Theorem rngmulrg 13492

Description: The multiplicative operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}

Assertion

Ref	Expression
rngmulrg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → · = (.r‘𝑅))

Proof of Theorem rngmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulrslid 13486	. 2 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2		rngfn.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
3	2	rngstrg 13489	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)
4		simp3 1030	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → · ∈ 𝑋)
5	1	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
6		opexg 4368	. . . . 5 ⊢ (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
7	5, 4, 6	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
8		tpid3g 3828	. . . 4 ⊢ (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
10	9, 2	eleqtrrdi 2332	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑅)
11	1, 3, 4, 10	opelstrsl 13468	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → · = (.r‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {ctp 3711  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  1c1 8180  ℕcn 9304  3c3 9356  ndxcnx 13349  Slot cslot 13351  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  ._rcmulr 13432

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445

This theorem is used by:  ring1  14364