Theorem ivthdec 13416

Description: The intermediate value theorem, decreasing case, for a strictly monotonic function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthdec.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
ivthdec.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
ivthdec	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝑦,𝐷   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem ivthdec

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8299	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2170	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))
9	8	negfcncf 13383	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11		fveq2 5496	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
12	11	negeqd 8114	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑥))
13	6	sselda 3147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
14		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	renegcld 8299	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16	8, 12, 13, 15	fvmptd3 5589	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17	16, 15	eqeltrd 2247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) ∈ ℝ)
18		fveq2 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
19	18	negeqd 8114	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝐴))
20	1	rexrd 7969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 7969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 8038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 9941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
27	26	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
28	14	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
29	27, 28, 24	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 8299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
31	8, 19, 25, 30	fvmptd3 5589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
32		ivthdec.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
33	32	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
34	3, 29	ltnegd 8442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
35	33, 34	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
36	31, 35	eqbrtrd 4011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) < -𝑈)
37	32	simpld 111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
38		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
39	38	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
40		ubicc2 9942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	20, 21, 22, 40	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42	39, 28, 41	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
43	42, 3	ltnegd 8442	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
44	37, 43	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
45		fveq2 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐵))
46	45	negeqd 8114	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝐵))
47	6, 41	sseldd 3148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48	42	renegcld 8299	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
49	8, 46, 47, 48	fvmptd3 5589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
50	44, 49	breqtrrd 4017	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵))
51	36, 50	jca 304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵)))
52		ivthdec.i	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥))
53		fveq2 5496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
54	53	eleq1d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ))
55		simpll 524	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝜑)
56	55, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57		simprl 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	54, 56, 57	rspcdva 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
59	14	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
60	58, 59	ltnegd 8442	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑥) < -(𝐹‘𝑦)))
61	52, 60	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑥) < -(𝐹‘𝑦))
62	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
63	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
64	8, 12, 62, 63	fvmptd3 5589	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
65		fveq2 5496	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑦))
66	65	negeqd 8114	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑦))
67	6	sseld 3146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐷))
68	55, 57, 67	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
69	58	renegcld 8299	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
70	8, 66, 68, 69	fvmptd3 5589	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
71	61, 64, 70	3brtr4d 4021	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑦))
72	1, 2, 4, 5, 6, 10, 17, 51, 71	ivthinc 13415	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈)
73		fveq2 5496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑐))
74	73	negeqd 8114	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑐))
75		ioossicc 9916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
76	75, 6	sstrid 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
77	76	sselda 3147	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
78		fveq2 5496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
79	78	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ))
80	28	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
81	75	sseli 3143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82	81	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83	79, 80, 82	rspcdva 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
84	83	renegcld 8299	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
85	8, 74, 77, 84	fvmptd3 5589	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
86	85	eqeq1d 2179	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
87		cncff 13358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
88	7, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
89	88	ffvelrnda 5631	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
90	77, 89	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
91	3	recnd 7948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
92	91	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
93	90, 92	neg11ad 8226	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
94	86, 93	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
95	94	rexbidva 2467	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
96	72, 95	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989   ↦ cmpt 4050  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  ℝcr 7773  ℝ^*cxr 7953   < clt 7954   ≤ cle 7955  -cneg 8091  (,)cioo 9845  [,]cicc 9848  –cn→ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-ioo 9849  df-icc 9852  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352

This theorem is referenced by:  cosz12  13495  ioocosf1o  13569