Theorem maxabslemlub 11790

Description: Lemma for maxabs 11792. A least upper bound for {𝐴, 𝐵}. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemlub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemlub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemlub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
maxabslemlub.clt	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Assertion

Ref	Expression
maxabslemlub	⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))

Proof of Theorem maxabslemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemlub.clt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
2		maxabslemlub.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		maxabslemlub.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		maxabslemlub.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 8214	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6	3	recnd 8213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	4	recnd 8213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	subcld 8495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9	8	abscld 11764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10	5, 9	readdcld 8214	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
11	10	rehalfcld 9396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
12		axltwlin 8252	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))))
13	2, 11, 3, 12	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))))
14	1, 13	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
15	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
16	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 8565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19		2re 9218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ)
21	20, 16	remulcld 8215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	recnd 8213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	subsub4d 8526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)))
26		2cnd 9221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 23	mulsubfacd 8603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((2 − 1) · 𝐴))
28		2m1e1 9266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
29	28	oveq1i 6033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
30	27, 29	eqtrdi 2279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = (1 · 𝐴))
31	23	mulid2d 8203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
32	30, 31	eqtrd 2263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
33	32	oveq1d 6038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
34	25, 33	eqtr3d 2265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
35		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
36	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
37		2rp 9898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ+)
39	16, 36, 38	ltmuldiv2d 9985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ↔ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
40	35, 39	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
41	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
42	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
43	21, 41, 42	ltsubadd2d 8728	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
44	40, 43	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
45	34, 44	eqbrtrrd 4113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 − 𝐵) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
46		ltabs 11670	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
47	18, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
48	16, 17	sublt0d 8755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
49	47, 48	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 < 𝐵)
50	16, 17, 49	maxabslemab 11789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)
51	15, 50	breqtrd 4115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐶 < 𝐵)
52	51	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → 𝐶 < 𝐵))
53	52	orim2d 795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
54	14, 53	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  ℝcr 8036  0cc0 8037  1c1 8038   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219   − cmin 8355   / cdiv 8857  2c2 9199  ℝ⁺crp 9893  abscabs 11580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-rp 9894  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582

This theorem is referenced by:  maxabslemval  11791  maxleastlt  11798