ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexico GIF version

Theorem rexico 11229
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 pnfxr 8009 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 9953 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3sylancl 413 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5 ssrexv 3220 . . 3 ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
64, 5syl 14 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
7 maxcl 11218 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
87adantll 476 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9 maxle1 11219 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))
109adantll 476 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))
11 elicopnf 9968 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))))
1211ad2antlr 489 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ))))
138, 10, 12mpbir2and 944 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞))
14 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
16 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1716sselda 3155 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
18 maxleastb 11222 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
1914, 15, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
20 simpr 110 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘𝑗𝑘) → 𝑗𝑘)
2119, 20syl6bi 163 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘𝑗𝑘))
2221imim1d 75 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘𝜑) → (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘𝜑)))
2322ralimdva 2544 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘𝜑)))
24 breq1 4006 . . . . . . . 8 (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → (𝑛𝑘 ↔ sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘))
2524imbi1d 231 . . . . . . 7 (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘𝜑)))
2625ralbidv 2477 . . . . . 6 (𝑛 = sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘𝜑)))
2726rspcev 2841 . . . . 5 ((sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘𝐴 (sup({𝐵, 𝑗}, ℝ, < ) ≤ 𝑘𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑))
2813, 23, 27syl6an 1434 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
2928rexlimdva 2594 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
30 breq1 4006 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑘𝑗𝑘))
3130imbi1d 231 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (𝑗𝑘𝜑)))
3231ralbidv 2477 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
3332cbvrexv 2704 . . 3 (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
3429, 33imbitrdi 161 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
356, 34impbid 129 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  supcsup 6980  cr 7809  +∞cpnf 7988  *cxr 7990   < clt 7991  cle 7992  [,)cico 9889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-ico 9893  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator