Theorem ismgmid2 13453

Description: Show that a given element is the identity element of a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismgmid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ismgmid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
ismgmid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ismgmid2.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
ismgmid2.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑥) = 𝑥)
ismgmid2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)

Assertion

Ref	Expression
ismgmid2	⊢ (𝜑 → 𝑈 = 0 )

Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥, 0   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ismgmid2

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismgmid2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
2		ismgmid2.l	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈 + 𝑥) = 𝑥)
3		ismgmid2.r	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)
4	2, 3	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥))
5	4	ralrimiva 2603	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥))
6		ismgmid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		ismgmid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		ismgmid.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9		oveq1 6020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → (𝑒 + 𝑥) = (𝑈 + 𝑥))
10	9	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑈 + 𝑥) = 𝑥))
11	10	ovanraleqv 6037	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)))
12	11	rspcev 2908	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
13	1, 5, 12	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑒 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑒) = 𝑥))
14	6, 7, 8, 13	ismgmid 13450	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑈 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 𝑈) = 𝑥)) ↔ 0 = 𝑈))
15	1, 5, 14	mpbi2and 949	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 = 𝑈)
16	15	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13072  +_gcplusg 13150  0_gc0g 13329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1re 8116  ax-addrcl 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-inn 9134  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-0g 13331

This theorem is referenced by:  lidrididd  13455  grpidd  13456  mhmid  13692  ringidss  14032