Theorem evenennn 12550

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8988	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4173	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		breq2 4033	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
4	3	elrab 2916	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥))
5		nnehalf 12045	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
7		2nn 9143	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
9		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
10	8, 9	nnmulcld 9031	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
11		2z 9345	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		nnz 9336	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
13		dvdsmul1 11956	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑦))
15		breq2 4033	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
16	15	elrab 2916	. . 3 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
17	10, 14, 16	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
18		elrabi 2913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
19	18	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
20	19	nncnd 8996	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
22	21	nncnd 8996	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		2cnd 9055	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9075	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 8844	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = (𝑦 · 2)))
27		eqcom 2195	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2))
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
29	22, 23	mulcomd 8041	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
30	29	eqeq2d 2205	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑦)))
31	26, 28, 30	3bitr3rd 219	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (2 · 𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6825	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   ≈ cen 6792  0cc0 7872   · cmul 7877   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  ℤcz 9317   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  unennn  12554