ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthdec GIF version

Theorem ivthdec 13789
Description: The intermediate value theorem, decreasing case, for a strictly monotonic function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthdec.9 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
ivthdec.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑦) < (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
ivthdec (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝑦,𝐷   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem ivthdec
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
43renegcld 8327 . . 3 (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
6 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
8 eqid 2177 . . . . 5 (𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤)) = (𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))
98negfcncf 13756 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → (𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
107, 9syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤)) ∈ (𝐷cn→ℂ))
11 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
1211negeqd 8142 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → -(𝐹𝑤) = -(𝐹𝑥))
136sselda 3155 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐷)
14 ivth.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514renegcld 8327 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
168, 12, 13, 15fvmptd3 5605 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
1716, 15eqeltrd 2254 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑥) ∈ ℝ)
18 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
1918negeqd 8142 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → -(𝐹𝑤) = -(𝐹𝐴))
201rexrd 7997 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 7997 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 8066 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
23 lbicc2 9971 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
256, 24sseldd 3156 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐷)
26 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
2726eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
2814ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
2927, 28, 24rspcdva 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
3029renegcld 8327 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝐹𝐴) ∈ ℝ)
318, 19, 25, 30fvmptd3 5605 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝐴) = -(𝐹𝐴))
32 ivthdec.9 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐴)))
3332simprd 114 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐴))
343, 29ltnegd 8470 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐴) ↔ -(𝐹𝐴) < -𝑈))
3533, 34mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → -(𝐹𝐴) < -𝑈)
3631, 35eqbrtrd 4022 . . . 4 (𝜑 → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝐴) < -𝑈)
3732simpld 112 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) < 𝑈)
38 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
3938eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
40 ubicc2 9972 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4120, 21, 22, 40syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4239, 28, 41rspcdva 2846 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
4342, 3ltnegd 8470 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹𝐵)))
4437, 43mpbid 147 . . . . 5 (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹𝐵))
45 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐵))
4645negeqd 8142 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → -(𝐹𝑤) = -(𝐹𝐵))
476, 41sseldd 3156 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐷)
4842renegcld 8327 . . . . . 6 (𝜑 → -(𝐹𝐵) ∈ ℝ)
498, 46, 47, 48fvmptd3 5605 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝐵) = -(𝐹𝐵))
5044, 49breqtrrd 4028 . . . 4 (𝜑 → -𝑈 < ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝐵))
5136, 50jca 306 . . 3 (𝜑 → (((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝐵)))
52 ivthdec.i . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑦) < (𝐹𝑥))
53 fveq2 5511 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
5453eleq1d 2246 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
55 simpll 527 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝜑)
5655, 28syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
57 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
5854, 56, 57rspcdva 2846 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
5914adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6058, 59ltnegd 8470 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝐹𝑦) < (𝐹𝑥) ↔ -(𝐹𝑥) < -(𝐹𝑦)))
6152, 60mpbid 147 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹𝑥) < -(𝐹𝑦))
6213adantr 276 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥𝐷)
6315adantr 276 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
648, 12, 62, 63fvmptd3 5605 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑥) = -(𝐹𝑥))
65 fveq2 5511 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑦))
6665negeqd 8142 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → -(𝐹𝑤) = -(𝐹𝑦))
676sseld 3154 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦𝐷))
6855, 57, 67sylc 62 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦𝐷)
6958renegcld 8327 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹𝑦) ∈ ℝ)
708, 66, 68, 69fvmptd3 5605 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦) = -(𝐹𝑦))
7161, 64, 703brtr4d 4032 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑥) < ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑦))
721, 2, 4, 5, 6, 10, 17, 51, 71ivthinc 13788 . 2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑐) = -𝑈)
73 fveq2 5511 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑐 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑐))
7473negeqd 8142 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑐 → -(𝐹𝑤) = -(𝐹𝑐))
75 ioossicc 9946 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
7675, 6sstrid 3166 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
7776sselda 3155 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐𝐷)
78 fveq2 5511 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
7978eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑐) ∈ ℝ))
8028adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
8175sseli 3151 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8281adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8379, 80, 82rspcdva 2846 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℝ)
8483renegcld 8327 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹𝑐) ∈ ℝ)
858, 74, 77, 84fvmptd3 5605 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑐) = -(𝐹𝑐))
8685eqeq1d 2186 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹𝑐) = -𝑈))
87 cncff 13731 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
887, 87syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
8988ffvelcdmda 5647 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝐷) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
9077, 89syldan 282 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
913recnd 7976 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9291adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
9390, 92neg11ad 8254 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
9486, 93bitrd 188 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹𝑐) = 𝑈))
9594rexbidva 2474 . 2 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤𝐷 ↦ -(𝐹𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
9672, 95mpbid 147 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000  cmpt 4061  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  *cxr 7981   < clt 7982  cle 7983  -cneg 8119  (,)cioo 9875  [,]cicc 9878  cnccncf 13724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-pre-suploc 7923
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-ioo 9879  df-icc 9882  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-cncf 13725
This theorem is referenced by:  cosz12  13868  ioocosf1o  13942
  Copyright terms: Public domain W3C validator