ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemfp1 GIF version

Theorem resqrexlemfp1 11050
Description: Lemma for resqrex 11067. Recursion rule. This sequence is the ancient method for computing square roots, often known as the babylonian method, although known to many ancient cultures. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemfp1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemfp1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnnuz 9594 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
21biimpi 120 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
32adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
4 elnnuz 9594 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ ↔ 𝑎 ∈ (ℤ‘1))
5 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
75, 6resqrexlem1arp 11046 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
84, 7sylan2br 288 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
98adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
105, 6resqrexlemp1rp 11047 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
1110adantlr 477 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
123, 9, 11seq3p1 10493 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))))
13 resqrexlemex.seq . . . 4 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
1413fveq1i 5535 . . 3 (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘(𝑁 + 1))
1513fveq1i 5535 . . . 4 (𝐹𝑁) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)
1615oveq1i 5906 . . 3 ((𝐹𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)))
1712, 14, 163eqtr4g 2247 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))))
18 id 19 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐𝑦 = 𝑐)
19 oveq2 5904 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑐 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑐))
2018, 19oveq12d 5914 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝑐 + (𝐴 / 𝑐)))
2120oveq1d 5911 . . . . 5 (𝑦 = 𝑐 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
22 eqidd 2190 . . . . 5 (𝑧 = 𝑑 → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
2321, 22cbvmpov 5976 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑐 ∈ ℝ+, 𝑑 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
2423a1i 9 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑐 ∈ ℝ+, 𝑑 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2)))
25 id 19 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐹𝑁) → 𝑐 = (𝐹𝑁))
26 oveq2 5904 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐹𝑁) → (𝐴 / 𝑐) = (𝐴 / (𝐹𝑁)))
2725, 26oveq12d 5914 . . . . 5 (𝑐 = (𝐹𝑁) → (𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) = ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))))
2827oveq1d 5911 . . . 4 (𝑐 = (𝐹𝑁) → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
2928ad2antrl 490 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑐 = (𝐹𝑁) ∧ 𝑑 = ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)))) → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
3013, 5, 6resqrexlemf 11048 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
3130ffvelcdmda 5672 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
32 peano2nn 8961 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
335, 6resqrexlem1arp 11046 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
3432, 33sylan2 286 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
3531rpred 9726 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
365adantr 276 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3736, 31rerpdivcld 9758 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹𝑁)) ∈ ℝ)
3835, 37readdcld 8017 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) ∈ ℝ)
3938rehalfcld 9195 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
4024, 29, 31, 34, 39ovmpod 6024 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
4117, 40eqtrd 2222 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹𝑁) + (𝐴 / (𝐹𝑁))) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  {csn 3607   class class class wbr 4018   × cxp 4642  cfv 5235  (class class class)co 5896  cmpo 5898  cr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844  cle 8023   / cdiv 8659  cn 8949  2c2 9000  cuz 9558  +crp 9683  seqcseq 10476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477
This theorem is referenced by:  resqrexlemover  11051  resqrexlemdec  11052  resqrexlemlo  11054  resqrexlemcalc1  11055
  Copyright terms: Public domain W3C validator