ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1c GIF version

Theorem geoisum1c 11831
Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1c ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1000 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 1001 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3 1cnd 8088 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℂ)
43, 2subcld 8383 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5 1red 8087 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simp3 1002 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
72, 5, 6absltap 11820 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 # 1)
8 apsym 8679 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
92, 3, 8syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
107, 9mpbid 147 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 # 𝑅)
113, 2, 10subap0d 8717 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) # 0)
121, 2, 4, 11divassapd 8899 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
13 geoisum1 11830 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
14133adant1 1018 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
1514oveq2d 5960 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
16 nnuz 9684 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
17 1zzd 9399 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
18 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
19 simpl2 1004 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
2018nnnn0d 9348 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2119, 20expcld 10818 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
22 oveq2 5952 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅𝑛) = (𝑅𝑘))
23 eqid 2205 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))
2422, 23fvmptg 5655 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
2518, 21, 24syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
26 nnnn0 9302 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2819, 27expcld 10818 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
29 seqex 10594 . . . 4 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V
30 1nn0 9311 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3130a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
32 elnnuz 9685 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3332, 25sylan2br 288 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
342, 6, 31, 33geolim2 11823 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
35 climcl 11593 . . . . 5 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
3634, 35syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
37 breldmg 4884 . . . 4 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V ∧ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅))) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3829, 36, 34, 37mp3an2i 1355 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3916, 17, 25, 28, 38, 1isummulc2 11737 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)))
4012, 15, 393eqtr2rd 2245 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 981   = wceq 1373  wcel 2176  Vcvv 2772   class class class wbr 4044  cmpt 4105  dom cdm 4675  cfv 5271  (class class class)co 5944  cc 7923  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930   < clt 8107  cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745  cn 9036  0cn0 9295  cuz 9648  seqcseq 10592  cexp 10683  abscabs 11308  cli 11589  Σcsu 11664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665
This theorem is referenced by:  0.999...  11832
  Copyright terms: Public domain W3C validator