Theorem srngmulrd 12826

Description: The multiplication operation of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngmulrd	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Proof of Theorem srngmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 12809	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2		srngstr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
3		srngstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		srngstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		srngstrd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
6		srngstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 12823	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
8	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4261	. . . . 5 ⊢ (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
10	8, 5, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
11		tpid3g 3737	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
12		elun1 3330	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2290	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑅)
15	1, 7, 5, 14	opelstrsl 12792	1 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3622  {ctp 3624  ⟨cop 3625  ‘cfv 5258  1c1 7880  ℕcn 8990  4c4 9043  ndxcnx 12675  Slot cslot 12677  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  *_𝑟cstv 12757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770

This theorem is referenced by: (None)