Theorem evenennn 12610

Description: There are as many even positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 12-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
evenennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem evenennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8996	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4177	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		breq2 4037	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
4	3	elrab 2920	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥))
5		nnehalf 12069	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑥) → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
6	4, 5	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 / 2) ∈ ℕ)
7		2nn 9152	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
8	7	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
9		id 19	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
10	8, 9	nnmulcld 9039	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
11		2z 9354	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		nnz 9345	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
13		dvdsmul1 11978	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑦))
14	11, 12, 13	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑦))
15		breq2 4037	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (2 · 𝑦) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
16	15	elrab 2920	. . 3 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ↔ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (2 · 𝑦)))
17	10, 14, 16	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧})
18		elrabi 2917	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
19	18	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
20	19	nncnd 9004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
21		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
22	21	nncnd 9004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
23		2cnd 9063	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
24		2ap0 9083	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
25	24	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
26	20, 22, 23, 25	divmulap3d 8852	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = (𝑦 · 2)))
27		eqcom 2198	. . . 4 ⊢ ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2))
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
29	22, 23	mulcomd 8048	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) = (2 · 𝑦))
30	29	eqeq2d 2208	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = (2 · 𝑦)))
31	26, 28, 30	3bitr3rd 219	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = (2 · 𝑦) ↔ 𝑦 = (𝑥 / 2)))
32	2, 1, 6, 17, 31	en3i 6830	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   ≈ cen 6797  0cc0 7879   · cmul 7884   # cap 8608   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326   ∥ cdvds 11952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-en 6800  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-dvds 11953

This theorem is referenced by:  unennn  12614