prarloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloc 7423

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7424 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem prarloc Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prml 7397	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿)
2		df-rex 2441	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
3	1, 2	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
5		prmu 7398	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)
6		df-rex 2441	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
7	5, 6	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
8	7	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
9		subhalfnqq 7334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
10	9	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
11		df-rex 2441	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃 ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
12	10, 11	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
13	12	ancli 321	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
14		19.42v 1886	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
15	13, 14	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
16		eeeanv 1913	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
17	4, 8, 15, 16	syl3anbrc 1166	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
18		prarloclemarch2 7339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
19		df-rex 2441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
20	18, 19	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
21	20	3com12 1189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
22	21	3adant1r 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
23	22	3adant2r 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
24	23	3adant3r 1217	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
25	24	3adant3l 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
26	25	ancli 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
27		19.42v 1886	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) ↔ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
28	26, 27	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
29	28	2eximi 1581	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
30	29	eximi 1580	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
31		simpl1l 1033	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ Q)
32		simp3rl 1055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → 𝑞 ∈ Q)
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑞 ∈ Q)
34		simp3rr 1056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
35	34	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
36	31, 33, 35	3jca 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
37		simp3ll 1053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
38	37	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
39		simpl1r 1034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ 𝐿)
40		simprl 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑛 ∈ N)
41		simprrl 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 1_o <_N 𝑛)
42		simprrr 530	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))
43		simpl2r 1036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44		prcunqu 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
45	38, 43, 44	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
46	42, 45	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
47		prarloclem 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 1_o <_N 𝑛) ∧ (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
48	38, 39, 40, 33, 41, 46, 47	syl231anc 1240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
49		df-rex 2441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
50	48, 49	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
51	36, 50	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
52		19.42v 1886	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
53	51, 52	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
54		simprrl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿)
55		eleq1 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿))
56	55	anbi1d 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
57	56	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
58	57	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
59	58	ceqsexgv 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
60	59	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
62		simprrr 530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
63		eleq1 2220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
64	63	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
65	64	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
66	65	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
67	66	anbi2d 460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
68	67	exbidv 1805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
69	68	ceqsexgv 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → (∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
70	69	biimprcd 159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) → ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))))))
71	61, 62, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
72		19.42v 1886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
73	72	exbii 1585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
74	71, 73	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
75		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
77		simprrr 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
79		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
80		simprl2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑞 ∈ Q)
81		simprl3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
82	80, 81	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
83		simprl1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑥 ∈ Q)
84		simprrl 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑚 ∈ ω)
85	83, 84	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))
86		prarloclemcalc 7422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
87	79, 82, 85, 86	syl12anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
88	78, 87	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
89	76, 88	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
90	89	ancom1s 559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ 𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
91	90	anasss 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
92	91	2eximi 1581	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
93	74, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
94	93	exlimiv 1578	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
95	53, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
96	95	exlimivv 1876	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
97	96	exlimivv 1876	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
98	17, 30, 97	3syl 17	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
99		excom 1644	. . 3 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
100	98, 99	sylib 121	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
101		19.42v 1886	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
102		df-rex 2441	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
103	102	anbi2i 453	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
104	101, 103	bitr4i 186	. . . 4 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
105	104	exbii 1585	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
106		df-rex 2441	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
107	105, 106	bitr4i 186	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
108	100, 107	sylib 121	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ∧ w3a 963 = wceq 1335 ∃wex 1472 ∈ wcel 2128 ∃wrex 2436 ⟨cop 3563 class class class wbr 3965 ωcom 4549 (class class class)co 5824 1_oc1o 6356 2_oc2o 6357 +_o coa 6360 [cec 6478 Ncnpi 7192 <_N clti 7195 ~_Q ceq 7199 Qcnq 7200 +_Q cplq 7202 ·_Q cmq 7203 <_Q cltq 7205 ~_Q0 ceq0 7206 +_Q0 cplq0 7209 ·_Q0 cmq0 7210 Pcnp 7211

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4079 ax-sep 4082 ax-nul 4090 ax-pow 4135 ax-pr 4169 ax-un 4393 ax-setind 4496 ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3395 df-pw 3545 df-sn 3566 df-pr 3567 df-op 3569 df-uni 3773 df-int 3808 df-iun 3851 df-br 3966 df-opab 4026 df-mpt 4027 df-tr 4063 df-eprel 4249 df-id 4253 df-po 4256 df-iso 4257 df-iord 4326 df-on 4328 df-suc 4331 df-iom 4550 df-xp 4592 df-rel 4593 df-cnv 4594 df-co 4595 df-dm 4596 df-rn 4597 df-res 4598 df-ima 4599 df-iota 5135 df-fun 5172 df-fn 5173 df-f 5174 df-f1 5175 df-fo 5176 df-f1o 5177 df-fv 5178 df-ov 5827 df-oprab 5828 df-mpo 5829 df-1st 6088 df-2nd 6089 df-recs 6252 df-irdg 6317 df-1o 6363 df-2o 6364 df-oadd 6367 df-omul 6368 df-er 6480 df-ec 6482 df-qs 6486 df-ni 7224 df-pli 7225 df-mi 7226 df-lti 7227 df-plpq 7264 df-mpq 7265 df-enq 7267 df-nqqs 7268 df-plqqs 7269 df-mqqs 7270 df-1nqqs 7271 df-rq 7272 df-ltnqqs 7273 df-enq0 7344 df-nq0 7345 df-0nq0 7346 df-plq0 7347 df-mq0 7348 df-inp 7386

This theorem is referenced by: prarloc2 7424 addlocpr 7456 prmuloc 7486 ltaddpr 7517 ltexprlemloc 7527 ltexprlemrl 7530 ltexprlemru 7532

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