ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clim2divap GIF version

Theorem clim2divap 11705
Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2div.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2div.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2div.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2divap.5 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
Assertion
Ref Expression
clim2divap (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2divap
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2196 . . 3 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2div.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 eluzelz 9610 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 clim2div.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleq2s 2291 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76peano2zd 9451 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 clim2div.4 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9 eluzel2 9606 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
109, 4eleq2s 2291 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
112, 10syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2div.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
134, 11, 12prodf 11703 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelcdmd 5698 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 clim2divap.5 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
1614, 15recclapd 8808 . . 3 (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17 seqex 10541 . . . 4 seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
1817a1i 9 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
192, 4eleqtrdi 2289 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 peano2uz 9657 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2221, 4eleqtrrdi 2290 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
234uztrn2 9619 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2422, 23sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2513ffvelcdmda 5697 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2624, 25syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27 mulcl 8006 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29 mulass 8010 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
3029adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3219adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
334eleq2i 2263 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 12sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3534adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3628, 30, 31, 32, 35seq3split 10580 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
3736eqcomd 2202 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
3814adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
394uztrn2 9619 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4022, 39sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4140, 12syldan 282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
421, 7, 41prodf 11703 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
4342ffvelcdmda 5697 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4415adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
4526, 38, 43, 44divmulapd 8839 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4637, 45mpbird 167 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
4726, 38, 44divrecap2d 8821 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4846, 47eqtr3d 2231 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
491, 7, 8, 16, 18, 26, 48climmulc2 11496 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
50 climcl 11447 . . . 4 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
518, 50syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5251, 14, 15divrecap2d 8821 . 2 (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
5349, 52breqtrrd 4061 1 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2167  Vcvv 2763   class class class wbr 4033  cfv 5258  (class class class)co 5922  cc 7877  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   # cap 8608   / cdiv 8699  cz 9326  cuz 9601  seqcseq 10539  cli 11443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator