Theorem nnindnn 7953

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 8998 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7960). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1	⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnindnn.y	⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnindnn.y1	⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnindnn.a	⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnindnn.basis	⊢ 𝜓
nnindnn.step	⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	peano1nnnn 7912	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ 𝑁
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	elrab 2916	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁 ∧ 𝜓))
6	2, 3, 5	mpbir2an 944	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
7		elrabi 2913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → 𝑘 ∈ 𝑁)
8	1	peano2nnnn 7913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃)))
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒))
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 2916	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃))
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}))
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
18	17	rgen 2547	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
19	1	peano5nnnn 7952	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
20	6, 18, 19	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
21	20	sseli 3175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
22		nnindnn.a	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
23	22	elrab 2916	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
24	21, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
25	24	simprd 114	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {cab 2179  ∀wral 2472  {crab 2476   ⊆ wss 3153  ∩ cint 3870  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-enr 7786  df-nr 7787  df-plr 7788  df-0r 7791  df-1r 7792  df-c 7878  df-1 7880  df-r 7882  df-add 7883

This theorem is referenced by:  nntopi  7954