Theorem mingeb 11231

Description: Equivalence of ≤ and being equal to the minimum of two reals. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mingeb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))

Proof of Theorem mingeb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8205	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2		renegcl 8205	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 11200	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	4	recnd 7973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
6	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 7973	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
8	5, 7	neg11ad 8251	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = --𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
9		mincom 11218	. . . 4 ⊢ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < )
10		minmax 11219	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
11	10	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
12	9, 11	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
13		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 7973	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 8246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐴 = 𝐴)
16	15	eqcomd 2183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = --𝐴)
17	12, 16	eqeq12d 2192	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ↔ -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = --𝐴))
18		leneg 8409	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19		maxleb 11206	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
20	1, 2, 19	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
21	18, 20	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
22	8, 17, 21	3bitr4rd 221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3592   class class class wbr 4000  supcsup 6975  infcinf 6976  ℝcr 7798   < clt 7979   ≤ cle 7980  -cneg 8116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-rp 9638  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989

This theorem is referenced by:  2zinfmin  11232