ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodfopnelem1 GIF version
Theorem lmodfopnelem1 13608
Description: Lemma 1 for lmodfopne 13610. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodfopne.t Β· = ( Β·sf β€˜π‘Š)
lmodfopne.a + = (+π‘“β€˜π‘Š)
lmodfopne.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodfopne.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodfopne.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lmodfopnelem1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ + = Β· ) β†’ 𝑉 = 𝐾)
Proof of Theorem lmodfopnelem1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodfopne.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lmodfopne.a . . . 4 + = (+π‘“β€˜π‘Š)
31, 2plusffng 12814 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ + Fn (𝑉 Γ— 𝑉))
4 lmodfopne.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmodfopne.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
6 lmodfopne.t . . . 4 Β· = ( Β·sf β€˜π‘Š)
71, 4, 5, 6scaffng 13593 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉))
8 fneq1 5320 . . . . . . . . . 10 ( + = Β· β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ↔ Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉)))
9 fndmu 5333 . . . . . . . . . . 11 (( Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))
109ex 115 . . . . . . . . . 10 ( Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)))
118, 10biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 ( + = Β· β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))))
1211com13 80 . . . . . . . 8 ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))))
1312impcom 125 . . . . . . 7 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ ( + = Β· β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)))
14 lmodgrp 13578 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
15 eqid 2189 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
161, 15grpidcl 12946 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
17 elex2 2768 . . . . . . . . . . 11 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉)
1814, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉)
19 xp11m 5082 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
2018, 18, 19syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
2120simprbda 383 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ 𝑉 = 𝐾)
2221expcom 116 . . . . . . 7 ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 = 𝐾))
2313, 22syl6 33 . . . . . 6 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ ( + = Β· β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 = 𝐾)))
2423com23 78 . . . . 5 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾)))
2524ex 115 . . . 4 ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))))
2625com3r 79 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))))
273, 7, 26mp2d 47 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))
2827imp 124 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ + = Β· ) β†’ 𝑉 = 𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  βˆƒwex 1503   ∈ wcel 2160   Γ— cxp 4639   Fn wfn 5227  β€˜cfv 5232  Basecbs 12487  Scalarcsca 12565  0gc0g 12734  +𝑓cplusf 12802  Grpcgrp 12918  LModclmod 13571   Β·sf cscaf 13572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1re 7925  ax-addrcl 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-ndx 12490  df-slot 12491  df-base 12493  df-plusg 12575  df-mulr 12576  df-sca 12578  df-vsca 12579  df-0g 12736  df-plusf 12804  df-mgm 12805  df-sgrp 12838  df-mnd 12851  df-grp 12921  df-lmod 13573  df-scaf 13574
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  13609
  Copyright terms: Public domain W3C validator