Theorem resqrexlemfp1 10667

Description: Lemma for resqrex 10684. Recursion rule. This sequence is the ancient method for computing square roots, often known as the babylonian method, although known to many ancient cultures. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemfp1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemfp1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnuz 9258	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
2	1	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
3	2	adantl 273	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
4		elnnuz 9258	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↔ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1))
5		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
7	5, 6	resqrexlem1arp 10663	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
8	4, 7	sylan2br 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
9	8	adantlr 466	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘𝑎) ∈ ℝ+)
10	5, 6	resqrexlemp1rp 10664	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
11	10	adantlr 466	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+)) → (𝑎(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))𝑏) ∈ ℝ+)
12	3, 9, 11	seq3p1 10122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘(𝑁 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))))
13		resqrexlemex.seq	. . . 4 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
14	13	fveq1i 5374	. . 3 ⊢ (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘(𝑁 + 1))
15	13	fveq1i 5374	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑁) = (seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)
16	15	oveq1i 5736	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))) = ((seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)))
17	12, 14, 16	3eqtr4g 2170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))))
18		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → 𝑦 = 𝑐)
19		oveq2 5734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝑐))
20	18, 19	oveq12d 5744	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → (𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) = (𝑐 + (𝐴 / 𝑐)))
21	20	oveq1d 5741	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑐 → ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2) = ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
22		eqidd 2114	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑑 → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
23	21, 22	cbvmpov 5803	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑐 ∈ ℝ+, 𝑑 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2))
24	23	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)) = (𝑐 ∈ ℝ+, 𝑑 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2)))
25		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → 𝑐 = (𝐹‘𝑁))
26		oveq2 5734	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → (𝐴 / 𝑐) = (𝐴 / (𝐹‘𝑁)))
27	25, 26	oveq12d 5744	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → (𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) = ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))))
28	27	oveq1d 5741	. . . 4 ⊢ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
29	28	ad2antrl 479	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑐 = (𝐹‘𝑁) ∧ 𝑑 = ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)))) → ((𝑐 + (𝐴 / 𝑐)) / 2) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
30	13, 5, 6	resqrexlemf 10665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
31	30	ffvelrnda 5507	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ+)
32		peano2nn 8636	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
33	5, 6	resqrexlem1arp 10663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
34	32, 33	sylan2 282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
35	31	rpred 9376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
36	5	adantr 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36, 31	rerpdivcld 9408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / (𝐹‘𝑁)) ∈ ℝ)
38	35, 37	readdcld 7713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) ∈ ℝ)
39	38	rehalfcld 8864	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
40	24, 29, 31, 34, 39	ovmpod 5850	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑁)(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2))((ℕ × {(1 + 𝐴)})‘(𝑁 + 1))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))
41	17, 40	eqtrd 2145	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐴 / (𝐹‘𝑁))) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  {csn 3491   class class class wbr 3893   × cxp 4495  ‘cfv 5079  (class class class)co 5726   ∈ cmpo 5728  ℝcr 7540  0cc0 7541  1c1 7542   + caddc 7544   ≤ cle 7719   / cdiv 8339  ℕcn 8624  2c2 8675  ℤ_≥cuz 9222  ℝ⁺crp 9337  seqcseq 10105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-rp 9338  df-seqfrec 10106

This theorem is referenced by:  resqrexlemover  10668  resqrexlemdec  10669  resqrexlemlo  10671  resqrexlemcalc1  10672