prarloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloc 7686

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7687 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem prarloc Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prml 7660	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿)
2		df-rex 2514	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
5		prmu 7661	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)
6		df-rex 2514	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
9		subhalfnqq 7597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
11		df-rex 2514	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃 ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
12	10, 11	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
13	12	ancli 323	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
14		19.42v 1953	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
16		eeeanv 1984	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
17	4, 8, 15, 16	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
18		prarloclemarch2 7602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
19		df-rex 2514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
20	18, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
21	20	3com12 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
22	21	3adant1r 1255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
23	22	3adant2r 1257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
24	23	3adant3r 1259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
25	24	3adant3l 1258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
26	25	ancli 323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
27		19.42v 1953	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) ↔ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
29	28	2eximi 1647	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
30	29	eximi 1646	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
31		simpl1l 1072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ Q)
32		simp3rl 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → 𝑞 ∈ Q)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑞 ∈ Q)
34		simp3rr 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
36	31, 33, 35	3jca 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
37		simp3ll 1092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
39		simpl1r 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ 𝐿)
40		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑛 ∈ N)
41		simprrl 539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 1_o <_N 𝑛)
42		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))
43		simpl2r 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44		prcunqu 7668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
45	38, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
46	42, 45	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
47		prarloclem 7684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 1_o <_N 𝑛) ∧ (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
48	38, 39, 40, 33, 41, 46, 47	syl231anc 1291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
49		df-rex 2514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
50	48, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
51	36, 50	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
52		19.42v 1953	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
53	51, 52	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
54		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿)
55		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿))
56	55	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
57	56	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
58	57	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
59	58	ceqsexgv 2932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
60	59	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
62		simprrr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
63		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
65	64	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
66	65	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
67	66	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
68	67	exbidv 1871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
69	68	ceqsexgv 2932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → (∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
70	69	biimprcd 160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) → ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))))))
71	61, 62, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
72		19.42v 1953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
73	72	exbii 1651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
74	71, 73	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
75		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
77		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
79		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
80		simprl2 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑞 ∈ Q)
81		simprl3 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
82	80, 81	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
83		simprl1 1066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑥 ∈ Q)
84		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑚 ∈ ω)
85	83, 84	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))
86		prarloclemcalc 7685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
87	79, 82, 85, 86	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
88	78, 87	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
89	76, 88	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
90	89	ancom1s 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ 𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
91	90	anasss 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
92	91	2eximi 1647	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
93	74, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
94	93	exlimiv 1644	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
95	53, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
96	95	exlimivv 1943	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
97	96	exlimivv 1943	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
98	17, 30, 97	3syl 17	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
99		excom 1710	. . 3 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
100	98, 99	sylib 122	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
101		19.42v 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
102		df-rex 2514	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
103	102	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
104	101, 103	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
105	104	exbii 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
106		df-rex 2514	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
107	105, 106	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
108	100, 107	sylib 122	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∃wex 1538 ∈ wcel 2200 ∃wrex 2509 ⟨cop 3669 class class class wbr 4082 ωcom 4681 (class class class)co 6000 1_oc1o 6553 2_oc2o 6554 +_o coa 6557 [cec 6676 Ncnpi 7455 <_N clti 7458 ~_Q ceq 7462 Qcnq 7463 +_Q cplq 7465 ·_Q cmq 7466 <_Q cltq 7468 ~_Q0 ceq0 7469 +_Q0 cplq0 7472 ·_Q0 cmq0 7473 Pcnp 7474

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-eprel 4379 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-irdg 6514 df-1o 6560 df-2o 6561 df-oadd 6564 df-omul 6565 df-er 6678 df-ec 6680 df-qs 6684 df-ni 7487 df-pli 7488 df-mi 7489 df-lti 7490 df-plpq 7527 df-mpq 7528 df-enq 7530 df-nqqs 7531 df-plqqs 7532 df-mqqs 7533 df-1nqqs 7534 df-rq 7535 df-ltnqqs 7536 df-enq0 7607 df-nq0 7608 df-0nq0 7609 df-plq0 7610 df-mq0 7611 df-inp 7649

This theorem is referenced by: prarloc2 7687 addlocpr 7719 prmuloc 7749 ltaddpr 7780 ltexprlemloc 7790 ltexprlemrl 7793 ltexprlemru 7795

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