Theorem lmodfopnelem1 14171

Description: Lemma 1 for lmodfopne 14173. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)

Proof of Theorem lmodfopnelem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . 4 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3	1, 2	plusffng 13282	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → + Fn (𝑉 × 𝑉))
4		lmodfopne.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
7	1, 4, 5, 6	scaffng 14156	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → · Fn (𝐾 × 𝑉))
8		fneq1 5376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + = · → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) ↔ · Fn (𝑉 × 𝑉)))
9		fndmu 5391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))
10	9	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)))
11	8, 10	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ( + = · → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))))
12	11	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( + = · → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))))
13	12	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → ( + = · → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)))
14		lmodgrp 14141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
15		eqid 2206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
16	1, 15	grpidcl 13446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
17		elex2 2790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉)
18	14, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉)
19		xp11m 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
20	18, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
21	20	simprbda 383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)) → 𝑉 = 𝐾)
22	21	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = 𝐾))
23	13, 22	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → ( + = · → (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = 𝐾)))
24	23	com23 78	. . . . 5 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾)))
25	24	ex 115	. . . 4 ⊢ ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))))
26	25	com3r 79	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))))
27	3, 7, 26	mp2d 47	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
28	27	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   × cxp 4686   Fn wfn 5280  ‘cfv 5285  Basecbs 12917  Scalarcsca 12997  0_gc0g 13173  +_𝑓cplusf 13270  Grpcgrp 13417  LModclmod 14134   ·_sf cscaf 14135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-0g 13175  df-plusf 13272  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-lmod 14136  df-scaf 14137

This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  14172