prarloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloc 7493

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7494 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem prarloc Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prml 7467	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿)
2		df-rex 2461	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
5		prmu 7468	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)
6		df-rex 2461	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
9		subhalfnqq 7404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
11		df-rex 2461	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃 ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
12	10, 11	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
13	12	ancli 323	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
14		19.42v 1906	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
16		eeeanv 1933	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
17	4, 8, 15, 16	syl3anbrc 1181	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
18		prarloclemarch2 7409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
19		df-rex 2461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
20	18, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
21	20	3com12 1207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
22	21	3adant1r 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
23	22	3adant2r 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
24	23	3adant3r 1235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
25	24	3adant3l 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
26	25	ancli 323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
27		19.42v 1906	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) ↔ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
29	28	2eximi 1601	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
30	29	eximi 1600	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
31		simpl1l 1048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ Q)
32		simp3rl 1070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → 𝑞 ∈ Q)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑞 ∈ Q)
34		simp3rr 1071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
36	31, 33, 35	3jca 1177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
37		simp3ll 1068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
39		simpl1r 1049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ 𝐿)
40		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑛 ∈ N)
41		simprrl 539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 1_o <_N 𝑛)
42		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))
43		simpl2r 1051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44		prcunqu 7475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
45	38, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
46	42, 45	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
47		prarloclem 7491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 1_o <_N 𝑛) ∧ (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
48	38, 39, 40, 33, 41, 46, 47	syl231anc 1258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
49		df-rex 2461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
50	48, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
51	36, 50	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
52		19.42v 1906	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
53	51, 52	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
54		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿)
55		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿))
56	55	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
57	56	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
58	57	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
59	58	ceqsexgv 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
60	59	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
62		simprrr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
63		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
65	64	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
66	65	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
67	66	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
68	67	exbidv 1825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
69	68	ceqsexgv 2866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → (∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
70	69	biimprcd 160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) → ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))))))
71	61, 62, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
72		19.42v 1906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
73	72	exbii 1605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
74	71, 73	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
75		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
77		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
79		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
80		simprl2 1043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑞 ∈ Q)
81		simprl3 1044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
82	80, 81	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
83		simprl1 1042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑥 ∈ Q)
84		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑚 ∈ ω)
85	83, 84	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))
86		prarloclemcalc 7492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
87	79, 82, 85, 86	syl12anc 1236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
88	78, 87	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
89	76, 88	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
90	89	ancom1s 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ 𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
91	90	anasss 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
92	91	2eximi 1601	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
93	74, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
94	93	exlimiv 1598	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
95	53, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
96	95	exlimivv 1896	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
97	96	exlimivv 1896	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
98	17, 30, 97	3syl 17	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
99		excom 1664	. . 3 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
100	98, 99	sylib 122	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
101		19.42v 1906	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
102		df-rex 2461	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
103	102	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
104	101, 103	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
105	104	exbii 1605	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
106		df-rex 2461	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
107	105, 106	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
108	100, 107	sylib 122	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∧ w3a 978 = wceq 1353 ∃wex 1492 ∈ wcel 2148 ∃wrex 2456 ⟨cop 3594 class class class wbr 4000 ωcom 4586 (class class class)co 5869 1_oc1o 6404 2_oc2o 6405 +_o coa 6408 [cec 6527 Ncnpi 7262 <_N clti 7265 ~_Q ceq 7269 Qcnq 7270 +_Q cplq 7272 ·_Q cmq 7273 <_Q cltq 7275 ~_Q0 ceq0 7276 +_Q0 cplq0 7279 ·_Q0 cmq0 7280 Pcnp 7281

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-eprel 4286 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-irdg 6365 df-1o 6411 df-2o 6412 df-oadd 6415 df-omul 6416 df-er 6529 df-ec 6531 df-qs 6535 df-ni 7294 df-pli 7295 df-mi 7296 df-lti 7297 df-plpq 7334 df-mpq 7335 df-enq 7337 df-nqqs 7338 df-plqqs 7339 df-mqqs 7340 df-1nqqs 7341 df-rq 7342 df-ltnqqs 7343 df-enq0 7414 df-nq0 7415 df-0nq0 7416 df-plq0 7417 df-mq0 7418 df-inp 7456

This theorem is referenced by: prarloc2 7494 addlocpr 7526 prmuloc 7556 ltaddpr 7587 ltexprlemloc 7597 ltexprlemrl 7600 ltexprlemru 7602

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