ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absval GIF version

Theorem absval 10565
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rsqrt 10562 . . . 4 √ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
2 reex 7573 . . . . 5 ℝ ∈ V
32mptex 5562 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦))) ∈ V
41, 3eqeltri 2167 . . 3 √ ∈ V
5 id 19 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6 cjcl 10413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mulcld 7605 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
8 fvexg 5359 . . 3 ((√ ∈ V ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
94, 7, 8sylancr 406 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
10 fveq2 5340 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
11 oveq12 5699 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
1210, 11mpdan 413 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
1312fveq2d 5344 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
14 df-abs 10563 . . 3 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
1513, 14fvmptg 5415 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
169, 15mpdan 413 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  Vcvv 2633   class class class wbr 3867  cmpt 3921  cfv 5049  crio 5645  (class class class)co 5690  cc 7445  cr 7446  0cc0 7447   · cmul 7452  cle 7620  2c2 8571  cexp 10085  ccj 10404  csqrt 10560  abscabs 10561
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-cj 10407  df-rsqrt 10562  df-abs 10563
This theorem is referenced by:  absneg  10614  abscl  10615  abscj  10616  absvalsq  10617  absval2  10621  abs0  10622  absi  10623  absge0  10624  absrpclap  10625  absmul  10633  absid  10635  absre  10641  absf  10674
  Copyright terms: Public domain W3C validator