prarloc - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem prarloc 7311

Description: A Dedekind cut is arithmetically located. Part of Proposition 11.15 of [BauerTaylor], p. 52, slightly modified. It states that given a tolerance 𝑃, there are elements of the lower and upper cut which are within that tolerance of each other.

Usually, proofs will be shorter if they use prarloc2 7312 instead. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Oct-2019.)

**Assertion**
Ref	Expression
prarloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Distinct variable groups: 𝐿,𝑎,𝑏 𝑃,𝑎,𝑏 𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem prarloc Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑞 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prml 7285	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿)
2		df-rex 2422	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ Q 𝑥 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
3	1, 2	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
4	3	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿))
5		prmu 7286	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈)
6		df-rex 2422	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ Q 𝑦 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
7	5, 6	sylib 121	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
8	7	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈))
9		subhalfnqq 7222	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
10	9	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
11		df-rex 2422	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃 ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
12	10, 11	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
13	12	ancli 321	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
14		19.42v 1878	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ ∃𝑞(𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
15	13, 14	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)))
16		eeeanv 1905	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ↔ (∃𝑥(𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ∃𝑞((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
17	4, 8, 15, 16	syl3anbrc 1165	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))))
18		prarloclemarch2 7227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
19		df-rex 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃𝑛 ∈ N (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
20	18, 19	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
21	20	3com12 1185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
22	21	3adant1r 1209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ 𝑦 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
23	22	3adant2r 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑞 ∈ Q) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
24	23	3adant3r 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
25	24	3adant3l 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))))
26	25	ancli 321	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
27		19.42v 1878	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) ↔ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
28	26, 27	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
29	28	2eximi 1580	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
30	29	eximi 1579	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))))
31		simpl1l 1032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ Q)
32		simp3rl 1054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → 𝑞 ∈ Q)
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑞 ∈ Q)
34		simp3rr 1055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
35	34	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
36	31, 33, 35	3jca 1161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
37		simp3ll 1052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
38	37	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P)
39		simpl1r 1033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑥 ∈ 𝐿)
40		simprl 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑛 ∈ N)
41		simprrl 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 1_o <_N 𝑛)
42		simprrr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)))
43		simpl2r 1035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44		prcunqu 7293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
45	38, 43, 44	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
46	42, 45	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
47		prarloclem 7309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ 1_o <_N 𝑛) ∧ (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
48	38, 39, 40, 33, 41, 46, 47	syl231anc 1236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
49		df-rex 2422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
50	48, 49	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
51	36, 50	jca 304	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
52		19.42v 1878	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
53	51, 52	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
54		simprrl 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿)
55		eleq1 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿))
56	55	anbi1d 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
57	56	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
58	57	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
59	58	ceqsexgv 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
60	59	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
61	54, 60	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
62		simprrr 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)
63		eleq1 2202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (𝑏 ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))
64	63	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))
65	64	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))
66	65	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) ↔ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))))
67	66	anbi2d 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → ((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
68	67	exbidv 1797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) → (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
69	68	ceqsexgv 2814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → (∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))))))
70	69	biimprcd 159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈)))) → ((𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈 → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))))))
71	61, 62, 70	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
72		19.42v 1878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ (𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
73	72	exbii 1584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) ↔ ∃𝑏(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ ∃𝑎(𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
74	71, 73	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))))
75		simprrl 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑎 ∈ 𝐿)
77		simprrr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
78	77	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 ∈ 𝑈)
79		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))
80		simprl2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑞 ∈ Q)
81		simprl3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃)
82	80, 81	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))
83		simprl1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑥 ∈ Q)
84		simprrl 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑚 ∈ ω)
85	83, 84	jca 304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))
86		prarloclemcalc 7310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑚 ∈ ω))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
87	79, 82, 85, 86	syl12anc 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
88	78, 87	jca 304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
89	76, 88	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ 𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
90	89	ancom1s 558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ 𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞))) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
91	90	anasss 396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
92	91	2eximi 1580	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑏 = (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∧ (𝑎 = (𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∧ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
93	74, 92	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
94	93	exlimiv 1577	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ ((𝑥 +_Q0 ([⟨𝑚, 1_o⟩] ~_Q0 ·_Q0 𝑞)) ∈ 𝐿 ∧ (𝑥 +_Q ([⟨(𝑚 +_o 2_o), 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞)) ∈ 𝑈))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
95	53, 94	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
96	95	exlimivv 1868	. . . . 5 ⊢ (∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
97	96	exlimivv 1868	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑞∃𝑛(((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ 𝐿) ∧ (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) ∧ (𝑞 ∈ Q ∧ (𝑞 +_Q 𝑞) <_Q 𝑃))) ∧ (𝑛 ∈ N ∧ (1_o <_N 𝑛 ∧ 𝑦 <_Q (𝑥 +_Q ([⟨𝑛, 1_o⟩] ~_Q ·_Q 𝑞))))) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
98	17, 30, 97	3syl 17	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
99		excom 1642	. . 3 ⊢ (∃𝑏∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
100	98, 99	sylib 121	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
101		19.42v 1878	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
102		df-rex 2422	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
103	102	anbi2i 452	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))))
104	101, 103	bitr4i 186	. . . 4 ⊢ (∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
105	104	exbii 1584	. . 3 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
106		df-rex 2422	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃) ↔ ∃𝑎(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃)))
107	105, 106	bitr4i 186	. 2 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑎 ∈ 𝐿 ∧ (𝑏 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))
108	100, 107	sylib 121	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝑃 ∈ Q) → ∃𝑎 ∈ 𝐿 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑏 <_Q (𝑎 +_Q 𝑃))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ∧ w3a 962 = wceq 1331 ∃wex 1468 ∈ wcel 1480 ∃wrex 2417 ⟨cop 3530 class class class wbr 3929 ωcom 4504 (class class class)co 5774 1_oc1o 6306 2_oc2o 6307 +_o coa 6310 [cec 6427 Ncnpi 7080 <_N clti 7083 ~_Q ceq 7087 Qcnq 7088 +_Q cplq 7090 ·_Q cmq 7091 <_Q cltq 7093 ~_Q0 ceq0 7094 +_Q0 cplq0 7097 ·_Q0 cmq0 7098 Pcnp 7099

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-eprel 4211 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-irdg 6267 df-1o 6313 df-2o 6314 df-oadd 6317 df-omul 6318 df-er 6429 df-ec 6431 df-qs 6435 df-ni 7112 df-pli 7113 df-mi 7114 df-lti 7115 df-plpq 7152 df-mpq 7153 df-enq 7155 df-nqqs 7156 df-plqqs 7157 df-mqqs 7158 df-1nqqs 7159 df-rq 7160 df-ltnqqs 7161 df-enq0 7232 df-nq0 7233 df-0nq0 7234 df-plq0 7235 df-mq0 7236 df-inp 7274

This theorem is referenced by: prarloc2 7312 addlocpr 7344 prmuloc 7374 ltaddpr 7405 ltexprlemloc 7415 ltexprlemrl 7418 ltexprlemru 7420

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