Theorem lmodfopnelem1 13823

Description: Lemma 1 for lmodfopne 13825. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)

Proof of Theorem lmodfopnelem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . 4 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3	1, 2	plusffng 12951	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → + Fn (𝑉 × 𝑉))
4		lmodfopne.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
7	1, 4, 5, 6	scaffng 13808	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → · Fn (𝐾 × 𝑉))
8		fneq1 5343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + = · → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) ↔ · Fn (𝑉 × 𝑉)))
9		fndmu 5356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))
10	9	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)))
11	8, 10	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ( + = · → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))))
12	11	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( + = · → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))))
13	12	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → ( + = · → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)))
14		lmodgrp 13793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
15		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
16	1, 15	grpidcl 13104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
17		elex2 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉)
18	14, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉)
19		xp11m 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
20	18, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
21	20	simprbda 383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)) → 𝑉 = 𝐾)
22	21	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = 𝐾))
23	13, 22	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → ( + = · → (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = 𝐾)))
24	23	com23 78	. . . . 5 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾)))
25	24	ex 115	. . . 4 ⊢ ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))))
26	25	com3r 79	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))))
27	3, 7, 26	mp2d 47	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
28	27	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   × cxp 4658   Fn wfn 5250  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  Scalarcsca 12701  0_gc0g 12870  +_𝑓cplusf 12939  Grpcgrp 13075  LModclmod 13786   ·_sf cscaf 13787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-0g 12872  df-plusf 12941  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-lmod 13788  df-scaf 13789

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  13824