Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1c GIF version

Theorem geoisum1c 11282
 Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1c ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 982 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3 1cnd 7775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℂ)
43, 2subcld 8066 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5 1red 7774 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simp3 983 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
72, 5, 6absltap 11271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 # 1)
8 apsym 8361 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
92, 3, 8syl2anc 408 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
107, 9mpbid 146 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 # 𝑅)
113, 2, 10subap0d 8399 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) # 0)
121, 2, 4, 11divassapd 8579 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
13 geoisum1 11281 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
14133adant1 999 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
1514oveq2d 5783 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
16 nnuz 9354 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
17 1zzd 9074 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
18 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
19 simpl2 985 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
2018nnnn0d 9023 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2119, 20expcld 10417 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
22 oveq2 5775 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅𝑛) = (𝑅𝑘))
23 eqid 2137 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))
2422, 23fvmptg 5490 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
2518, 21, 24syl2anc 408 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
26 nnnn0 8977 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726adantl 275 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2819, 27expcld 10417 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
29 seqex 10213 . . . 4 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V
30 1nn0 8986 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3130a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
32 elnnuz 9355 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3332, 25sylan2br 286 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
342, 6, 31, 33geolim2 11274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
35 climcl 11044 . . . . 5 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
3634, 35syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
37 breldmg 4740 . . . 4 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V ∧ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅))) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3829, 36, 34, 37mp3an2i 1320 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3916, 17, 25, 28, 38, 1isummulc2 11188 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)))
4012, 15, 393eqtr2rd 2177 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  dom cdm 4534  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793   − cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425  ℕcn 8713  ℕ0cn0 8970  ℤ≥cuz 9319  seqcseq 10211  ↑cexp 10285  abscabs 10762   ⇝ cli 11040  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  0.999...  11283
 Copyright terms: Public domain W3C validator