Theorem mingeb 11793

Description: Equivalence of ≤ and being equal to the minimum of two reals. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mingeb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))

Proof of Theorem mingeb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8430	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2		renegcl 8430	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 11761	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
6	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
8	5, 7	neg11ad 8476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = --𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
9		mincom 11780	. . . 4 ⊢ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < )
10		minmax 11781	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
11	10	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
12	9, 11	eqtrid 2274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
13		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 8471	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐴 = 𝐴)
16	15	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = --𝐴)
17	12, 16	eqeq12d 2244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ↔ -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = --𝐴))
18		leneg 8635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19		maxleb 11767	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
20	1, 2, 19	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
21	18, 20	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
22	8, 17, 21	3bitr4rd 221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3668   class class class wbr 4086  supcsup 7172  infcinf 7173  ℝcr 8021   < clt 8204   ≤ cle 8205  -cneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550

This theorem is referenced by:  2zinfmin  11794  hovergt0  15364