ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clim2divap GIF version

Theorem clim2divap 11532
Description: The limit of an infinite product with an initial segment removed. (Contributed by Scott Fenton, 20-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2div.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2div.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2div.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2div.4 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
clim2divap.5 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
Assertion
Ref Expression
clim2divap (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑍
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem clim2divap
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2div.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 eluzelz 9526 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 clim2div.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleq2s 2272 . . . . 5 (𝑁𝑍𝑁 ∈ ℤ)
62, 5syl 14 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
76peano2zd 9367 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8 clim2div.4 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴)
9 eluzel2 9522 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
109, 4eleq2s 2272 . . . . . . 7 (𝑁𝑍𝑀 ∈ ℤ)
112, 10syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2div.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
134, 11, 12prodf 11530 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelcdmd 5648 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 clim2divap.5 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
1614, 15recclapd 8727 . . 3 (𝜑 → (1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) ∈ ℂ)
17 seqex 10433 . . . 4 seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V
1817a1i 9 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ∈ V)
192, 4eleqtrdi 2270 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 peano2uz 9572 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2119, 20syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2221, 4eleqtrrdi 2271 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
234uztrn2 9534 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2422, 23sylan 283 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗𝑍)
2513ffvelcdmda 5647 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2624, 25syldan 282 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
27 mulcl 7929 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
2827adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
29 mulass 7933 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
3029adantl 277 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 · 𝑥) · 𝑦) = (𝑘 · (𝑥 · 𝑦)))
31 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
3219adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
334eleq2i 2244 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3433, 12sylan2br 288 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3534adantlr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3628, 30, 31, 32, 35seq3split 10465 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)))
3736eqcomd 2183 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗))
3814adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
394uztrn2 9534 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4022, 39sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
4140, 12syldan 282 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
421, 7, 41prodf 11530 . . . . . . 7 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
4342ffvelcdmda 5647 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
4415adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) # 0)
4526, 38, 43, 44divmulapd 8758 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) ↔ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗)) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4637, 45mpbird 167 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗))
4726, 38, 44divrecap2d 8740 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗) / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
4846, 47eqtr3d 2212 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹)‘𝑗) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑗)))
491, 7, 8, 16, 18, 26, 48climmulc2 11323 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
50 climcl 11274 . . . 4 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
518, 50syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5251, 14, 15divrecap2d 8740 . 2 (𝜑 → (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) = ((1 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)) · 𝐴))
5349, 52breqtrrd 4028 1 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( · , 𝐹) ⇝ (𝐴 / (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4000  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   # cap 8528   / cdiv 8618  cz 9242  cuz 9517  seqcseq 10431  cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-fz 9996  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator