Theorem ivthinclemum 14116

Description: Lemma for ivthinc 14124. The upper cut is bounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemum	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝑤,𝐴   𝐵,𝑟   𝑤,𝐵   𝑤,𝐹   𝑅,𝑟   𝑤,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)

Proof of Theorem ivthinclemum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8007	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 8007	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 8076	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		ubicc2 9985	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
10	9	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐵))
11		fveq2 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐵))
12	11	breq2d 4016	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
13		ivthinclem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
14	12, 13	elrab2 2897	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑅 ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
15	8, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑅)
16		eleq1 2240	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑅))
17	16	rspcev 2842	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)
18	8, 15, 17	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  ℝ^*cxr 7991   < clt 7992   ≤ cle 7993  [,]cicc 9891  –cn→ccncf 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-icc 9895

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14123