Theorem ivthinclemlm 15357

Description: Lemma for ivthinc 15366. The lower cut is bounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemlm	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑤,𝐴   𝐵,𝑞   𝑤,𝐵   𝑤,𝐹   𝐿,𝑞   𝑤,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8228	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 8228	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 8297	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 10218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
10	9	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
11		fveq2 5639	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
12	11	breq1d 4098	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) < 𝑈))
13		ivthinclem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
14	12, 13	elrab2 2965	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐿 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) < 𝑈))
15	8, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐿)
16		eleq1 2294	. . 3 ⊢ (𝑞 = 𝐴 → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
17	16	rspcev 2910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝐿) → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
18	8, 15, 17	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213   ≤ cle 8214  [,]cicc 10125  –cn→ccncf 15293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-icc 10129

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15365