ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srngmulrd GIF version

Theorem srngmulrd 12569
Description: The multiplication operation of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
srngstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
srngstrd.p (𝜑+𝑊)
srngstrd.m (𝜑·𝑋)
srngstrd.s (𝜑𝑌)
Assertion
Ref Expression
srngmulrd (𝜑· = (.r𝑅))

Proof of Theorem srngmulrd
StepHypRef Expression
1 mulrslid 12556 . 2 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2 srngstr.r . . 3 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
3 srngstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 srngstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 srngstrd.m . . 3 (𝜑·𝑋)
6 srngstrd.s . . 3 (𝜑𝑌)
72, 3, 4, 5, 6srngstrd 12566 . 2 (𝜑𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
81simpri 113 . . . . 5 (.r‘ndx) ∈ ℕ
9 opexg 4224 . . . . 5 (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ·𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
108, 5, 9sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
11 tpid3g 3706 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
12 elun1 3302 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}))
1310, 11, 123syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}))
1413, 2eleqtrrdi 2271 . 2 (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑅)
151, 7, 5, 14opelstrsl 12539 1 (𝜑· = (.r𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  cun 3127  {csn 3591  {ctp 3593  cop 3594  cfv 5211  1c1 7790  cn 8895  4c4 8948  ndxcnx 12429  Slot cslot 12431  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  .rcmulr 12506  *𝑟cstv 12507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-tp 3599  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-struct 12434  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-starv 12520
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator