ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  evenennn GIF version

Theorem evenennn 12388
Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
evenennn {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem evenennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8923 . . 3 ℕ ∈ V
21rabex 4147 . 2 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3 breq2 4007 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
43elrab 2893 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥))
5 nnehalf 11903 . . 3 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
64, 5sylbi 121 . 2 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
7 2nn 9078 . . . . 5 2 ∈ ℕ
87a1i 9 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
9 id 19 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
108, 9nnmulcld 8966 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
11 2z 9279 . . . 4 2 ∈ ℤ
12 nnz 9270 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
13 dvdsmul1 11815 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
1411, 12, 13sylancr 414 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑦))
15 breq2 4007 . . . 4 (𝑧 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
1615elrab 2893 . . 3 ((2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
1710, 14, 16sylanbrc 417 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
18 elrabi 2890 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
1918adantr 276 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
2019nncnd 8931 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21 simpr 110 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
2221nncnd 8931 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23 2cnd 8990 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24 2ap0 9010 . . . . 5 2 # 0
2524a1i 9 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
2620, 22, 23, 25divmulap3d 8780 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑥 = (𝑦 · 2)))
27 eqcom 2179 . . . 4 ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑦 = (𝑥 / 2))
2827a1i 9 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦𝑦 = (𝑥 / 2)))
2922, 23mulcomd 7977 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
3029eqeq2d 2189 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑦)))
3126, 28, 303bitr3rd 219 . 2 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (2 · 𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
322, 1, 6, 17, 31en3i 6770 1 {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cen 6737  0cc0 7810   · cmul 7815   # cap 8536   / cdiv 8627  cn 8917  2c2 8968  cz 9251  cdvds 11789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-en 6740  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-dvds 11790
This theorem is referenced by:  unennn  12392
  Copyright terms: Public domain W3C validator