Theorem ivthinclemum 15626

Description: Lemma for ivthinc 15634. The upper cut is bounded. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemum	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝑤,𝐴   𝐵,𝑟   𝑤,𝐵   𝑤,𝐹   𝑅,𝑟   𝑤,𝑈

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟)

Proof of Theorem ivthinclemum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 8339	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 8339	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 8408	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		ubicc2 10337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		ivth.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
10	9	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐵))
11		fveq2 5675	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐵))
12	11	breq2d 4126	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
13		ivthinclem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
14	12, 13	elrab2 2979	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑅 ↔ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
15	8, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑅)
16		eleq1 2297	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ 𝑅))
17	16	rspcev 2923	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)
18	8, 15, 17	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∃wrex 2523  {crab 2526   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325  [,]cicc 10243  –cn→ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-icc 10247

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  15633