ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgrptsetd GIF version

Theorem topgrptsetd 12675
Description: The topology of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
topgrpfn.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b (𝜑𝐵𝑉)
topgrpfnd.p (𝜑+𝑊)
topgrpfnd.j (𝜑𝐽𝑋)
Assertion
Ref Expression
topgrptsetd (𝜑𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem topgrptsetd
StepHypRef Expression
1 tsetslid 12664 . 2 (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
2 topgrpfn.w . . 3 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3 topgrpfnd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 topgrpfnd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 topgrpfnd.j . . 3 (𝜑𝐽𝑋)
62, 3, 4, 5topgrpstrd 12672 . 2 (𝜑𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)
71simpri 113 . . . . 5 (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
8 opexg 4242 . . . . 5 (((TopSet‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐽𝑋) → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V)
97, 5, 8sylancr 414 . . . 4 (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V)
10 tpid3g 3721 . . . 4 (⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
119, 10syl 14 . . 3 (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
1211, 2eleqtrrdi 2282 . 2 (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ 𝑊)
131, 6, 5, 12opelstrsl 12591 1 (𝜑𝐽 = (TopSet‘𝑊))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1363  wcel 2159  Vcvv 2751  {ctp 3608  cop 3609  cfv 5230  1c1 7829  cn 8936  9c9 8994  ndxcnx 12476  Slot cslot 12478  Basecbs 12479  +gcplusg 12554  TopSetcts 12560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-tp 3614  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-fz 10026  df-struct 12481  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-tset 12573
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator