Theorem fzdcel 10224

Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdcel	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzdcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fztri3or 10223	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2		zltnle 9480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
3	2	3adant3 1041	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5	4	con3i 635	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		elfz 10198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	6, 8	nsyld 651	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
10		olc 716	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
11		df-dc 840	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
13	9, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
14		orc 717	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
15	14, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
17		zltnle 9480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
18	17	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
19	18	3adant2 1040	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
21	20	con3i 635	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
22	19, 21	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
23	22, 8	nsyld 651	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
24	23, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25	13, 16, 24	3jaod 1338	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713  DECID wdc 839   ∨ w3o 1001   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   < clt 8169   ≤ cle 8170  ℤcz 9434  ...cfz 10192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-inn 9099  df-n0 9358  df-z 9435  df-fz 10193

This theorem is referenced by:  fzodcel  10337  iseqf1olemqcl  10708  iseqf1olemmo  10714  seqf1oglem1  10728  seqf1oglem2  10729  bcval  10958  bccmpl  10963  bcval5  10972  bcpasc  10975  bccl  10976  fisumss  11889  fsum3ser  11894  binomlem  11980  mertenslemi1  12032  fprodssdc  12087  fprodm1  12095  fprodeq0  12114  pcfac  12859  elply2  15394  elplyd  15400  ply1termlem  15401  plyaddlem1  15406  plymullem1  15407  plycoeid3  15416  dvply1  15424