ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthdec GIF version

Theorem ivthdec 14161
Description: The intermediate value theorem, decreasing case, for a strictly monotonic function. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ivth.3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
ivth.4 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
ivth.5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
ivth.7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
ivth.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
ivthdec.9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
ivthdec.i (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) < (πΉβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
ivthdec (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑐,π‘₯   𝑦,𝐴,π‘₯   𝐡,𝑐,π‘₯   𝑦,𝐡   𝐷,𝑐,π‘₯   𝑦,𝐷   𝐹,𝑐,π‘₯   𝑦,𝐹   π‘ˆ,𝑐,π‘₯   𝑦,π‘ˆ   πœ‘,𝑐,π‘₯   πœ‘,𝑦

Proof of Theorem ivthdec
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 ivth.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
43renegcld 8339 . . 3 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ ∈ ℝ)
5 ivth.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
6 ivth.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† 𝐷)
7 ivth.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
8 eqid 2177 . . . . 5 (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) = (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))
98negfcncf 14128 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
107, 9syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€)) ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚))
11 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘₯))
1211negeqd 8154 . . . . 5 (𝑀 = π‘₯ β†’ -(πΉβ€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π‘₯))
136sselda 3157 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
14 ivth.8 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
1514renegcld 8339 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
168, 12, 13, 15fvmptd3 5611 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
1716, 15eqeltrd 2254 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
18 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π΄))
1918negeqd 8154 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐴 β†’ -(πΉβ€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π΄))
201rexrd 8009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
212rexrd 8009 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
221, 2, 5ltled 8078 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
23 lbicc2 9986 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1238 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
256, 24sseldd 3158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
26 fveq2 5517 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΄))
2726eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ))
2814ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2927, 28, 24rspcdva 2848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3029renegcld 8339 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
318, 19, 25, 30fvmptd3 5611 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π΄) = -(πΉβ€˜π΄))
32 ivthdec.9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ∧ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄)))
3332simprd 114 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄))
343, 29ltnegd 8482 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ < (πΉβ€˜π΄) ↔ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ))
3533, 34mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΄) < -π‘ˆ)
3631, 35eqbrtrd 4027 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π΄) < -π‘ˆ)
3732simpld 112 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ)
38 fveq2 5517 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π΅))
3938eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐡 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ))
40 ubicc2 9987 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4120, 21, 22, 40syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4239, 28, 41rspcdva 2848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
4342, 3ltnegd 8482 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) < π‘ˆ ↔ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅)))
4437, 43mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < -(πΉβ€˜π΅))
45 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π΅))
4645negeqd 8154 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐡 β†’ -(πΉβ€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π΅))
476, 41sseldd 3158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐷)
4842renegcld 8339 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ -(πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
498, 46, 47, 48fvmptd3 5611 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π΅) = -(πΉβ€˜π΅))
5044, 49breqtrrd 4033 . . . 4 (πœ‘ β†’ -π‘ˆ < ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π΅))
5136, 50jca 306 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π΄) < -π‘ˆ ∧ -π‘ˆ < ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π΅)))
52 ivthdec.i . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) < (πΉβ€˜π‘₯))
53 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
5453eleq1d 2246 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ))
55 simpll 527 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ πœ‘)
5655, 28syl 14 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
57 simprl 529 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
5854, 56, 57rspcdva 2848 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
5914adantr 276 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6058, 59ltnegd 8482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ -(πΉβ€˜π‘₯) < -(πΉβ€˜π‘¦)))
6152, 60mpbid 147 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) < -(πΉβ€˜π‘¦))
6213adantr 276 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
6315adantr 276 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
648, 12, 62, 63fvmptd3 5611 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘₯) = -(πΉβ€˜π‘₯))
65 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘¦))
6665negeqd 8154 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ -(πΉβ€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π‘¦))
676sseld 3156 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷))
6855, 57, 67sylc 62 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
6958renegcld 8339 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ -(πΉβ€˜π‘¦) ∈ ℝ)
708, 66, 68, 69fvmptd3 5611 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘¦) = -(πΉβ€˜π‘¦))
7161, 64, 703brtr4d 4037 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ π‘₯ < 𝑦)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘₯) < ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘¦))
721, 2, 4, 5, 6, 10, 17, 51, 71ivthinc 14160 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘) = -π‘ˆ)
73 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘€) = (πΉβ€˜π‘))
7473negeqd 8154 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑐 β†’ -(πΉβ€˜π‘€) = -(πΉβ€˜π‘))
75 ioossicc 9961 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
7675, 6sstrid 3168 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
7776sselda 3157 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ 𝐷)
78 fveq2 5517 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘))
7978eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ↔ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ))
8028adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
8175sseli 3153 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8281adantl 277 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐡))
8379, 80, 82rspcdva 2848 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8483renegcld 8339 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ -(πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
858, 74, 77, 84fvmptd3 5611 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘) = -(πΉβ€˜π‘))
8685eqeq1d 2186 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ -(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ))
87 cncff 14103 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝐷–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
887, 87syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
8988ffvelcdmda 5653 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
9077, 89syldan 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
913recnd 7988 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
9291adantr 276 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
9390, 92neg11ad 8266 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (-(πΉβ€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
9486, 93bitrd 188 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ (πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
9594rexbidva 2474 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)((𝑀 ∈ 𝐷 ↦ -(πΉβ€˜π‘€))β€˜π‘) = -π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ))
9672, 95mpbid 147 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐴(,)𝐡)(πΉβ€˜π‘) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3131   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812  β„*cxr 7993   < clt 7994   ≀ cle 7995  -cneg 8131  (,)cioo 9890  [,]cicc 9893  β€“cnβ†’ccncf 14096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-pre-suploc 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-ioo 9894  df-icc 9897  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-cncf 14097
This theorem is referenced by:  cosz12  14240  ioocosf1o  14314
  Copyright terms: Public domain W3C validator