prarloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloc 7713

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7714 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem prarloc Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prml 7687	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿)
2		df-rex 2514	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
3	1, 2	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
5		prmu 7688	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)
6		df-rex 2514	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
8	7	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
9		subhalfnqq 7624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
11		df-rex 2514	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃 ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
12	10, 11	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
13	12	ancli 323	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
14		19.42v 1953	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
15	13, 14	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
16		eeeanv 1984	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
17	4, 8, 15, 16	syl3anbrc 1205	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
18		prarloclemarch2 7629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
19		df-rex 2514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
20	18, 19	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
21	20	3com12 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
22	21	3adant1r 1255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
23	22	3adant2r 1257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
24	23	3adant3r 1259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
25	24	3adant3l 1258	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
26	25	ancli 323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
27		19.42v 1953	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) ↔ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
28	26, 27	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
29	28	2eximi 1647	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
30	29	eximi 1646	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
31		simpl1l 1072	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ Q)
32		simp3rl 1094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → 𝑞 ∈ Q)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑞 ∈ Q)
34		simp3rr 1095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
35	34	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
36	31, 33, 35	3jca 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
37		simp3ll 1092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
39		simpl1r 1073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ 𝐿)
40		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑛 ∈ N)
41		simprrl 539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 1_o <_N 𝑛)
42		simprrr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))
43		simpl2r 1075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44		prcunqu 7695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
45	38, 43, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
46	42, 45	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
47		prarloclem 7711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 1_o <_N 𝑛) ∧ (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
48	38, 39, 40, 33, 41, 46, 47	syl231anc 1291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
49		df-rex 2514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
50	48, 49	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
51	36, 50	jca 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
52		19.42v 1953	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
53	51, 52	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
54		simprrl 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿)
55		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿))
56	55	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
57	56	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
58	57	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
59	58	ceqsexgv 2933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
60	59	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
62		simprrr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
63		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
65	64	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
66	65	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
67	66	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
68	67	exbidv 1871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
69	68	ceqsexgv 2933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → (∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
70	69	biimprcd 160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) → ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))))))
71	61, 62, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
72		19.42v 1953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
73	72	exbii 1651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
74	71, 73	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
75		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
76	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
77		simprrr 540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
79		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
80		simprl2 1067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑞 ∈ Q)
81		simprl3 1068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
82	80, 81	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
83		simprl1 1066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑥 ∈ Q)
84		simprrl 539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑚 ∈ ω)
85	83, 84	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))
86		prarloclemcalc 7712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
87	79, 82, 85, 86	syl12anc 1269	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
88	78, 87	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
89	76, 88	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
90	89	ancom1s 569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ 𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
91	90	anasss 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
92	91	2eximi 1647	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
93	74, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
94	93	exlimiv 1644	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
95	53, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
96	95	exlimivv 1943	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
97	96	exlimivv 1943	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
98	17, 30, 97	3syl 17	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
99		excom 1710	. . 3 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
100	98, 99	sylib 122	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
101		19.42v 1953	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
102		df-rex 2514	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
103	102	anbi2i 457	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
104	101, 103	bitr4i 187	. . . 4 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
105	104	exbii 1651	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
106		df-rex 2514	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
107	105, 106	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
108	100, 107	sylib 122	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ∧ w3a 1002 = wceq 1395 ∃wex 1538 ∈ wcel 2200 ∃wrex 2509 ⟨cop 3670 class class class wbr 4086 ωcom 4686 (class class class)co 6013 1_oc1o 6570 2_oc2o 6571 +_o coa 6574 [cec 6695 Ncnpi 7482 <_N clti 7485 ~_Q ceq 7489 Qcnq 7490 +_Q cplq 7492 ·_Q cmq 7493 <_Q cltq 7495 ~_Q0 ceq0 7496 +_Q0 cplq0 7499 ·_Q0 cmq0 7500 Pcnp 7501

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-eprel 4384 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-1o 6577 df-2o 6578 df-oadd 6581 df-omul 6582 df-er 6697 df-ec 6699 df-qs 6703 df-ni 7514 df-pli 7515 df-mi 7516 df-lti 7517 df-plpq 7554 df-mpq 7555 df-enq 7557 df-nqqs 7558 df-plqqs 7559 df-mqqs 7560 df-1nqqs 7561 df-rq 7562 df-ltnqqs 7563 df-enq0 7634 df-nq0 7635 df-0nq0 7636 df-plq0 7637 df-mq0 7638 df-inp 7676

This theorem is referenced by: prarloc2 7714 addlocpr 7746 prmuloc 7776 ltaddpr 7807 ltexprlemloc 7817 ltexprlemrl 7820 ltexprlemru 7822

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