Theorem evenennn 13013

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 9148	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4234	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
4	3	elrab 2962	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥))
5		nnehalf 12464	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
7		2nn 9304	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
9		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
10	8, 9	nnmulcld 9191	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
11		2z 9506	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		nnz 9497	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
13		dvdsmul1 12373	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑦))
15		breq2 4092	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
16	15	elrab 2962	. . 3 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
17	10, 14, 16	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
18		elrabi 2959	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
19	18	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
20	19	nncnd 9156	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
22	21	nncnd 9156	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		2cnd 9215	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9235	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 9004	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = (𝑦 · 2)))
27		eqcom 2233	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2))
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
29	22, 23	mulcomd 8200	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
30	29	eqeq2d 2243	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑦)))
31	26, 28, 30	3bitr3rd 219	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (2 · 𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6943	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   ≈ cen 6906  0cc0 8031   · cmul 8036   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℤcz 9478   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-en 6909  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  unennn  13017