Theorem rexico 11365

Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
rexico	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		pnfxr 8072	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		icossre 10020	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 413	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5		ssrexv 3244	. . 3 ⊢ ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
6	4, 5	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
7		maxcl 11354	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8	7	adantll 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9		maxle1 11355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))
10	9	adantll 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))
11		elicopnf 10035	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))))
12	11	ad2antlr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))))
13	8, 10, 12	mpbir2and 946	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞))
14		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
16		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
17	16	sselda 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
18		maxleastb 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵 ≤ 𝑘 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
19	14, 15, 17, 18	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵 ≤ 𝑘 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘)))
20		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝑘 ∧ 𝑗 ≤ 𝑘) → 𝑗 ≤ 𝑘)
21	19, 20	biimtrdi 163	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝑗 ≤ 𝑘))
22	21	imim1d 75	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
23	22	ralimdva 2561	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
24		breq1 4032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → (𝑛 ≤ 𝑘 ↔ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
25	24	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → ((𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
26	25	ralbidv 2494	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)))
27	26	rspcev 2864	. . . . 5 ⊢ ((sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 → 𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑))
28	13, 23, 27	syl6an 1445	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
29	28	rexlimdva 2611	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
30		breq1 4032	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ≤ 𝑘 ↔ 𝑗 ≤ 𝑘))
31	30	imbi1d 231	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
32	31	ralbidv 2494	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
33	32	cbvrexv 2727	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑛 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑))
34	29, 33	imbitrdi 161	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))
35	6, 34	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153  {cpr 3619   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  supcsup 7041  ℝcr 7871  +∞cpnf 8051  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055  [,)cico 9956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-sup 7043  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-ico 9960  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by: (None)