
8 apsym 8576 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘… # 1 โ†” 1 # ๐‘…))
92, 3, 8syl2anc 411 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ (๐‘… # 1 โ†” 1 # ๐‘…))
107, 9mpbid 147 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ 1 # ๐‘…)
113, 2, 10subap0d 8614 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘…) # 0)
121, 2, 4, 11divassapd 8796 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…)) = (๐ด ยท (๐‘… / (1 โˆ’ ๐‘…))))
13 geoisum1 11540 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘…โ†‘๐‘˜) = (๐‘… / (1 โˆ’ ๐‘…)))
14133adant1 1016 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘…โ†‘๐‘˜) = (๐‘… / (1 โˆ’ ๐‘…)))
1514oveq2d 5904 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = (๐ด ยท (๐‘… / (1 โˆ’ ๐‘…))))
16 nnuz 9576 . . 3 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
17 1zzd 9293 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
18 simpr 110 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
19 simpl2 1002 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
2018nnnn0d 9242 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2119, 20expcld 10667 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
22 oveq2 5896 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘›) = (๐‘…โ†‘๐‘˜))
23 eqid 2187 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))
2422, 23fvmptg 5605 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘…โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐‘…โ†‘๐‘˜))
2518, 21, 24syl2anc 411 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐‘…โ†‘๐‘˜))
26 nnnn0 9196 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2726adantl 277 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2819, 27expcld 10667 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘…โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 seqex 10460 . . . 4 seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โˆˆ V
30 1nn0 9205 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„•0
3130a1i 9 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
32 elnnuz 9577 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
3332, 25sylan2br 288 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = (๐‘…โ†‘๐‘˜))
342, 6, 31, 33geolim2 11533 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โ‡ ((๐‘…โ†‘1) / (1 โˆ’ ๐‘…)))
35 climcl 11303 . . . . 5 (seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โ‡ ((๐‘…โ†‘1) / (1 โˆ’ ๐‘…)) โ†’ ((๐‘…โ†‘1) / (1 โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
3634, 35syl 14 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ((๐‘…โ†‘1) / (1 โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
37 breldmg 4845 . . . 4 ((seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โˆˆ V โˆง ((๐‘…โ†‘1) / (1 โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚ โˆง seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โ‡ ((๐‘…โ†‘1) / (1 โˆ’ ๐‘…))) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
3829, 36, 34, 37mp3an2i 1352 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘…โ†‘๐‘›))) โˆˆ dom โ‡ )
3916, 17, 25, 28, 38, 1isummulc2 11447 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ (๐ด ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)))
4012, 15, 393eqtr2rd 2227 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = ((๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  Vcvv 2749   class class class wbr 4015   โ†ฆ cmpt 4076  dom cdm 4638  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  1c1 7825   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005   โˆ’ cmin 8141   # cap 8551   / cdiv 8642  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คโ‰ฅcuz 9541  seqcseq 10458  โ†‘cexp 10532  abscabs 11019   โ‡ cli 11299  ฮฃcsu 11374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-ihash 10769  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375
This theorem is referenced by:  0.999...  11542
  Copyright terms: Public domain W3C validator