Theorem umgredg 16591

Description: For each edge in a multigraph, there are two distinct vertices which are connected by this edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 25-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
upgredg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgredg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgredg	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem umgredg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		upgredg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐸 ↔ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺))
3		edgumgren 16588	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o))
4	2, 3	sylan2b 287	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o))
5		en2prde 7545	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
6	5	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))
7		eleq1 2301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺)))
8		zfpair2 4349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑎, 𝑏} ∈ V
9	8	elpw 3694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
10		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑎 ∈ V
11		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑏 ∈ V
12	10, 11	prss 3871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉)
13		upgredg.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14	13	sseq2i 3275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ⊆ 𝑉 ↔ {𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺))
15	12, 14	sylbbr 136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
16	9, 15	sylbi 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
17	7, 16	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → (𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
18	17	adantrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 = {𝑎, 𝑏} → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
19	18	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
20	19	imdistanri 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
21	20	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) → ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
22	21	2eximdv 1935	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) → (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))))
23	6, 22	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐶 ≈ 2o) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
24	4, 23	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
25		r2ex 2570	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}) ↔ ∃𝑎∃𝑏((𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏})))
26	24, 25	sylibr 134	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐶 ∈ 𝐸) → ∃𝑎 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝐶 = {𝑎, 𝑏}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  2_oc2o 6685   ≈ cen 7024  Vtxcvtx 16458  Edgcedg 16503  UMGraphcumgr 16538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-sub 8506  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-umgren 16540

This theorem is used by:  usgredg  16646