ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloc GIF version

Theorem prarloc 7501
Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance ๐‘ƒ, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7502 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

Assertion
Ref Expression
prarloc ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))
Distinct variable groups:   ๐ฟ,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘Ž,๐‘   ๐‘ˆ,๐‘Ž,๐‘

Proof of Theorem prarloc
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘ž ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prml 7475 . . . . . . 7 (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ)
2 df-rex 2461 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ โ†” โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ))
31, 2sylib 122 . . . . . 6 (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ))
43adantr 276 . . . . 5 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ))
5 prmu 7476 . . . . . . 7 (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
6 df-rex 2461 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ Q ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ))
75, 6sylib 122 . . . . . 6 (โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ))
87adantr 276 . . . . 5 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ))
9 subhalfnqq 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ Q โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)
109adantl 277 . . . . . . . 8 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)
11 df-rex 2461 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘ž โˆˆ Q (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ โ†” โˆƒ๐‘ž(๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))
1210, 11sylib 122 . . . . . . 7 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ž(๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))
1312ancli 323 . . . . . 6 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘ž(๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)))
14 19.42v 1906 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ž((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)) โ†” ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง โˆƒ๐‘ž(๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)))
1513, 14sylibr 134 . . . . 5 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ž((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)))
16 eeeanv 1933 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ž((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†” (โˆƒ๐‘ฅ(๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง โˆƒ๐‘ฆ(๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง โˆƒ๐‘ž((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))))
174, 8, 15, 16syl3anbrc 1181 . . . 4 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ž((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))))
18 prarloclemarch2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ N (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))
19 df-rex 2461 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆƒ๐‘› โˆˆ N (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โ†” โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
2018, 19sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
21203com12 1207 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
22213adant1r 1231 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
23223adant2r 1233 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ž โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
24233adant3r 1235 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
25243adant3l 1234 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))))
2625ancli 323 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))))
27 19.42v 1906 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘›(((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†” (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง โˆƒ๐‘›(๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))))
2826, 27sylibr 134 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘›(((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))))
29282eximi 1601 . . . . 5 (โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ž((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘žโˆƒ๐‘›(((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))))
3029eximi 1600 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘ž((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘žโˆƒ๐‘›(((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))))
31 simpl1l 1048 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
32 simp3rl 1070 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ Q)
3332adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ Q)
34 simp3rr 1071 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)
3534adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)
3631, 33, 353jca 1177 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))
37 simp3ll 1068 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โ†’ โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P)
3837adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P)
39 simpl1r 1049 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ)
40 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ N)
41 simprrl 539 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ 1o <N ๐‘›)
42 simprrr 540 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)))
43 simpl2r 1051 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ)
44 prcunqu 7483 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))
4538, 43, 44syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ (๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))
4642, 45mpd 13 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)
47 prarloclem 7499 . . . . . . . . . . 11 (((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง 1o <N ๐‘›) โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ฯ‰ ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))
4838, 39, 40, 33, 41, 46, 47syl231anc 1258 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ ฯ‰ ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))
49 df-rex 2461 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘š โˆˆ ฯ‰ ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” โˆƒ๐‘š(๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
5048, 49sylib 122 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘š(๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
5136, 50jca 306 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง โˆƒ๐‘š(๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
52 19.42v 1906 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘š((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง โˆƒ๐‘š(๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
5351, 52sylibr 134 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘š((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
54 simprrl 539 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ)
55 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โ†” (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ))
