Theorem topgrptsetd 12675

Description: The topology of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrptsetd	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem topgrptsetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsetslid 12664	. 2 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
2		topgrpfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
6	2, 3, 4, 5	topgrpstrd 12672	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)
7	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4242	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V)
9	7, 5, 8	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V)
10		tpid3g 3721	. . . 4 ⊢ (⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
12	11, 2	eleqtrrdi 2282	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ 𝑊)
13	1, 6, 5, 12	opelstrsl 12591	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  Vcvv 2751  {ctp 3608  ⟨cop 3609  ‘cfv 5230  1c1 7829  ℕcn 8936  9c9 8994  ndxcnx 12476  Slot cslot 12478  Basecbs 12479  +_gcplusg 12554  TopSetcts 12560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-tp 3614  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-7 9000  df-8 9001  df-9 9002  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-fz 10026  df-struct 12481  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-plusg 12567  df-tset 12573

This theorem is referenced by: (None)