Theorem fzdcel 10132

Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdcel	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzdcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fztri3or 10131	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2		zltnle 9389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
3	2	3adant3 1019	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5	4	con3i 633	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		elfz 10106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	6, 8	nsyld 649	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
10		olc 712	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
11		df-dc 836	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
13	9, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
14		orc 713	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
15	14, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
17		zltnle 9389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
18	17	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
19	18	3adant2 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
21	20	con3i 633	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
22	19, 21	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
23	22, 8	nsyld 649	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
24	23, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25	13, 16, 24	3jaod 1315	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℤcz 9343  ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-fz 10101

This theorem is referenced by:  fzodcel  10245  iseqf1olemqcl  10608  iseqf1olemmo  10614  seqf1oglem1  10628  seqf1oglem2  10629  bcval  10858  bccmpl  10863  bcval5  10872  bcpasc  10875  bccl  10876  fisumss  11574  fsum3ser  11579  binomlem  11665  mertenslemi1  11717  fprodssdc  11772  fprodm1  11780  fprodeq0  11799  pcfac  12544  elply2  15055  elplyd  15061  ply1termlem  15062  plyaddlem1  15067  plymullem1  15068  plycoeid3  15077  dvply1  15085