Theorem nnindnn 8250

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 9299 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8257). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1	⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnindnn.y	⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnindnn.y1	⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnindnn.a	⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnindnn.basis	⊢ 𝜓
nnindnn.step	⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	peano1nnnn 8209	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ 𝑁
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	elrab 2982	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁 ∧ 𝜓))
6	2, 3, 5	mpbir2an 955	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
7		elrabi 2979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → 𝑘 ∈ 𝑁)
8	1	peano2nnnn 8210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃)))
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒))
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 2982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃))
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}))
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
18	17	rgen 2603	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
19	1	peano5nnnn 8249	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
20	6, 18, 19	mp2an 430	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
21	20	sseli 3244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
22		nnindnn.a	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
23	22	elrab 2982	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
24	21, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
25	24	simprd 114	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ∩ cint 3965  (class class class)co 6075  1c1 8170   + caddc 8172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-0r 8088  df-1r 8089  df-c 8175  df-1 8177  df-r 8179  df-add 8180

This theorem is referenced by:  nntopi  8251