Theorem nnindnn 7960

Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 9006 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7967). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nntopi.n	⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1	⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
nnindnn.y	⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
nnindnn.y1	⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
nnindnn.a	⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
nnindnn.basis	⊢ 𝜓
nnindnn.step	⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
nnindnn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntopi.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ∩ {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
2	1	peano1nnnn 7919	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ 𝑁
3		nnindnn.basis	. . . . . 6 ⊢ 𝜓
4		nnindnn.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
5	4	elrab 2920	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁 ∧ 𝜓))
6	2, 3, 5	mpbir2an 944	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
7		elrabi 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → 𝑘 ∈ 𝑁)
8	1	peano2nnnn 7920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
9	8	a1d 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10		nnindnn.step	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝜒 → 𝜃))
11	9, 10	anim12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃)))
12		nnindnn.y	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜒))
13	12	elrab 2920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝜒))
14		nnindnn.y1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑 ↔ 𝜃))
15	14	elrab 2920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁 ∧ 𝜃))
16	11, 13, 15	3imtr4g 205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}))
17	7, 16	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
18	17	rgen 2550	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
19	1	peano5nnnn 7959	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
20	6, 18, 19	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 𝑁 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑}
21	20	sseli 3179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑})
22		nnindnn.a	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
23	22	elrab 2920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑧 ∈ 𝑁 ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
24	21, 23	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → (𝐴 ∈ 𝑁 ∧ 𝜏))
25	24	simprd 114	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑁 → 𝜏)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157  ∩ cint 3874  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-0r 7798  df-1r 7799  df-c 7885  df-1 7887  df-r 7889  df-add 7890

This theorem is referenced by:  nntopi  7961