ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnindnn GIF version

Theorem nnindnn 7870
Description: Principle of Mathematical Induction (inference schema). This is a counterpart to nnind 8911 designed for real number axioms which involve natural numbers (notably, axcaucvg 7877). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nntopi.n 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
nnindnn.1 (𝑧 = 1 → (𝜑𝜓))
nnindnn.y (𝑧 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
nnindnn.y1 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
nnindnn.a (𝑧 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
nnindnn.basis 𝜓
nnindnn.step (𝑘𝑁 → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
nnindnn (𝐴𝑁𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑧,𝑘   𝑧,𝐴   𝜓,𝑧   𝜒,𝑧   𝜃,𝑧   𝜏,𝑧   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑦,𝑧   𝑥,𝑁,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑘)   𝜏(𝑥,𝑦,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem nnindnn
StepHypRef Expression
1 nntopi.n . . . . . . 7 𝑁 = {𝑥 ∣ (1 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦 + 1) ∈ 𝑥)}
21peano1nnnn 7829 . . . . . 6 1 ∈ 𝑁
3 nnindnn.basis . . . . . 6 𝜓
4 nnindnn.1 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → (𝜑𝜓))
54elrab 2893 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (1 ∈ 𝑁𝜓))
62, 3, 5mpbir2an 942 . . . . 5 1 ∈ {𝑧𝑁𝜑}
7 elrabi 2890 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → 𝑘𝑁)
81peano2nnnn 7830 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁)
98a1d 22 . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑁))
10 nnindnn.step . . . . . . . . 9 (𝑘𝑁 → (𝜒𝜃))
119, 10anim12d 335 . . . . . . . 8 (𝑘𝑁 → ((𝑘𝑁𝜒) → ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁𝜃)))
12 nnindnn.y . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑘 → (𝜑𝜒))
1312elrab 2893 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (𝑘𝑁𝜒))
14 nnindnn.y1 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑘 + 1) → (𝜑𝜃))
1514elrab 2893 . . . . . . . 8 ((𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ ((𝑘 + 1) ∈ 𝑁𝜃))
1611, 13, 153imtr4g 205 . . . . . . 7 (𝑘𝑁 → (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}))
177, 16mpcom 36 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} → (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑})
1817rgen 2530 . . . . 5 𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}
191peano5nnnn 7869 . . . . 5 ((1 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧𝑁𝜑} (𝑘 + 1) ∈ {𝑧𝑁𝜑}) → 𝑁 ⊆ {𝑧𝑁𝜑})
206, 18, 19mp2an 426 . . . 4 𝑁 ⊆ {𝑧𝑁𝜑}
2120sseli 3151 . . 3 (𝐴𝑁𝐴 ∈ {𝑧𝑁𝜑})
22 nnindnn.a . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝜑𝜏))
2322elrab 2893 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑧𝑁𝜑} ↔ (𝐴𝑁𝜏))
2421, 23sylib 122 . 2 (𝐴𝑁 → (𝐴𝑁𝜏))
2524simprd 114 1 (𝐴𝑁𝜏)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {cab 2163  wral 2455  {crab 2459  wss 3129   cint 3842  (class class class)co 5868  1c1 7790   + caddc 7792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-1o 6410  df-2o 6411  df-oadd 6414  df-omul 6415  df-er 6528  df-ec 6530  df-qs 6534  df-ni 7281  df-pli 7282  df-mi 7283  df-lti 7284  df-plpq 7321  df-mpq 7322  df-enq 7324  df-nqqs 7325  df-plqqs 7326  df-mqqs 7327  df-1nqqs 7328  df-rq 7329  df-ltnqqs 7330  df-enq0 7401  df-nq0 7402  df-0nq0 7403  df-plq0 7404  df-mq0 7405  df-inp 7443  df-i1p 7444  df-iplp 7445  df-enr 7703  df-nr 7704  df-plr 7705  df-0r 7708  df-1r 7709  df-c 7795  df-1 7797  df-r 7799  df-add 7800
This theorem is referenced by:  nntopi  7871
  Copyright terms: Public domain W3C validator