Theorem clim2divap 11901

Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2div.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2div.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2div.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2divap.5	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)

Assertion

Ref	Expression
clim2divap	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2divap

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2div.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		eluzelz 9670	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		clim2div.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleq2s 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 9511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8		clim2div.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9		eluzel2 9666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
10	9, 4	eleq2s 2301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
11	2, 10	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2div.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	4, 11, 12	prodf 11899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelcdmd 5726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		clim2divap.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
16	14, 15	recclapd 8867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17		seqex 10607	. . . 4 ⊢ seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
18	17	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
19	2, 4	eleqtrdi 2299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		peano2uz 9717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	21, 4	eleqtrrdi 2300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
23	4	uztrn2 9679	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
24	22, 23	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ 𝑍)
25	13	ffvelcdmda 5725	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
26	24, 25	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27		mulcl 8065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
28	27	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29		mulass 8069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
30	29	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
32	19	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
33	4	eleq2i 2273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34	33, 12	sylan2br 288	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
35	34	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
36	28, 30, 31, 32, 35	seq3split 10646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
37	36	eqcomd 2212	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
38	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
39	4	uztrn2 9679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
40	22, 39	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
41	40, 12	syldan 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
42	1, 7, 41	prodf 11899	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 5725	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
44	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
45	26, 38, 43, 44	divmulapd 8898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
46	37, 45	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
47	26, 38, 44	divrecap2d 8880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
48	46, 47	eqtr3d 2241	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
49	1, 7, 8, 16, 18, 26, 48	climmulc2 11692	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
50		climcl 11643	. . . 4 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
51	8, 50	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
52	51, 14, 15	divrecap2d 8880	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
53	49, 52	breqtrrd 4076	1 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   class class class wbr 4048  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943   # cap 8667   / cdiv 8758  ℤcz 9385  ℤ_≥cuz 9661  seqcseq 10605   ⇝ cli 11639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-rp 9789  df-fz 10144  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640

This theorem is referenced by: (None)