ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngmulrg GIF version

Theorem rngmulrg 12066
Description: The multiplicative operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
Assertion
Ref Expression
rngmulrg ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → · = (.r𝑅))

Proof of Theorem rngmulrg
StepHypRef Expression
1 mulrslid 12060 . 2 (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
2 rngfn.r . . 3 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstrg 12063 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)
4 simp3 983 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ·𝑋)
51simpri 112 . . . . 5 (.r‘ndx) ∈ ℕ
6 opexg 4145 . . . . 5 (((.r‘ndx) ∈ ℕ ∧ ·𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
75, 4, 6sylancr 410 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V)
8 tpid3g 3633 . . . 4 (⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ V → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
97, 8syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
109, 2eleqtrrdi 2231 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(.r‘ndx), · ⟩ ∈ 𝑅)
111, 3, 4, 10opelstrsl 12044 1 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → · = (.r𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2681  {ctp 3524  cop 3525  cfv 5118  1c1 7614  cn 8713  3c3 8765  ndxcnx 11945  Slot cslot 11947  Basecbs 11948  +gcplusg 12010  .rcmulr 12011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-struct 11950  df-ndx 11951  df-slot 11952  df-base 11954  df-plusg 12023  df-mulr 12024
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator