Theorem fzdcel 10373

Description: Decidability of membership in a finite interval of integers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzdcel	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzdcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fztri3or 10372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾))
2		zltnle 9622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
3	2	3adant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 ≤ 𝐾))
4		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐾)
5	4	con3i 637	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ≤ 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
6	3, 5	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
7		elfz 10347	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
8	7	biimpd 144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
9	6, 8	nsyld 653	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
10		olc 719	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
11		df-dc 843	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
13	9, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑀 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
14		orc 720	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
15	14, 11	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
16	15	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
17		zltnle 9622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
18	17	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
19	18	3adant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 ≤ 𝑁))
20		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
21	20	con3i 637	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐾 ≤ 𝑁 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁))
22	19, 21	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≤ 𝑁)))
23	22, 8	nsyld 653	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → ¬ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
24	23, 12	syl6 33	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
25	13, 16, 24	3jaod 1341	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ∨ 𝑁 < 𝐾) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁)))
26	1, 25	mpd 13	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049   < clt 8307   ≤ cle 8308  ℤcz 9576  ...cfz 10341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-fz 10342

This theorem is referenced by:  fzodcel  10486  iseqf1olemqcl  10860  iseqf1olemmo  10866  seqf1oglem1  10880  seqf1oglem2  10881  bcval  11110  bccmpl  11115  bcval5  11124  bcpasc  11127  bccl  11128  hashfibc  11203  fisumss  12074  fsum3ser  12079  binomlem  12165  mertenslemi1  12217  fprodssdc  12272  fprodm1  12280  fprodeq0  12299  pcfac  13044  elply2  15592  elplyd  15598  ply1termlem  15599  plyaddlem1  15604  plymullem1  15605  plycoeid3  15614  dvply1  15622