ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clim2divap GIF version

Theorem clim2divap 11566
Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2div.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
clim2div.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2div.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
clim2div.4 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2divap.5 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) # 0)
Assertion
Ref Expression
clim2divap (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   π‘˜,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘˜)

Proof of Theorem clim2divap
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2189 . . 3 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
2 clim2div.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
3 eluzelz 9555 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
4 clim2div.1 . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
53, 4eleq2s 2284 . . . . 5 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
62, 5syl 14 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
76peano2zd 9396 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
8 clim2div.4 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9 eluzel2 9551 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
109, 4eleq2s 2284 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
112, 10syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 clim2div.3 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
134, 11, 12prodf 11564 . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
1413, 2ffvelcdmd 5668 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
15 clim2divap.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) # 0)
1614, 15recclapd 8756 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) ∈ β„‚)
17 seqex 10465 . . . 4 seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ∈ V
1817a1i 9 . . 3 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ∈ V)
192, 4eleqtrdi 2282 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
20 peano2uz 9601 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2119, 20syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2221, 4eleqtrrdi 2283 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
234uztrn2 9563 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2422, 23sylan 283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
2513ffvelcdmda 5667 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2624, 25syldan 282 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
27 mulcl 7956 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
2827adantl 277 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ β„‚)
29 mulass 7960 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ Β· π‘₯) Β· 𝑦) = (π‘˜ Β· (π‘₯ Β· 𝑦)))
3029adantl 277 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ Β· π‘₯) Β· 𝑦) = (π‘˜ Β· (π‘₯ Β· 𝑦)))
31 simpr 110 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
3219adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
334eleq2i 2256 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ 𝑍 ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3433, 12sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3534adantlr 477 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3628, 30, 31, 32, 35seq3split 10497 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
3736eqcomd 2195 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
3814adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
394uztrn2 9563 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4022, 39sylan 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
4140, 12syldan 282 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
421, 7, 41prodf 11564 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 5667 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
4415adantr 276 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) # 0)
4526, 38, 43, 44divmulapd 8787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) ↔ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘) Β· (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)) = (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
4637, 45mpbird 167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—))
4726, 38, 44divrecap2d 8769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
4846, 47eqtr3d 2224 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹)β€˜π‘—) = ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘—)))
491, 7, 8, 16, 18, 26, 48climmulc2 11357 . 2 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· 𝐴))
50 climcl 11308 . . . 4 (seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
518, 50syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5251, 14, 15divrecap2d 8769 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) = ((1 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)) Β· 𝐴))
5349, 52breqtrrd 4046 1 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4018  β€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  β„‚cc 7827  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   Β· cmul 7834   # cap 8556   / cdiv 8647  β„€cz 9271  β„€β‰₯cuz 9546  seqcseq 10463   ⇝ cli 11304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-fz 10027  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator