Theorem ivthdec 15728

Description: The intermediate value theorem, decreasing case, for a strictly monotonic function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthdec.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
ivthdec.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
ivthdec	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝑦,𝐷   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem ivthdec

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8701	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))
9	8	negfcncf 15690	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11		fveq2 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
12	11	negeqd 8515	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑥))
13	6	sselda 3248	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
14		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	renegcld 8701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16	8, 12, 13, 15	fvmptd3 5796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17	16, 15	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) ∈ ℝ)
18		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
19	18	negeqd 8515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝐴))
20	1	rexrd 8369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 8369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 8439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 10369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
27	26	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
28	14	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
29	27, 28, 24	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 8701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
31	8, 19, 25, 30	fvmptd3 5796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
32		ivthdec.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
33	32	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
34	3, 29	ltnegd 8845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
35	33, 34	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
36	31, 35	eqbrtrd 4150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) < -𝑈)
37	32	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
38		fveq2 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
39	38	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
40		ubicc2 10370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	20, 21, 22, 40	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42	39, 28, 41	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
43	42, 3	ltnegd 8845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
44	37, 43	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
45		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐵))
46	45	negeqd 8515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝐵))
47	6, 41	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48	42	renegcld 8701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
49	8, 46, 47, 48	fvmptd3 5796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
50	44, 49	breqtrrd 4156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵))
51	36, 50	jca 306	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵)))
52		ivthdec.i	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥))
53		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
54	53	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ))
55		simpll 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝜑)
56	55, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	54, 56, 57	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
59	14	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
60	58, 59	ltnegd 8845	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑥) < -(𝐹‘𝑦)))
61	52, 60	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑥) < -(𝐹‘𝑦))
62	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
63	15	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
64	8, 12, 62, 63	fvmptd3 5796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
65		fveq2 5693	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑦))
66	65	negeqd 8515	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑦))
67	6	sseld 3247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐷))
68	55, 57, 67	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
69	58	renegcld 8701	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
70	8, 66, 68, 69	fvmptd3 5796	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
71	61, 64, 70	3brtr4d 4160	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑦))
72	1, 2, 4, 5, 6, 10, 17, 51, 71	ivthinc 15727	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈)
73		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑐))
74	73	negeqd 8515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑐))
75		ioossicc 10344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
76	75, 6	sstrid 3259	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
77	76	sselda 3248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
78		fveq2 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
79	78	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ))
80	28	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
81	75	sseli 3244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82	81	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83	79, 80, 82	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
84	83	renegcld 8701	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
85	8, 74, 77, 84	fvmptd3 5796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
86	85	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
87		cncff 15661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
88	7, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
89	88	ffvelcdmda 5837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
90	77, 89	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
91	3	recnd 8348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
92	91	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
93	90, 92	neg11ad 8627	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
94	86, 93	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
95	94	rexbidva 2547	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
96	72, 95	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  ℝcr 8172  ℝ^*cxr 8353   < clt 8354   ≤ cle 8355  -cneg 8492  (,)cioo 10273  [,]cicc 10276  –cn→ccncf 15654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-pre-suploc 8294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-map 6918  df-sup 7318  df-inf 7319  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-rp 10038  df-ioo 10277  df-icc 10280  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-cncf 15655

This theorem is referenced by:  cosz12  15864  ioocosf1o  15938