Theorem lmodfopnelem1 14770

Description: Lemma 1 for lmodfopne 14772. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodfopne.t	⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
lmodfopne.a	⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
lmodfopne.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodfopne.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lmodfopne.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lmodfopnelem1	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)

Proof of Theorem lmodfopnelem1

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodfopne.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lmodfopne.a	. . . 4 ⊢ + = (+𝑓‘𝑊)
3	1, 2	plusffng 13744	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → + Fn (𝑉 × 𝑉))
4		lmodfopne.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
5		lmodfopne.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
6		lmodfopne.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·sf ‘𝑊)
7	1, 4, 5, 6	scaffng 14755	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → · Fn (𝐾 × 𝑉))
8		fneq1 5472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + = · → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) ↔ · Fn (𝑉 × 𝑉)))
9		fndmu 5487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( · Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))
10	9	ex 115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( · Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)))
11	8, 10	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ ( + = · → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))))
12	11	com13 80	. . . . . . . 8 ⊢ ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( + = · → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉))))
13	12	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → ( + = · → (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)))
14		lmodgrp 14739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
15		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
16	1, 15	grpidcl 13893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝑉)
17		elex2 2838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0g‘𝑊) ∈ 𝑉 → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉)
18	14, 16, 17	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉)
19		xp11m 5229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑉) → ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
20	18, 18, 19	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
21	20	simprbda 383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉)) → 𝑉 = 𝐾)
22	21	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 × 𝑉) = (𝐾 × 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = 𝐾))
23	13, 22	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → ( + = · → (𝑊 ∈ LMod → 𝑉 = 𝐾)))
24	23	com23 78	. . . . 5 ⊢ (( + Fn (𝑉 × 𝑉) ∧ · Fn (𝐾 × 𝑉)) → (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾)))
25	24	ex 115	. . . 4 ⊢ ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))))
26	25	com3r 79	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + Fn (𝑉 × 𝑉) → ( · Fn (𝐾 × 𝑉) → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))))
27	3, 7, 26	mp2d 47	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ( + = · → 𝑉 = 𝐾))
28	27	imp 124	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ + = · ) → 𝑉 = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209   × cxp 4774   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  Basecbs 13410  Scalarcsca 13493  0_gc0g 13669  +_𝑓cplusf 13732  Grpcgrp 13864  LModclmod 14732   ·_sf cscaf 14733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-plusf 13734  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-lmod 14734  df-scaf 14735

This theorem is used by:  lmodfopnelem2  14771