Theorem resqrexlemfp1 11630

Description: Lemma for resqrex 11647. Recursion rule. This sequence is the ancient method for computing square roots, often known as the babylonian method, although known to many ancient cultures. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemfp1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemfp1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9836	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 9836	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1))
5		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
7	5, 6	resqrexlem1arp 11626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
8	4, 7	sylan2br 288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
9	8	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
10	5, 6	resqrexlemp1rp 11627	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
11	10	adantlr 477	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
12	3, 9, 11	seq3p1 10771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))))
13		resqrexlemex.seq	. . . 4 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
14	13	fveq1i 5649	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘(𝑁 + 1))
15	13	fveq1i 5649	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑁) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)
16	15	oveq1i 6038	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)))
17	12, 14, 16	3eqtr4g 2289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))))
18		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → 𝑦 = 𝑐)
19		oveq2 6036	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑐))
20	18, 19	oveq12d 6046	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝑐 + (𝐴 / 𝑐)))
21	20	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
22		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
23	21, 22	cbvmpov 6111	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑐 ∈ ℝ+, 𝑑 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑐 ∈ ℝ+, 𝑑 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2)))
25		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → 𝑐 = (𝐹‘𝑁))
26		oveq2 6036	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → (𝐴 / 𝑐) = (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))
27	25, 26	oveq12d 6046	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → (𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) = ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))
28	27	oveq1d 6043	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
29	28	ad2antrl 490	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝑑 = ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)))) → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
30	13, 5, 6	resqrexlemf 11628	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
31	30	ffvelcdmda 5790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
32		peano2nn 9198	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
33	5, 6	resqrexlem1arp 11626	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
34	32, 33	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
35	31	rpred 9974	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
36	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36, 31	rerpdivcld 10006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 8252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
39	38	rehalfcld 9434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
40	24, 29, 31, 34, 39	ovmpod 6159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
41	17, 40	eqtrd 2264	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673   class class class wbr 4093   × cxp 4729  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∈ cmpo 6030  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   ≤ cle 8258   / cdiv 8895  ℕcn 9186  2c2 9237  ℤ_≥cuz 9798  ℝ⁺crp 9931  seqcseq 10753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-rp 9932  df-seqfrec 10754

This theorem is referenced by:  resqrexlemover  11631  resqrexlemdec  11632  resqrexlemlo  11634  resqrexlemcalc1  11635