Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnindnn GIF version

Theorem nnindnn 7745
 Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 8780 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7752). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nntopi.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1 (𝑧 = 1 → (𝜑𝜓))
nnindnn.y (𝑧 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
nnindnn.y1 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
nnindnn.a (𝑧 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
nnindnn.basis 𝜓
nnindnn.step (𝑘𝑁 → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
nnindnn (𝐴𝑁𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn
StepHypRef Expression
1 nntopi.n . . . . . . 7 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21peano1nnnn 7704 . . . . . 6 1 ∈ 𝑁
3 nnindnn.basis . . . . . 6 𝜓
4 nnindnn.1 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝜑𝜓))
54elrab 2845 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁𝜓))
62, 3, 5mpbir2an 927 . . . . 5 1 ∈ {𝑧𝑁𝜑}
7 elrabi 2842 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → 𝑘𝑁)
81peano2nnnn 7705 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
98a1d 22 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10 nnindnn.step . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (𝜒𝜃))
119, 10anim12d 333 . . . . . . . 8 (𝑘𝑁 → ((𝑘𝑁𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁𝜃)))
12 nnindnn.y . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
1312elrab 2845 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (𝑘𝑁𝜒))
14 nnindnn.y1 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
1514elrab 2845 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁𝜃))
1611, 13, 153imtr4g 204 . . . . . . 7 (𝑘𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}))
177, 16mpcom 36 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑})
1817rgen 2489 . . . . 5 𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}
191peano5nnnn 7744 . . . . 5 ((1 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧𝑁𝜑})
206, 18, 19mp2an 423 . . . 4 𝑁 ⊆ {𝑧𝑁𝜑}
2120sseli 3099 . . 3 (𝐴𝑁𝐴 ∈ {𝑧𝑁𝜑})
22 nnindnn.a . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
2322elrab 2845 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (𝐴𝑁𝜏))
2421, 23sylib 121 . 2 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁𝜏))
2524simprd 113 1 (𝐴𝑁𝜏)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {cab 2126  ∀wral 2417  {crab 2421   ⊆ wss 3077  ∩ cint 3780  (class class class)co 5783  1c1 7665   + caddc 7667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-eprel 4220  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-irdg 6276  df-1o 6322  df-2o 6323  df-oadd 6326  df-omul 6327  df-er 6438  df-ec 6440  df-qs 6444  df-ni 7156  df-pli 7157  df-mi 7158  df-lti 7159  df-plpq 7196  df-mpq 7197  df-enq 7199  df-nqqs 7200  df-plqqs 7201  df-mqqs 7202  df-1nqqs 7203  df-rq 7204  df-ltnqqs 7205  df-enq0 7276  df-nq0 7277  df-0nq0 7278  df-plq0 7279  df-mq0 7280  df-inp 7318  df-i1p 7319  df-iplp 7320  df-enr 7578  df-nr 7579  df-plr 7580  df-0r 7583  df-1r 7584  df-c 7670  df-1 7672  df-r 7674  df-add 7675 This theorem is referenced by:  nntopi  7746
 Copyright terms: Public domain W3C validator