Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn GIF version

Theorem evenennn 11940
 Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8749 . . 3 ℕ ∈ V
21rabex 4079 . 2 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3 breq2 3940 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
43elrab 2843 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥))
5 nnehalf 11635 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
64, 5sylbi 120 . 2 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
7 2nn 8904 . . . . 5 2 ∈ ℕ
87a1i 9 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
9 id 19 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
108, 9nnmulcld 8792 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
11 2z 9105 . . . 4 2 ∈ ℤ
12 nnz 9096 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
13 dvdsmul1 11549 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1411, 12, 13sylancr 411 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑦))
15 breq2 3940 . . . 4 (𝑧 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
1615elrab 2843 . . 3 ((2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
1710, 14, 16sylanbrc 414 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
18 elrabi 2840 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
1918adantr 274 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
2019nncnd 8757 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21 simpr 109 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2221nncnd 8757 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 2cnd 8816 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24 2ap0 8836 . . . . 5 2 # 0
2524a1i 9 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8608 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑥 = (𝑦 · 2)))
27 eqcom 2142 . . . 4 ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑦 = (𝑥 / 2))
2827a1i 9 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑦 = (𝑥 / 2)))
2922, 23mulcomd 7810 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
3029eqeq2d 2152 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑦)))
3126, 28, 303bitr3rd 218 . 2 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (2 · 𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
322, 1, 6, 17, 31en3i 6672 1 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {crab 2421   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   ≈ cen 6639  0cc0 7643   · cmul 7648   # cap 8366   / cdiv 8455  ℕcn 8743  2c2 8794  ℤcz 9077   ∥ cdvds 11527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-en 6642  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-dvds 11528 This theorem is referenced by:  unennn  11944
 Copyright terms: Public domain W3C validator