Theorem topgrptsetd 12559

Description: The topology of a constructed topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrptsetd	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Proof of Theorem topgrptsetd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsetslid 12555	. 2 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
2		topgrpfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
5		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
6	2, 3, 4, 5	topgrpstrd 12556	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)
7	1	simpri 112	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
8		opexg 4211	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V)
9	7, 5, 8	sylancr 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V)
10		tpid3g 3696	. . . 4 ⊢ (⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ V → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
11	9, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩})
12	11, 2	eleqtrrdi 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩ ∈ 𝑊)
13	1, 6, 5, 12	opelstrsl 12501	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (TopSet‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {ctp 3583  ⟨cop 3584  ‘cfv 5196  1c1 7762  ℕcn 8865  9c9 8923  ndxcnx 12400  Slot cslot 12402  Basecbs 12403  +_gcplusg 12467  TopSetcts 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-5 8927  df-6 8928  df-7 8929  df-8 8930  df-9 8931  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-struct 12405  df-ndx 12406  df-slot 12407  df-base 12409  df-plusg 12480  df-tset 12486

This theorem is referenced by: (None)