ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemlm GIF version

Theorem ivthinclemlm 12807
Description: Lemma for ivthinc 12816. The lower cut is bounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemlm (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑤,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑤,𝐹   𝐿,𝑞   𝑤,𝑈
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemlm
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 7834 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ivth.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 7834 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ivth.4 . . . 4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
61, 3, 5ltled 7900 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
7 lbicc2 9790 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82, 4, 6, 7syl3anc 1216 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9 ivth.9 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
109simpld 111 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) < 𝑈)
11 fveq2 5424 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
1211breq1d 3942 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) < 𝑈))
13 ivthinclem.l . . . 4 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
1412, 13elrab2 2843 . . 3 (𝐴𝐿 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈))
158, 10, 14sylanbrc 413 . 2 (𝜑𝐴𝐿)
16 eleq1 2202 . . 3 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
1716rspcev 2789 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴𝐿) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
188, 15, 17syl2anc 408 1 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wrex 2417  {crab 2420  wss 3071   class class class wbr 3932  cfv 5126  (class class class)co 5777  cc 7637  cr 7638  *cxr 7818   < clt 7819  cle 7820  [,]cicc 9697  cnccncf 12752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-lttrn 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-icc 9701
This theorem is referenced by:  ivthinclemex  12815
  Copyright terms: Public domain W3C validator