Theorem absval 11686

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 11683	. . . 4 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
2		reex 8261	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	mptex 5912	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2305	. . 3 ⊢ √ ∈ V
5		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		cjcl 11533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 8294	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		fvexg 5689	. . 3 ⊢ ((√ ∈ V ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
10		fveq2 5670	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
11		oveq12 6059	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13	12	fveq2d 5674	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
14		df-abs 11684	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
15	13, 14	fvmptg 5753	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
16	9, 15	mpdan 421	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  ℩crio 6002  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   · cmul 8132   ≤ cle 8309  2c2 9288  ↑cexp 10900  ∗ccj 11524  √csqrt 11681  abscabs 11682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-cj 11527  df-rsqrt 11683  df-abs 11684

This theorem is referenced by:  absneg  11735  abscl  11736  abscj  11737  absvalsq  11738  absval2  11742  abs0  11743  absi  11744  absge0  11745  absrpclap  11746  absmul  11754  absid  11756  absre  11762  absf  11795