Theorem fzdcel 10175

Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdcel	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzdcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fztri3or 10174	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2		zltnle 9431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
3	2	3adant3 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5	4	con3i 633	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		elfz 10149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	6, 8	nsyld 649	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
10		olc 713	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
11		df-dc 837	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
13	9, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
14		orc 714	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
15	14, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
17		zltnle 9431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
18	17	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
19	18	3adant2 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
21	20	con3i 633	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
22	19, 21	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
23	22, 8	nsyld 649	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
24	23, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25	13, 16, 24	3jaod 1317	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∨ w3o 980   ∧ w3a 981   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4048  (class class class)co 5954   < clt 8120   ≤ cle 8121  ℤcz 9385  ...cfz 10143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-addcom 8038  ax-addass 8040  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-ltadd 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-inn 9050  df-n0 9309  df-z 9386  df-fz 10144

This theorem is referenced by:  fzodcel  10288  iseqf1olemqcl  10657  iseqf1olemmo  10663  seqf1oglem1  10677  seqf1oglem2  10678  bcval  10907  bccmpl  10912  bcval5  10921  bcpasc  10924  bccl  10925  fisumss  11753  fsum3ser  11758  binomlem  11844  mertenslemi1  11896  fprodssdc  11951  fprodm1  11959  fprodeq0  11978  pcfac  12723  elply2  15257  elplyd  15263  ply1termlem  15264  plyaddlem1  15269  plymullem1  15270  plycoeid3  15279  dvply1  15287