5655anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
5756anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†” (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
5857anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))))
5958ceqsexgv 2866 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โ†’ (โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))))
6059biimprcd 160 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โ†’ โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))))
6154, 60mpd 13 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))))
62 simprrr 540 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)
63 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โ†” (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))
6463anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ ((๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))
6564anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†” (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))
6665anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))))
6766anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ ((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†” (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))))
6867exbidv 1825 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†” โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))))
6968ceqsexgv 2866 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ (โˆƒ๐‘(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))) โ†” โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))))))
7069biimprcd 160 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ((๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ โ†’ โˆƒ๐‘(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))))))
7161, 62, 70sylc 62 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))))
72 19.42v 1906 . . . . . . . . . . 11 (โˆƒ๐‘Ž(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))) โ†” (๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))))
7372exbii 1605 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))))
7471, 73sylibr 134 . . . . . . . . 9 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))))
75 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ)
7675adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ)
77 simprrr 540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)
7877adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)
79 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))
80 simprl2 1043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ๐‘ž โˆˆ Q)
81 simprl3 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ)
8280, 81jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))
83 simprl1 1042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ Q)
84 simprrl 539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ๐‘š โˆˆ ฯ‰)
8583, 84jca 306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘š โˆˆ ฯ‰))
86 prarloclemcalc 7500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘š โˆˆ ฯ‰))) โ†’ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))
8779, 82, 85, 86syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))
8878, 87jca 306 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ)))
8976, 88jca 306 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9089ancom1s 569 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง ๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž))) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9190anasss 399 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
92912eximi 1601 . . . . . . . . 9 (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘ = (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆง (๐‘Ž = (๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ))))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9374, 92syl 14 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9493exlimiv 1598 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘š((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ) โˆง (๐‘š โˆˆ ฯ‰ โˆง ((๐‘ฅ +Q0 ([โŸจ๐‘š, 1oโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐‘ž)) โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ฅ +Q ([โŸจ(๐‘š +o 2o), 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž)) โˆˆ ๐‘ˆ))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9553, 94syl 14 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9695exlimivv 1896 . . . . 5 (โˆƒ๐‘žโˆƒ๐‘›(((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9796exlimivv 1896 . . . 4 (โˆƒ๐‘ฅโˆƒ๐‘ฆโˆƒ๐‘žโˆƒ๐‘›(((๐‘ฅ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ฟ) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ Q โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ˆ) โˆง ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โˆง (๐‘ž โˆˆ Q โˆง (๐‘ž +Q ๐‘ž) <Q ๐‘ƒ))) โˆง (๐‘› โˆˆ N โˆง (1o <N ๐‘› โˆง ๐‘ฆ <Q (๐‘ฅ +Q ([โŸจ๐‘›, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ ๐‘ž))))) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
9817, 30, 973syl 17 . . 3 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
99 excom 1664 . . 3 (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))) โ†” โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
10098, 99sylib 122 . 2 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
101 19.42v 1906 . . . . 5 (โˆƒ๐‘(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
102 df-rex 2461 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ) โ†” โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ)))
103102anbi2i 457 . . . . 5 ((๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ)) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘(๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))))
104101, 103bitr4i 187 . . . 4 (โˆƒ๐‘(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))) โ†” (๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ)))
105104exbii 1605 . . 3 (โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))) โ†” โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ)))
106 df-rex 2461 . . 3 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ) โ†” โˆƒ๐‘Ž(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ)))
107105, 106bitr4i 187 . 2 (โˆƒ๐‘Žโˆƒ๐‘(๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆง ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))
108100, 107sylib 122 1 ((โŸจ๐ฟ, ๐‘ˆโŸฉ โˆˆ P โˆง ๐‘ƒ โˆˆ Q) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐ฟ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ <Q (๐‘Ž +Q ๐‘ƒ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353  โˆƒwex 1492   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  โŸจcop 3595   class class class wbr 4003  ฯ‰com 4589  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410   +o coa 6413  [cec 6532  Ncnpi 7270   <N clti 7273   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   +Q cplq 7280   ยทQ cmq 7281   <Q cltq 7283   ~Q0 ceq0 7284   +Q0 cplq0 7287   ยทQ0 cmq0 7288  Pcnp 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464
This theorem is referenced by:  prarloc2  7502  addlocpr  7534  prmuloc  7564  ltaddpr  7595  ltexprlemloc  7605  ltexprlemrl  7608  ltexprlemru  7610
  Copyright terms: Public domain W3C validator