Theorem zred 9647

Description: An integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem zred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 9531	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
2		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3	1, 2	sselid 3226	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℝcr 8074  ℤcz 9524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-neg 8396  df-z 9525

This theorem is referenced by:  zcnd  9648  btwnapz  9655  eluzmn  9807  eluzelre  9811  eluzadd  9830  eluzsub  9831  uzm1  9832  z2ge  10106  zltaddlt1le  10287  fztri3or  10319  fznlem  10321  fzdisj  10332  fzpreddisj  10351  fznatpl1  10356  uzdisj  10373  fzm1  10380  fz0fzdiffz0  10410  elfzmlbm  10411  elfzmlbp  10412  difelfznle  10415  nn0disj  10418  elfzolt3  10438  fzonel  10441  fzouzdisj  10462  fzodisjsn  10464  fzonmapblen  10472  fzoaddel  10478  elincfzoext  10484  elfzonelfzo  10521  zsupcl  10537  zssinfcl  10538  infssuzex  10539  suprzubdc  10542  zsupssdc  10544  suprzcl2dc  10545  qtri3or  10546  exbtwnzlemstep  10553  exbtwnzlemex  10555  exbtwnz  10556  rebtwn2zlemstep  10558  rebtwn2z  10560  qbtwnrelemcalc  10561  qbtwnre  10562  apbtwnz  10580  qfraclt1  10586  qfracge0  10587  flqge  10588  flid  10590  flqltnz  10593  flqwordi  10594  flqaddz  10603  flqmulnn0  10605  btwnzge0  10606  2tnp1ge0ge0  10607  flhalf  10608  flltdivnn0lt  10610  fldiv4p1lem1div2  10611  fldiv4lem1div2uz2  10612  ceiqge  10617  ceiqm1l  10619  ceiqle  10621  flqleceil  10625  flqeqceilz  10626  intfracq  10628  modqval  10632  modqge0  10640  modqlt  10641  modqmulnn  10650  mulp1mod1  10673  modaddmodup  10695  modaddmodlo  10696  modsumfzodifsn  10704  addmodlteq  10706  frec2uzlt2d  10712  frec2uzf1od  10714  uzennn  10744  seq3split  10796  iseqf1olemkle  10805  iseqf1olemqcl  10807  iseqf1olemnab  10809  iseqf1olemab  10810  iseqf1olemqk  10815  seq3f1olemqsumkj  10819  seq3f1olemqsumk  10820  seq3f1olemqsum  10821  seqf1oglem1  10827  seqf1oglem2  10828  seqfeq4g  10839  exp3val  10849  expcanlem  11023  expcan  11024  facavg  11054  bcval4  11060  bcp1nk  11070  bcval5  11071  zfz1isolemiso  11149  seq3coll  11152  iswrdiz  11169  ccatrn  11235  ccatalpha  11239  seq3shft  11461  resqrexlemdecn  11635  fzomaxdiflem  11735  nn0maxcl  11848  fsum3cvg3  12020  fsumm1  12040  fsum1p  12042  fsum0diaglem  12064  isumshft  12114  isumsplit  12115  divcnv  12121  geolim2  12136  cvgratnnlemabsle  12151  cvgratnnlemsumlt  12152  cvgratnnlemrate  12154  cvgratz  12156  mertenslemi1  12159  fprodntrivap  12208  prodsnf  12216  fprod1p  12223  fprodeq0  12241  zdvdsdc  12436  dvdslelemd  12467  oexpneg  12501  ltoddhalfle  12517  divalglemnqt  12544  divalglemex  12546  divalglemeuneg  12547  flodddiv4t2lthalf  12563  bitsfzolem  12578  bitsfzo  12579  bitsmod  12580  bitscmp  12582  dvdsbnd  12590  dvdslegcd  12598  gcd0id  12613  gcdneg  12616  bezoutlemsup  12643  dfgcd2  12648  uzwodc  12671  nn0seqcvgd  12676  lcmgcdlem  12712  ncoprmgcdne1b  12724  nprm  12758  prmdc  12765  prmdvdsfz  12774  isprm5lem  12776  coprm  12779  prmexpb  12786  prmfac1  12787  znege1  12813  sqrt2irrap  12815  hashdvds  12856  eulerthlemrprm  12864  eulerthlema  12865  hashgcdlem  12873  pythagtriplem13  12912  pythagtriplem16  12915  pcxcl  12947  pcaddlem  12975  pcadd  12976  pcfac  12986  qexpz  12988  4sqlem7  13020  4sqlem10  13023  4sqexercise2  13035  4sqlemsdc  13036  4sqlem11  13037  4sqlem12  13038  4sqlem15  13041  4sqlem16  13042  4sqlem17  13043  oddennn  13076  ennnfoneleminc  13095  nninfdclemp1  13134  nninfdclemlt  13135  gsumfzval  13537  gsumfzz  13641  gsumfzcl  13645  mulgfng  13774  subgmulg  13838  gsumfzreidx  13987  gsumfzsubmcl  13988  gsumfzmptfidmadd  13989  gsumfzmhm  13993  gsumsplit0  13996  gsumfzfsumlemm  14666  gsumfzfsum  14667  ltexp2  15735  logblt  15756  mersenne  15794  lgsval2lem  15812  lgsvalmod  15821  lgsneg  15826  lgsdilem  15829  lgssq  15842  lgssq2  15843  gausslemma2dlem1a  15860  gausslemma2dlem3  15865  lgseisenlem2  15873  lgsquadlem1  15879  lgsquadlem2  15880  lgsquadlem3  15881  lgsquad3  15886  2lgslem1a2  15889  2sqlem3  15919  2sqlem8  15925  supfz  16787  inffz  16788  gsumgfsumlem  16795