Theorem nnindnn 8266

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 9329 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 8273). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1	⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnindnn.y	⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnindnn.y1	⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnindnn.a	⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnindnn.basis	⊢ 𝜓
nnindnn.step	⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝜒(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝜃(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝜏(𝑥, 𝑦, 𝑘)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑘)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	peano1nnnn 8225	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ 𝑁
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	elrab 2982	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁 ∧ 𝜓))
6	2, 3, 5	mpbir2an 955	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
7		elrabi 2979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → 𝑘 ∈ 𝑁)
8	1	peano2nnnn 8226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃)))
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 2982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒))
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 2982	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃))
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}))
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
18	17	rgen 2603	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
19	1	peano5nnnn 8265	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
20	6, 18, 19	mp2an 430	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
21	20	sseli 3244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
22		nnindnn.a	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
23	22	elrab 2982	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
24	21, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
25	24	simprd 114	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ∩ cint 3970  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-enr 8099  df-nr 8100  df-plr 8101  df-0r 8104  df-1r 8105  df-c 8191  df-1 8193  df-r 8195  df-add 8196

This theorem is used by:  nntopi  8267