Theorem minclpr 11815

Description: The minimum of two real numbers is one of those numbers if and only if dichotomy (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴) holds. For example, this can be combined with zletric 9523 if one is dealing with integers, but real number dichotomy in general does not follow from our axioms. (Contributed by Jim Kingdon, 23-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
minclpr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Proof of Theorem minclpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8440	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8440	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
3		maxcl 11788	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		elprg 3689	. . . 4 ⊢ (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ → (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ {-𝐴, -𝐵} ↔ (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐴 ∨ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐵)))
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ {-𝐴, -𝐵} ↔ (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐴 ∨ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐵)))
7		maxclpr 11800	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ {-𝐴, -𝐵} ↔ (-𝐴 ≤ -𝐵 ∨ -𝐵 ≤ -𝐴)))
8	1, 2, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ {-𝐴, -𝐵} ↔ (-𝐴 ≤ -𝐵 ∨ -𝐵 ≤ -𝐴)))
9	4	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
12	9, 11	neg11ad 8486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = --𝐴 ↔ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐴))
13		minmax 11808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
14	13	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
15		recn 8165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	negnegd 8481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐴 = 𝐴)
18	14, 17	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = --𝐴 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))
19	12, 18	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐴 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))
20	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℝ)
21	20	recnd 8208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℂ)
22	9, 21	neg11ad 8486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = --𝐵 ↔ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐵))
23		recn 8165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
24	23	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
25	24	negnegd 8481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐵 = 𝐵)
26	14, 25	eqeq12d 2246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = --𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
27	22, 26	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵))
28	19, 27	orbi12d 800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐴 ∨ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -𝐵) ↔ (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ∨ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)))
29	6, 8, 28	3bitr3rd 219	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ∨ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵) ↔ (-𝐴 ≤ -𝐵 ∨ -𝐵 ≤ -𝐴)))
30		mincl 11809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
31		elprg 3689	. . 3 ⊢ (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ∨ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)))
32	30, 31	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ∨ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐵)))
33		orcom 735	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴))
34		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
35		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	34, 35	lenegd 8704	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝐵))
37		leneg 8645	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
38	36, 37	orbi12d 800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 ≤ 𝐴 ∨ 𝐴 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐴 ≤ -𝐵 ∨ -𝐵 ≤ -𝐴)))
39	33, 38	bitr3id 194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴) ↔ (-𝐴 ≤ -𝐵 ∨ -𝐵 ≤ -𝐴)))
40	29, 32, 39	3bitr4d 220	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∨ 𝐵 ≤ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088  supcsup 7181  infcinf 7182  ℂcc 8030  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215  -cneg 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577

This theorem is referenced by:  qtopbas  15265