Theorem ivthinclemlm 14813

Description: Lemma for ivthinc 14822. The lower cut is bounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑤,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑤,𝐹   𝐿,𝑞   𝑤,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8071	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 8071	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 8140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 10053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
10	9	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
11		fveq2 5555	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
12	11	breq1d 4040	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) < 𝑈))
13		ivthinclem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
14	12, 13	elrab2 2920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈))
15	8, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐿)
16		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
17	16	rspcev 2865	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
18	8, 15, 17	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473  {crab 2476   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  ℝcr 7873  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056   ≤ cle 8057  [,]cicc 9960  –cn→ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-icc 9964

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14821