Theorem geoisum1c 12312

Description: The infinite sum of 𝐴 · (𝑅↑1) + 𝐴 · (𝑅↑2)... is (𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
geoisum1c	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑅,𝑘

Proof of Theorem geoisum1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 ∈ ℂ)
3		1cnd 8348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℂ)
4	3, 2	subcld 8644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) ∈ ℂ)
5		1red 8347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℝ)
6		simp3 1030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (abs‘𝑅) < 1)
7	2, 5, 6	absltap 12301	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 𝑅 # 1)
8		apsym 8942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
9	2, 3, 8	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝑅 # 1 ↔ 1 # 𝑅))
10	7, 9	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 # 𝑅)
11	3, 2, 10	subap0d 8980	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (1 − 𝑅) # 0)
12	1, 2, 4, 11	divassapd 9164	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
13		geoisum1 12311	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
14	13	3adant1 1046	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘) = (𝑅 / (1 − 𝑅)))
15	14	oveq2d 6104	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = (𝐴 · (𝑅 / (1 − 𝑅))))
16		nnuz 9974	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
17		1zzd 9682	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℤ)
18		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
19		simpl2 1032	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
20	18	nnnn0d 9631	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	19, 20	expcld 11132	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
22		oveq2 6096	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅↑𝑛) = (𝑅↑𝑘))
23		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))
24	22, 23	fvmptg 5784	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
25	18, 21, 24	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
26		nnnn0 9581	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	19, 27	expcld 11132	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅↑𝑘) ∈ ℂ)
29		seqex 10907	. . . 4 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V
30		1nn0 9590	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
31	30	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
32		elnnuz 9975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
33	32, 25	sylan2br 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))‘𝑘) = (𝑅↑𝑘))
34	2, 6, 31, 33	geolim2 12304	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)))
35		climcl 12073	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
36	34, 35	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ)
37		breldmg 4989	. . . 4 ⊢ ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ V ∧ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅)) ∈ ℂ ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ⇝ ((𝑅↑1) / (1 − 𝑅))) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
38	29, 36, 34, 37	mp3an2i 1383	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑅↑𝑛))) ∈ dom ⇝ )
39	16, 17, 25, 28, 38, 1	isummulc2 12218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → (𝐴 · Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑅↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)))
40	12, 15, 39	3eqtr2rd 2278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑅) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴 · (𝑅↑𝑘)) = ((𝐴 · 𝑅) / (1 − 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  dom cdm 4776  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   − cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010  ℕcn 9313  ℕ₀cn0 9574  ℤ_≥cuz 9937  seqcseq 10905  ↑cexp 10996  abscabs 11785   ⇝ cli 12069  Σcsu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  0.999...  12313