ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  maxabslemlub GIF version

Theorem maxabslemlub 11010
Description: Lemma for maxabs 11012. A least upper bound for {𝐴, 𝐵}. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
maxabslemlub.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
maxabslemlub.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
maxabslemlub.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
maxabslemlub.clt (𝜑𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
Assertion
Ref Expression
maxabslemlub (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵))

Proof of Theorem maxabslemlub
StepHypRef Expression
1 maxabslemlub.clt . . 3 (𝜑𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
2 maxabslemlub.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 maxabslemlub.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 maxabslemlub.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
53, 4readdcld 7818 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
63recnd 7817 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
74recnd 7817 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
86, 7subcld 8096 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
98abscld 10984 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
105, 9readdcld 7818 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
1110rehalfcld 8989 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ)
12 axltwlin 7855 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))))
132, 11, 3, 12syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → (𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))))
141, 13mpd 13 . 2 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)))
151adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐶 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
163adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
174adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 8166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
19 2re 8813 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2019a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ)
2120, 16remulcld 7819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2221recnd 7817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
236adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
247adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
2522, 23, 24subsub4d 8127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)))
26 2cnd 8816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℂ)
2726, 23mulsubfacd 8203 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = ((2 − 1) · 𝐴))
28 2m1e1 8861 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
2928oveq1i 5791 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 − 1) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
3027, 29eqtrdi 2189 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = (1 · 𝐴))
3123mulid2d 7807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3230, 31eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − 𝐴) = 𝐴)
3332oveq1d 5796 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − 𝐴) − 𝐵) = (𝐴𝐵))
3425, 33eqtr3d 2175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) = (𝐴𝐵))
35 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2))
3610adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
37 2rp 9474 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
3837a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 2 ∈ ℝ+)
3916, 36, 38ltmuldiv2d 9561 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) ↔ 𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)))
4035, 39mpbird 166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))))
415adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
429adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
4321, 41, 42ltsubadd2d 8328 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵)))))
4440, 43mpbird 166 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((2 · 𝐴) − (𝐴 + 𝐵)) < (abs‘(𝐴𝐵)))
4534, 44eqbrtrrd 3959 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴𝐵) < (abs‘(𝐴𝐵)))
46 ltabs 10890 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐵) < (abs‘(𝐴𝐵))) → (𝐴𝐵) < 0)
4718, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐴𝐵) < 0)
4816, 17sublt0d 8355 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → ((𝐴𝐵) < 0 ↔ 𝐴 < 𝐵))
4947, 48mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐴 < 𝐵)
5016, 17, 49maxabslemab 11009 . . . . 5 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) = 𝐵)
5115, 50breqtrd 3961 . . . 4 ((𝜑𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → 𝐶 < 𝐵)
5251ex 114 . . 3 (𝜑 → (𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2) → 𝐶 < 𝐵))
5352orim2d 778 . 2 (𝜑 → ((𝐶 < 𝐴𝐴 < (((𝐴 + 𝐵) + (abs‘(𝐴𝐵))) / 2)) → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
5414, 53mpd 13 1 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698  wcel 1481   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cc 7641  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   + caddc 7646   · cmul 7648   < clt 7823  cmin 7956   / cdiv 8455  2c2 8794  +crp 9469  abscabs 10800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802
This theorem is referenced by:  maxabslemval  11011  maxleastlt  11018
  Copyright terms: Public domain W3C validator