Theorem mingeb 11807

Description: Equivalence of ≤ and being equal to the minimum of two reals. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
mingeb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))

Proof of Theorem mingeb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 8440	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
2		renegcl 8440	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 11775	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	4	recnd 8208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℂ)
6	2	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	recnd 8208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
8	5, 7	neg11ad 8486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = --𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
9		mincom 11794	. . . 4 ⊢ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < )
10		minmax 11795	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
11	10	ancoms 268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐵, 𝐴}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
12	9, 11	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ))
13		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	negnegd 8481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐴 = 𝐴)
16	15	eqcomd 2237	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = --𝐴)
17	12, 16	eqeq12d 2246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴 ↔ -sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = --𝐴))
18		leneg 8645	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐴))
19		maxleb 11781	. . . 4 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
20	1, 2, 19	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐵 ≤ -𝐴 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
21	18, 20	bitrd 188	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ sup({-𝐵, -𝐴}, ℝ, < ) = -𝐴))
22	8, 17, 21	3bitr4rd 221	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088  supcsup 7181  infcinf 7182  ℝcr 8031   < clt 8214   ≤ cle 8215  -cneg 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564

This theorem is referenced by:  2zinfmin  11808  hovergt0  15380