ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  geoisum1c GIF version

Theorem geoisum1c 11542
Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1c ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 998 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 999 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3 1cnd 7987 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℂ)
43, 2subcld 8282 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5 1red 7986 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℝ)
6 simp3 1000 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
72, 5, 6absltap 11531 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 # 1)
8 apsym 8577 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
92, 3, 8syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
107, 9mpbid 147 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 # 𝑅)
113, 2, 10subap0d 8615 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) # 0)
121, 2, 4, 11divassapd 8797 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
13 geoisum1 11541 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
14133adant1 1016 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
1514oveq2d 5904 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
16 nnuz 9577 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
17 1zzd 9294 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
18 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
19 simpl2 1002 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
2018nnnn0d 9243 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2119, 20expcld 10668 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
22 oveq2 5896 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅𝑛) = (𝑅𝑘))
23 eqid 2187 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))
2422, 23fvmptg 5605 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑅𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
2518, 21, 24syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
26 nnnn0 9197 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2726adantl 277 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2819, 27expcld 10668 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅𝑘) ∈ ℂ)
29 seqex 10461 . . . 4 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V
30 1nn0 9206 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3130a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
32 elnnuz 9578 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3332, 25sylan2br 288 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))‘𝑘) = (𝑅𝑘))
342, 6, 31, 33geolim2 11534 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
35 climcl 11304 . . . . 5 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
3634, 35syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
37 breldmg 4845 . . . 4 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ V ∧ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅))) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3829, 36, 34, 37mp3an2i 1352 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅𝑛))) ∈ dom ⇝ )
3916, 17, 25, 28, 38, 1isummulc2 11448 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)))
4012, 15, 393eqtr2rd 2227 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  Vcvv 2749   class class class wbr 4015  cmpt 4076  dom cdm 4638  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  cn 8933  0cn0 9190  cuz 9542  seqcseq 10459  cexp 10533  abscabs 11020  cli 11300  Σcsu 11375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376
This theorem is referenced by:  0.999...  11543
  Copyright terms: Public domain W3C validator