Theorem ivthinclemlm 15308

Description: Lemma for ivthinc 15317. The lower cut is bounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑤,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑤,𝐹   𝐿,𝑞   𝑤,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8196	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 8196	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 8265	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 10180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
10	9	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
11		fveq2 5627	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
12	11	breq1d 4093	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) < 𝑈))
13		ivthinclem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
14	12, 13	elrab2 2962	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈))
15	8, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐿)
16		eleq1 2292	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
17	16	rspcev 2907	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
18	8, 15, 17	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  {crab 2512   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℂcc 7997  ℝcr 7998  ℝ^*cxr 8180   < clt 8181   ≤ cle 8182  [,]cicc 10087  –cn→ccncf 15244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-icc 10091

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15316