Theorem ivthdec 13262

Description: The intermediate value theorem, decreasing case, for a strictly monotonic function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivthdec.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
ivthdec.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
ivthdec	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,𝑥   𝑦,𝐴,𝑥   𝐵,𝑐,𝑥   𝑦,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝑦,𝐷   𝐹,𝑐,𝑥   𝑦,𝐹   𝑈,𝑐,𝑥   𝑦,𝑈   𝜑,𝑐,𝑥   𝜑,𝑦

Proof of Theorem ivthdec

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 8278	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑈 ∈ ℝ)
5		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
7		ivth.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
8		eqid 2165	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))
9	8	negfcncf 13229	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
10	7, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤)) ∈ (𝐷–cn→ℂ))
11		fveq2 5486	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑥))
12	11	negeqd 8093	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑥))
13	6	sselda 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
14		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
15	14	renegcld 8278	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16	8, 12, 13, 15	fvmptd3 5579	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
17	16, 15	eqeltrd 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) ∈ ℝ)
18		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐴))
19	18	negeqd 8093	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝐴))
20	1	rexrd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21	2	rexrd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
22	1, 2, 5	ltled 8017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
23		lbicc2 9920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1228	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
25	6, 24	sseldd 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
26		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
27	26	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
28	14	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
29	27, 28, 24	rspcdva 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
30	29	renegcld 8278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
31	8, 19, 25, 30	fvmptd3 5579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) = -(𝐹‘𝐴))
32		ivthdec.9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐴)))
33	32	simprd 113	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝐹‘𝐴))
34	3, 29	ltnegd 8421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 < (𝐹‘𝐴) ↔ -(𝐹‘𝐴) < -𝑈))
35	33, 34	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐴) < -𝑈)
36	31, 35	eqbrtrd 4004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) < -𝑈)
37	32	simpld 111	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) < 𝑈)
38		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
39	38	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ))
40		ubicc2 9921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
41	20, 21, 22, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
42	39, 28, 41	rspcdva 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
43	42, 3	ltnegd 8421	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) < 𝑈 ↔ -𝑈 < -(𝐹‘𝐵)))
44	37, 43	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < -(𝐹‘𝐵))
45		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝐵))
46	45	negeqd 8093	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐵 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝐵))
47	6, 41	sseldd 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
48	42	renegcld 8278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -(𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
49	8, 46, 47, 48	fvmptd3 5579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵) = -(𝐹‘𝐵))
50	44, 49	breqtrrd 4010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑈 < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵))
51	36, 50	jca 304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐴) < -𝑈 ∧ -𝑈 < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝐵)))
52		ivthdec.i	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥))
53		fveq2 5486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
54	53	eleq1d 2235	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ))
55		simpll 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝜑)
56	55, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
57		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
58	54, 56, 57	rspcdva 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
59	14	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
60	58, 59	ltnegd 8421	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝐹‘𝑦) < (𝐹‘𝑥) ↔ -(𝐹‘𝑥) < -(𝐹‘𝑦)))
61	52, 60	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑥) < -(𝐹‘𝑦))
62	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝐷)
63	15	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
64	8, 12, 62, 63	fvmptd3 5579	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) = -(𝐹‘𝑥))
65		fveq2 5486	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑦))
66	65	negeqd 8093	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑦))
67	6	sseld 3141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐷))
68	55, 57, 67	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ 𝐷)
69	58	renegcld 8278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → -(𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
70	8, 66, 68, 69	fvmptd3 5579	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑦) = -(𝐹‘𝑦))
71	61, 64, 70	3brtr4d 4014	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑥) < ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑦))
72	1, 2, 4, 5, 6, 10, 17, 51, 71	ivthinc 13261	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈)
73		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑐))
74	73	negeqd 8093	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → -(𝐹‘𝑤) = -(𝐹‘𝑐))
75		ioossicc 9895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
76	75, 6	sstrid 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
77	76	sselda 3142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ 𝐷)
78		fveq2 5486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
79	78	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ))
80	28	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
81	75	sseli 3138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82	81	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83	79, 80, 82	rspcdva 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
84	83	renegcld 8278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -(𝐹‘𝑐) ∈ ℝ)
85	8, 74, 77, 84	fvmptd3 5579	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -(𝐹‘𝑐))
86	85	eqeq1d 2174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ -(𝐹‘𝑐) = -𝑈))
87		cncff 13204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
88	7, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
89	88	ffvelrnda 5620	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
90	77, 89	syldan 280	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑐) ∈ ℂ)
91	3	recnd 7927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
92	91	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑈 ∈ ℂ)
93	90, 92	neg11ad 8205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (-(𝐹‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
94	86, 93	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ (𝐹‘𝑐) = 𝑈))
95	94	rexbidva 2463	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑤 ∈ 𝐷 ↦ -(𝐹‘𝑤))‘𝑐) = -𝑈 ↔ ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈))
96	72, 95	mpbid 146	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹‘𝑐) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933   ≤ cle 7934  -cneg 8070  (,)cioo 9824  [,]cicc 9827  –cn→ccncf 13197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-ioo 9828  df-icc 9831  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-cncf 13198

This theorem is referenced by:  cosz12  13341  ioocosf1o  13415