Theorem srngmulrd 12923

Description: The multiplication operation of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngmulrd	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Proof of Theorem srngmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12906	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2		srngstr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
3		srngstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		srngstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		srngstrd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
6		srngstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 12920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
8	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4271	. . . . 5 ⊢ (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
10	8, 5, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
11		tpid3g 3747	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
12		elun1 3339	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2298	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑅)
15	1, 7, 5, 14	opelstrsl 12888	1 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∪ cun 3163  {csn 3632  {ctp 3634  ⟨cop 3635  ‘cfv 5270  1c1 7925  ℕcn 9035  4c4 9088  ndxcnx 12771  Slot cslot 12773  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  ._rcmulr 12852  *_𝑟cstv 12853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12776  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-starv 12866

This theorem is referenced by: (None)