Theorem maxabslemlub 11218

Description: Lemma for maxabs 11220. A least upper bound for {𝐴, 𝐵}. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
maxabslemlub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemlub.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemlub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
maxabslemlub.clt	⊢ (𝜑 → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Assertion

Ref	Expression
maxabslemlub	⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))

Proof of Theorem maxabslemlub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		maxabslemlub.clt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
2		maxabslemlub.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		maxabslemlub.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		maxabslemlub.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	readdcld 7989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6	3	recnd 7988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	4	recnd 7988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	6, 7	subcld 8270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
9	8	abscld 11192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10	5, 9	readdcld 7989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
11	10	rehalfcld 9167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
12		axltwlin 8027	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))))
13	2, 11, 3, 12	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))))
14	1, 13	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
15	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
16	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	resubcld 8340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ)
19		2re 8991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ)
21	20, 16	remulcld 7990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
22	21	recnd 7988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
23	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
24	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	22, 23, 24	subsub4d 8301	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)))
26		2cnd 8994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℂ)
27	26, 23	mulsubfacd 8377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((2 − 1) · 𝐴))
28		2m1e1 9039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
29	28	oveq1i 5887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 − 1) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
30	27, 29	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = (1 · 𝐴))
31	23	mulid2d 7978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
32	30, 31	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
33	32	oveq1d 5892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
34	25, 33	eqtr3d 2212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
35		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
36	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
37		2rp 9660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ+
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ+)
39	16, 36, 38	ltmuldiv2d 9747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ↔ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)))
40	35, 39	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
41	5	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
42	9	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
43	21, 41, 42	ltsubadd2d 8502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
44	40, 43	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
45	34, 44	eqbrtrrd 4029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 − 𝐵) < (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
46		ltabs 11098	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 − 𝐵) < (abs‘(𝐴 − 𝐵))) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
47	18, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐴 − 𝐵) < 0)
48	16, 17	sublt0d 8529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → ((𝐴 − 𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
49	47, 48	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐴 < 𝐵)
50	16, 17, 49	maxabslemab 11217	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) = 𝐵)
51	15, 50	breqtrd 4031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → 𝐶 < 𝐵)
52	51	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2) → 𝐶 < 𝐵))
53	52	orim2d 788	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2)) → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
54	14, 53	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   < clt 7994   − cmin 8130   / cdiv 8631  2c2 8972  ℝ⁺crp 9655  abscabs 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010

This theorem is referenced by:  maxabslemval  11219  maxleastlt  11226