ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absval GIF version

Theorem absval 11045
Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
absval (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rsqrt 11042 . . . 4 √ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
2 reex 7976 . . . . 5 ℝ ∈ V
32mptex 5763 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦))) ∈ V
41, 3eqeltri 2262 . . 3 √ ∈ V
5 id 19 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6 cjcl 10892 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
75, 6mulcld 8009 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
8 fvexg 5553 . . 3 ((√ ∈ V ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
94, 7, 8sylancr 414 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
10 fveq2 5534 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
11 oveq12 5906 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
1210, 11mpdan 421 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
1312fveq2d 5538 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
14 df-abs 11043 . . 3 abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
1513, 14fvmptg 5613 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
169, 15mpdan 421 1 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4018  cmpt 4079  cfv 5235  crio 5851  (class class class)co 5897  cc 7840  cr 7841  0cc0 7842   · cmul 7847  cle 8024  2c2 9001  cexp 10553  ccj 10883  csqrt 11040  abscabs 11041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-cj 10886  df-rsqrt 11042  df-abs 11043
This theorem is referenced by:  absneg  11094  abscl  11095  abscj  11096  absvalsq  11097  absval2  11101  abs0  11102  absi  11103  absge0  11104  absrpclap  11105  absmul  11113  absid  11115  absre  11121  absf  11154
  Copyright terms: Public domain W3C validator