Theorem srngmulrd 13177

Description: The multiplication operation of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngmulrd	⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Proof of Theorem srngmulrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 13160	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2		srngstr.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
3		srngstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		srngstrd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		srngstrd.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
6		srngstrd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
7	2, 3, 4, 5, 6	srngstrd 13174	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
8	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
9		opexg 4313	. . . . 5 ⊢ (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
10	8, 5, 9	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
11		tpid3g 3781	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
12		elun1 3371	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
13	10, 11, 12	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}))
14	13, 2	eleqtrrdi 2323	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑅)
15	1, 7, 5, 14	opelstrsl 13142	1 ⊢ (𝜑 → · = (.r‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  {csn 3666  {ctp 3668  ⟨cop 3669  ‘cfv 5317  1c1 7996  ℕcn 9106  4c4 9159  ndxcnx 13024  Slot cslot 13026  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  ._rcmulr 13106  *_𝑟cstv 13107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-starv 13120

This theorem is referenced by: (None)