ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmodfopnelem1 GIF version
Theorem lmodfopnelem1 13508
Description: Lemma 1 for lmodfopne 13510. (Contributed by AV, 2-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodfopne.t Β· = ( Β·sf β€˜π‘Š)
lmodfopne.a + = (+π‘“β€˜π‘Š)
lmodfopne.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lmodfopne.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lmodfopne.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
lmodfopnelem1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ + = Β· ) β†’ 𝑉 = 𝐾)
Proof of Theorem lmodfopnelem1
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodfopne.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lmodfopne.a . . . 4 + = (+π‘“β€˜π‘Š)
31, 2plusffng 12802 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ + Fn (𝑉 Γ— 𝑉))
4 lmodfopne.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 lmodfopne.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
6 lmodfopne.t . . . 4 Β· = ( Β·sf β€˜π‘Š)
71, 4, 5, 6scaffng 13493 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉))
8 fneq1 5316 . . . . . . . . . 10 ( + = Β· β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ↔ Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉)))
9 fndmu 5329 . . . . . . . . . . 11 (( Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))
109ex 115 . . . . . . . . . 10 ( Β· Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)))
118, 10biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 ( + = Β· β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))))
1211com13 80 . . . . . . . 8 ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉))))
1312impcom 125 . . . . . . 7 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ ( + = Β· β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)))
14 lmodgrp 13478 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
15 eqid 2187 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
161, 15grpidcl 12925 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉)
17 elex2 2765 . . . . . . . . . . 11 ((0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉)
1814, 16, 173syl 17 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉)
19 xp11m 5079 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
2018, 18, 19syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) ↔ (𝑉 = 𝐾 ∧ 𝑉 = 𝑉)))
2120simprbda 383 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ 𝑉 = 𝐾)
2221expcom 116 . . . . . . 7 ((𝑉 Γ— 𝑉) = (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 = 𝐾))
2313, 22syl6 33 . . . . . 6 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ ( + = Β· β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑉 = 𝐾)))
2423com23 78 . . . . 5 (( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) ∧ Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉)) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾)))
2524ex 115 . . . 4 ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))))
2625com3r 79 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + Fn (𝑉 Γ— 𝑉) β†’ ( Β· Fn (𝐾 Γ— 𝑉) β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))))
273, 7, 26mp2d 47 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ( + = Β· β†’ 𝑉 = 𝐾))
2827imp 124 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ + = Β· ) β†’ 𝑉 = 𝐾)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363  βˆƒwex 1502   ∈ wcel 2158   Γ— cxp 4636   Fn wfn 5223  β€˜cfv 5228  Basecbs 12475  Scalarcsca 12553  0gc0g 12722  +𝑓cplusf 12790  Grpcgrp 12898  LModclmod 13471   Β·sf cscaf 13472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-plusf 12792  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-grp 12901  df-lmod 13473  df-scaf 13474
This theorem is referenced by:  lmodfopnelem2  13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator